函数与不等式学法指导不分本_第1页
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文档简介

函数与不等式http:/www.DearEDU.com马吉超不等式与函数的关系很密切，当不等式中问题用常规方法不易解决时，不妨考虑用函数观点进行分析，可能比较容易求解，为此，本文介绍函数观点在不等式的证明、求最值及确定参数范围等方面的应用。例1. 设，求证：分析：观察题目特点，可以把不等式两边看成函数的两个值，不妨应用该函数的单调性求解。证明：令由知：在区间上是增函数因为，所以即说明：本题亦可改为求证。例2. 若，且。求证：分析：注意到本题的特点，可构造函数，再利用单调性证明。证明：易证函数是R上的单调增函数（证明略）。因为，即所以，即所以 同理 由，得：所以 例3. 设都是正数，证明对任意正整数n，下面不等式成立：分析：注意到平方这一特殊，可构造二次函数，利用判别式法证之。证明：令 则对一切x均成立。由函数的图象开口向上，知即说明：本题亦可用柯西不等式证明。例4. 若，且，求的最小值。分析：构造函数，求出的范围，再利用函数的单调性求解。解：易证函数在区间（0，1内是减函数（证明略）由条件，得所以在上的最小值是即的最小值是例5. 已知，求e的最大值。解：构造函数 所以 即所以故e的最大值是。例6. 若不等式对一切正整数n都成立，求a的范围。分析：本题实际上只需求出不等式左边的最小值，参数的范围就会迎刃而解，可以利用函数的单调性求最小值。解：构造函数则有 即所以在上是增函数故的最小值是又已知对一切正整数n都成立所以即例7. 设，B是关于x的不等式组的解集，试确定a，b的范围使。分析：直接求解不等式很困难，可以根据不等式组构造两个函数进行求解。解：构造函数要使必须使得与在1，3上的图象均在x轴的下方（包括x轴），则有即所以通过以上的讨论，我们可以总结出函数构造的主要方法：依据不等式的特征先构造出某个区间上的单调函数，再利用函数的单调性确定大小、最值及范围等；若构造二次函数，再
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