北京宣武区上学期高三数学理科期末质量检测试卷 人教

北京市宣武区2005-2006年上学期高三数学理科期末质量检测试卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间为120分钟。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集U = 1，2，3，4，5，6，7，A = 3，4，5，B = 1，3，6，则A(CUB)等于 （ ）A4，5B2，4，5，7C1，6D32函数f (x) =的定义域是 （ ）Ax | x 1Bx | x 1Cx | x 1Dx | x13在（0，2）内使sin x cos x成立的x的取值范围是 （ ）A（，）（，）B（，）C（，）（，）D（，）4等比数列an中，a3 =，a9 = 8则a5 a6 a7的值为 （ ）A64B 64C8D8或 85定义：| a b | = | a | | b | sin，其中为向量a与b的夹角，若| a | = 2，| b | = 5，a b = 6，则| a b | =（ ）A8B 8C8或 8D66如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把CDF、BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P，那么在四面体P DEF中，必有 （ ）ADM平面PEFBPM平面DEFC平面PDE平面PEFD平面PDE平面DEF7若二项式（）n的展开式的第5项是常数项，则正整数n的值为 （ ）A15B12C10D68已知f (x)是R上的增函数，点A ( 1，1)，B (1，3)在它的图象上，f 1(x)是它的反函数，那么不等式| f 1(log2x) | 1的解集为 （ ）Ax | 1 x 1Bx | 1 x 3Cx | 2 x 8Dx | 0 x 0，w 0，| 0，S16 0，S17 0，则当n = _时，Sn最大13四面体ABCD中，有如下命题：若ACBD，ABCD，则ADBC；若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，则FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；若点O是四面体ABCD外接球的球心，则点O在平面ABD上的射影是ABD的外心；若四个面是全等的三角形，则ABCD为正四面体所有正确命题的序号是_14在密码学中，你直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码有一种密码，将英文的26个字母a，b，c，z（不论大小写）依次对应1，2，3，26这26个自然数，见表格abcdefghijklmnopqrs12345678910111213141516171819tuvwxyz20212223242526现给出一个变换公式：可将英文的明文（明码）转换成密码按上述规定，若将英文的明文译成的密码是shxc，那么原来的明文是_三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分12分）已知A、B、C三点的坐标分别是A (3，0)、B (0，3)、C (cos，sin)，其中 0，试证f (x)是（0，+）上的增函数参考答案1A 2B 3D 4D 5A 6C 7B 8C9 3 10f (x) = 2sin 11840 128 13 14love15解：（）A (3，0)、B (0，3)、C (cos，sin)， = (cos 3，sin)，= (cos，sin 3) | = |， |2 = |2， (cos 3)2 + sin2 = cos2+ (sin 3)2 sin= cos 0， 解得，x 2 令3x (x 2) 0， 解得，0 x 2 函数f (x)的单调递增区间为（，0）和（2，+），单调递减区间为（0，2）（13分）17解：（）由题意，得P（= 0）=，P（= 1）=，P（= 2）=P（= 3）=的概率分布为0123PE= 0 + 1 + 2 + 3= 1（7分） （）第二小组第7次实验成功，前面6次实验中有3次失败，故所求概率 P =（13分）18解法一： （）在矩形ABCD中，AP = PB，DQ = QC，AP CQ，四边形AQCP为平行四边形，CPAQCP 平面CEP，AQ平面CEP，AQ平面CEP（4分） （）EP平面ABCD，AQ 平面ABCD，AQEPAB = 2BC，P为AB中点，AP = AD连结PQ，则ADQP为正方形，AQDPEPDP = P，AQ平面DEPAQ平面AEQ，平面AEQ平面DEP（9分） （）过P作PQAE，垂足为O，连结OQQPAB，QPEP，又ABEP = P，QP平面AEPAQAEQOP为二面角Q AE P的平面角EP = AP =AB = PQ，OP =在RtOPQ中，tanQOP =，QOP = arctan，即二面角Q AE P的大小为arctan（14分）解法二： （）同解法一（4分） （）如图建立空间直角坐标系P xyz，设AD = a，PE = b，则A (a，0，0)，Q (0，a，0)，E (0，0，b)，D (a，a，0)= ( a，a，0)，= (0，0，b)， = (a，a，0)= 0，AQPE= 0，AQPD又PEPD = P，AQ平面DEPAQ平面AEQ，平面AEQ平面DEP（9分） （）EP = AP，即a = b，= ( a，0，a) 设平面AEQ的法向量n = (x，y，z) n = 0， n = 0，不妨设z = a，则n = (a，a，a)平面AEP的一个法向量为= (0，a，0)，设n与的夹角为，则cos=二面角Q AE P的大小为arccos（14分）19解：（）由题设，得（5分） （）akk = a1k qk 1 = a11 +(k 1)d1 qk 1 = ()k 1 = k ()kSn = a11 + a22 + a33 + ann=+ 2 ()2 + 3 ()3 + + n ()n，Sn = ()2 + 2 ()3 + 3 ()4 + + (n 1) ()n + n ()n+1 得，Sn =+()2 + ()3 + +()n n ()n+1 =，Sn = 2 （10分） （）（14分）20（）解：f (ab) = bf (a)，令a = 1，b = 2，f (1) = f (12) = 2f (1)，f (1) = 0（3分） （）证明：由（1）知，存在x0(0，+)，使得f (x0)0，显然x01任取x1(0，+)且x11，则必存在实数q，使得x1 = x0q，q0由（2）知f (x1) = f (x0q) = qf (x0)0，故f (x) = 0有且只有一个实数根x = 1（8分） （）证明：对任意的0 x1 x2 +，存在实数p1，p2，使得x