北京东城区高二数学下学期期末考试

东城区20182019学年度第二学期期末试教学统一检测高二数学本试卷共4页，共100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，见本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共32分)一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合，那么集合=A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接进行交集的运算即可【详解】M0，1，2，Nx|0x2；MN0，1故选：B【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，属于基础题2.已知曲线在点处的切线方程是，且的导函数为，那么等于A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出切线的斜率即可【详解】由题意切线方程是x+y80，即y8x，f（5）就是切线的斜率，f（5）1，故选：D【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了某点处的切线斜率的求法，属于基础题3.已知，那么“”是“且”的A. 充分而不必要条件B. 充要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先利用取特殊值法判断xy0时，x0且y0不成立，再说明x0且y0时，xy0成立，即可得到结论【详解】若x1，y1，则xy0，但x0且y0不成立，若x0且y0，则xy0一定成立，故“xy0”是“x0且y0”的必要不充分条件故选：C【点睛】本题考查的知识点是充要条件的定义，考查了不等式的性质的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题4.已知随机变量满足条件，且，那么与的值分别为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据二项分布的均值与方差公式列方程组解出n与p的值【详解】XB（n，p）且，解得n15，p故选：C【点睛】本题考查了二项分布的均值与方差公式的应用，考查了运算能力，属于基础题5.已知（是实常数）是二项式的展开式中的一项，其中，那么的值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，求出m，n的值，即可求出k的值【详解】展开式的通项公式为Tt+1x5t（2y）t2tx5tyt，kxmyn（k是实常数）是二项式（x2y）5的展开式中的一项，m+n5，又mn+1，得m3，n2，则tn2，则k2t2241040，故选：A【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，结合通项公式建立方程求出m，n的值是解决本题的关键6.函数在上的最小值和最大值分别是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出f（x）的导数，利用导函数的正负，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可【详解】函数，cosx，令0，解得：x，令0，解得：0x，f（x）0，）递减，在（，递增，f（x）minf（），而f（0）0，f（）1，故f（x）在区间0，上的最小值和最大值分别是：故选：A【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查函数值的运算，属于基础题7.从位男生，位女生中选派位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有位女生的选法共有( )A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】B【解析】【详解】由题意知本题要求至少有两位男生，且至少有1位女生，它包括：两个男生，两个女生；三个男生，一个女生两种情况，写出当选到的是两个男生，两个女生时和当选到的是三个男生，一个女生时的结果数，根据分类计数原理得到结果解：至少有两位男生，且至少有1位女生包括：两个男生，两个女生；三个男生，一个女生当选到的是两个男生，两个女生时共有C52C42=60种结果，当选到的是三个男生，一个女生时共有C53C41=40种结果，根据分类计数原理知共有60+40=100种结果，故选B8.在一次抽奖活动中，一个箱子里有编号为至的十个号码球(球的大小、质地完全相同，但编号不同)，里面有个号码为中奖号码，若从中任意取出个小球，其中恰有个中奖号码的概率为，那么这个小球中，中奖号码小球的个数为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用古典概型列出恰有1个中奖号码的概率的方程，解方程即可【详解】依题意，从10个小球中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为，所以，所以n（10n）（9n）（8n）480，（nN*）解得n4故选：C【点睛】本题考查了古典概型的概率公式的应用，考查了计数原理及组合式公式的运算，属于中档题第二部分(非选择题共68分)二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分9.命题“R”，此命题的否定是_(用符号表示)【答案】xR，x2+x0【解析】【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以x0R，x022x0+10的否定是：xR，x2+x0故答案为：xR，x2+x0【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系及否定形式，属于基本知识的考查10.已知集合，集合，那么集合的子集个数为_个【答案】8【解析】【分析】可以求出集合M，N，求得并集中元素的个数，从而得出子集个数【详解】M1，1，N1，2；MN1，1，2；MN的子集个数为238个故答案为：8【点睛】本题考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算，子集的定义，以及集合子集个数的求法11.已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且=0.6826，则p（X4）= 【答案】0.1587【解析】【详解】,观察如图可得,.故答案为0.1587.考点：正态分布点评：随机变量中，表示正态曲线的对称轴.12.吃零食是中学生中普遍存在的现象长期吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长下表给出性别与吃零食的列联表男女总计喜欢吃零食51217不喜欢吃零食402868合计454085根据下面的计算结果，试回答，有_的把握认为“吃零食与性别有关”参考数据与参考公式：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】95%【解析】【分析】根据题意得出观测值的大小，对照临界值得出结论【详解】根据题意知K24.7223.841，所以有95%的把握认为“吃零食与性别有关”故答案为：95%【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题13.已知在R上不是单调增函数，那么实数的取值范围是_【答案】（，1）（2，+）【解析】【分析】根据函数单调性和导数之间的关系，转化为f（x）0不恒成立，即可得到结论【详解】函数yx3+mx2+（m+2）x+3，f（x）x2+2mx+m+2，函数yx3+mx2+（m+2）x+3在R上不是增函数，f（x）x2+2mx+m+20不恒成立，判别式4m24（m+2）0，m2m20，即m1或m2，故答案为：（，1）（2，+）【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，考查了转化思想，考查了二次不等式恒成立的问题，属于中档题14.已知函数，当时，这两个函数图象的交点个数为_个（参考数值：）【答案】3【解析】【分析】原问题等价于函数yx2+8x6lnx与函数ym，m（7，8）的交点个数，作出函数图象观察即可得出答案【详解】函数f（x）与函数g（x）的交点个数，即为x2+8x6lnx+m的解的个数，亦即函数yx2+8x6lnx与函数ym，m（7，8）的交点个数，令y0，解得x1或x3，故当x（0，1）时，y0，此时函数yx2+8x6lnx单调递减，当x（1，3）时，y0，此时函数yx2+8x6lnx单调递增，当x（3，+）时，y0，此时函数yx2+8x6lnx单调递减，且y|x17，y|x3156ln38，作出函数yx2+8x6lnx的草图如下，由图可知，函数yx2+8x6lnx与函数ym，m（7，8）有3个交点故答案为：3【点睛】本题考查函数图象的运用，考查函数交点个数的判断，考查了运算能力及数形结合思想，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知集合，()当时，求A(RB)；()当时，求实数m的值【答案】（）x|3x5，或x1（）m8【解析】【分析】（）求出Ay|1y5，m3时，求出Bx|1x3，然后进行补集、交集的运算即可；（）根据ABx|2x5即可得出，x2是方程x22xm0的实数根，带入方程即可求出m【详解】（）Ay|1y5，m3时，Bx|1x3；RBx|x1，或x3；A（RB）x|3x5，或x1；（）ABx|2x5；x2是方程x22xm0的一个实根；4+4m0；m8经检验满足题意【点睛】本题考查交集、补集的运算，涉及不等式的性质，描述法的定义，一元二次不等式的解法的知识方法，属于基础题16.一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球如果不放回的依次取出2个球回答下列问题：()第一次取出的是黑球的概率；()第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率；()在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率【答案】（）（）（）【解析】【分析】（）黑球有3个，球的总数为5个，代入概率公式即可；（）利用独立事件的概率公式直接求解即可；（）直接用条件概率公式求解【详解】依题意，设事件A表示“第一次取出的是黑球”，设事件B表示“第二次取出的是白球”（）黑球有3个，球的总数为5个，所以P（A）；（）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为P（AB）；（）在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率为P（B|A）【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了事件的相互独立性及条件概率，属于基础题17.已知函数的图象与直线相切于点()求的值；()求函数的单调区间【答案】（）a3，b9（）单调递减区间是（3，1）单调增区间为：（，3），（1，+）【解析】【分析】（）求导函数，利用f（x）的图象与直线15xy280相切于点（2，2），建立方程组，即可求a，b的值；（）求导函数，利用导数小于0，即可求函数f（x）单调递减区间【详解】（I）求导函数可得f（x）3x2+2ax+b，f（x）的图象与直线15xy280相切于点（2，2），f（2）2，f（2）15，a3，b9（II）由（I）得f（x）3x2+6x9，令f（x）0，可得3x2+6x90，3x1，函数f（x）的单调递减区间是（3，1）令f（x）0，可得3x2+6x90，单调增区间：（，3），（1，+）综上：函数f（x）的单调递减区间是（3，1）单调增区间为：（，3），（1，+）【点睛】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性及计算能力，属于中档题18.把6本不同的书，全部分给甲，乙，丙三人，在下列不同情形下，各有多少种分法？（用数字作答）()甲得2本；()每人2本；()有1人4本，其余两人各1本【答案】（）240种（）90种（）90种【解析】【分析】（）根据题意，分2步进行分析：，在6本书中任选2本，分给甲，将剩下的4本分给乙、丙，由分步计数原理计算可得答案；（）根据题意，分2步进行分析：，将6本书平均分成3组，将分好的3组全排列，分给甲乙丙三人，由分步计数原理计算可得答案；（）根据题意，分2步进行分析：，在6本书中任选4本，分给三人中1人，将剩下的2本全排列，安排给剩下的2人，由分步计数原理计算可得答案；【详解】（）根据题意，分2步进行分析：，在6本书中任选2本，分给甲，有C6215种选法，将剩下4本分给乙、丙，每本书都有2种分法，则有222216种分法，则甲得2本分法有1516240种；（）根据题意，分2步进行分析：，将6本书平均分成3组，有15种分组方法，将分好的3组全排列，分给甲乙丙三人，有A336种情况，则有15690种分法；（）根据题意，分2步进行分析：，在6本书中任选4本，分给三人中1人，有C64C3145种分法，将剩下的2本全排列，安排给剩下的2人，有A222种情况，则有45290种分法【点睛】本题考查排列、组合的应用，考查了分组分配问题的步骤，涉及分类、分步计数原理的应用，属于中档题19.甲，乙二人进行乒乓球比赛，已知每一局比赛甲胜乙的概率是，假设每局比赛结果相互独立.()比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利的一方为获胜方，这时比赛结束求在一场比赛中甲获得比赛胜利的概率；()比赛采用三局两胜制，设随机变量为甲在一场比赛中获胜的局数，求的分布列和均值；()有以下两种比赛方案：方案一，比赛采用五局三胜制；方案二，比赛采用七局四胜制.问哪个方案对甲更有利.（只要求直接写出结果）【答案】（）（）分布列见解析，E（X）（）方案二对甲更有利【解析】【分析】（）甲获得比赛胜利包含二种情况：甲连胜二局；前二局甲一胜一负，第三局甲胜由此能求出甲获得比赛胜利的概率（）由已知得X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望（）方案二对甲更有利【详解】（）甲获得比赛胜利包含二种情况：甲连胜二局；前二局甲一胜一负，第三局甲胜甲获得比赛胜利的概率为：P（）2（）（）由已知得X的可能取值为0，1，2，P（X0）（）2，P（X1），P（X2）（）2（）随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 数学期望E（X）（）方案一，比赛采用五局三胜制；方案二，比赛采用七局四胜制方案二对甲更有利【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力及逻辑推理能力，是中档题20.已知函数，()当时，证明：；()的图象与的图象是否存在公切线（公切线：同时与两条曲线相切的直线）？如果存在，有几条公切线，请证明你的结论【答案】（）见解析（）曲线yf（x），yg（x）公切线的条数是2条，证明见解析【解析】【分析】（