上海金山中学高二数学下学期期中

金山中学2015学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1已知复数满足，则_.2.半径为的球的表面积为_.3. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_.4. 设是实数,若方程表示的曲线是双曲线,则的取值范围为 5. 直线的倾斜角的取值范围是_.6.设是方程的两个虚根，且，则实数_.7. 圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为，半径为，则该圆锥的体积等于_.8. 在直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值是_9已知、是椭圆（0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=_. w.第12题图10某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的侧面积为_.第10题图11. 某地球仪上北纬纬线长度为cm，该地球仪的表面上北纬东经对应点与北纬东经对应点之间的球面距离为 cm（精确到0.01）12如图，在边长为的正方形中，为正方形边上的动点，现将所在平面沿折起，使点在平面上的射影在直线上，当从点运动到，再从运动到，则点所形成轨迹的长度为_.13抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值为 .14.直线平面，垂足是，正四面体的棱长为，点在平面上运动，点在直线上运动，则点到直线的距离的取值范围是_.二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15给出下列命题，其中正确的命题是 （ ）若，且，那么一定是纯虚数若、且，则 若，则不成立 若，则方程只有一个根16一个水平放置的三角形的斜二测直观图是有一条边水平的等边三角形，则这个三角形一定是 （ ）锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 以上都有可能17已知椭圆的左、右焦点分别是，若，则称椭圆为“黄金椭圆”则下列三个命题中正确命题的序号是 （ ）在黄金椭圆中，成等比数列；在黄金椭圆中，若上顶点、右顶点分别为，则；在黄金椭圆中，以为顶点的菱形的内切圆过焦点 第18题图18如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为。则下列命题中正确命题的个数为（ ） 当时，为四边形；当时，为等腰梯形；当时，与的交点R满足；当时，为六边形；当时，的面积为.2 3 4 5三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19（本题满分12分）已知复数，且，又，而的实部和虚部相等，求. 第20题图20（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为.（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？21（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，.（1）求椭圆及其“准圆”的方程；（2）若椭圆的“准圆”的一条弦与椭圆交于、两点，试证明：当时，弦的长为定值.22（本题满分16分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题6分）DBACOE第22题图如图，已知四面体中，且两两互相垂直，点是的中心（1）求二面角的大小（用反三角函数表示）；（2）过作，垂足为，求绕直线旋转一周所形成的几何体的体积；（3）将绕直线旋转一周，则在旋转过程中，直线与直线所成角记为，求的取值范围23 （本题满分18分，第（1）小题6分，第（2）小题4分，第（3）小题8分）（1）求证：椭圆中斜率为的平行弦的中点轨迹必过椭圆中心；（2）用作图方法找出下面给定椭圆的中心；(3) 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，.如图，设点，是相应椭圆的焦点，和，是“果圆” 与,轴的交点. 连结“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦。试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值，若不存在，说明理由.第23（3）题图(提示：第（1）题的结论可推广为任意椭圆，第（2），第（3）题可直接应用推广的结论.)第23（2）题图金山中学2015学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷答案（考试时间：120分钟满分：150分命题人：鲁 丹审核人：陈繁球）一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1已知复数满足，则_.2.半径为的球的表面积为_.3. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_.4. 设是实数,若方程表示的曲线是双曲线,则的取值范围为 5. 直线的倾斜角的取值范围是_.6.设是方程的两个虚根，且，则实数_.7. 圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为，半径为，则该圆锥的体积等于_.8. 在直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值是_9已知、是椭圆（0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=_. w.第12题图10某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的侧面积为_.第10题图11. 某地球仪上北纬纬线长度为cm，该地球仪的表面上北纬东经对应点与北纬东经对应点之间的球面距离为 cm（精确到0.01）12如图，在边长为的正方形中，为正方形边上的动点，现将所在平面沿折起，使点在平面上的射影在直线上，当从点运动到，再从运动到，则点所形成轨迹的长度为_.13抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值为 .14.直线平面，垂足是，正四面体的棱长为，点在平面上运动，点在直线上运动，则点到直线的距离的取值范围是_.二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15给出下列命题，其中正确的命题是 （ A ）若，且，那么一定是纯虚数若、且，则 若，则不成立 若，则方程只有一个根16一个水平放置的三角形的斜二测直观图是有一条边水平的等边三角形，则这个三角形一定是 （ C ）锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 以上都有可能17已知椭圆的左、右焦点分别是，若，则称椭圆为“黄金椭圆” 则下列三个命题中正确命题的序号是 （ D ）在黄金椭圆中，成等比数列；在黄金椭圆中，若上顶点、右顶点分别为，则；在黄金椭圆中，以为顶点的菱形的内切圆过焦点 18第18题图如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为。则下列命题中正确命题的个数为（ C ） 当时，为四边形；当时，为等腰梯形；当时，与的交点R满足；当时，为六边形；当时，的面积为.2 3 4 5三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19（本题满分12分）已知复数，且，又，而的实部和虚部相等，求.解： 或或. 20（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）第20题图某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为.（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？解：设圆柱的底面半径为，高为；圆锥的母线长为，高为，根据题意可知（1），cm，cm，所以“笼具”的体积cm.（2）圆柱的侧面积cm，圆柱的底面积 cm，圆锥的侧面积 cm，所以“笼具”的表面积为 cm，故造50个“笼具”的总造价：元.答：这种“笼具”的体积约为 cm，生产50个“笼具”的总造价为元.21（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，.（1）求椭圆及其“准圆”的方程；（2）若椭圆的“准圆”的一条弦与椭圆交于、两点，试证明：当时，弦的长为定值.解：（1）设椭圆的左焦点，由得，又，即且，所以，则所求的椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为.（2）证明：当弦轴时，交点关于轴对称，又则，可设，得，此时原点到弦的距离；当弦不垂直于轴时，设直线的方程为，且与椭圆的交点，联列方程组 代入消元得： 由可得 由得即 ， 所以此时成立，则原点到弦的距离综上得原点到弦的距离为，则，因此弦的长为定值.22（本题满分16分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题6分）DBACOE第22题图如图，已知四面体中，且两两互相垂直，点是的中心（1）求二面角的大小（用反三角函数表示）；（2）过作，垂足为，求绕直线旋转一周所形成的几何体的体积；（3）将绕直线旋转一周，则在旋转过程中，直线与直线所成角记为，求的取值范围解： （1）取中点，连接和，则即为二面角的平面角，所以，因此，所以二面角的大小为（2）过作，经计算得，由此得，所以绕直线旋转一周所形成的几何体的体积（3）取中点，连接，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，设，则，所以，在平面上，点的轨迹方程为，令，则，所以，于是23 （本题满分18分，第（1）小题6分，第（2）小题4分，第（3）小题8分）（1）求证：椭圆中斜率为的平行弦的中点轨迹必过椭圆中心.（2）用作图方法找出下面给定椭圆的中心.第23（2）题图(3) 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，.如图，设点，是相应椭圆的焦点，和，是“果圆” 与,轴的交点. 连结“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦。试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦