北京高三数学一模分类汇编5 立体几何 理

2012北京市高三一模数学理分类汇编5：立体几何【2012北京市丰台区一模理】5若正四棱锥的正视图和侧视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ ）A4BC8D【答案】B【2012北京市房山区一模理】10. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 . 【答案】【2012北京市海淀区一模理】（8）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足与所成的角为的点的个数为 （A）0 （B）3 （C）4 （D）6【答案】B【2012北京市海淀区一模理】(16)（本小题满分14分）在四棱锥中，/，平面，. （）设平面平面，求证：/；（）求证：平面；（）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值【答案】（）证明： 因为/，平面，平面，所以/平面. 2分因为平面，平面平面，所以/. 4分（）证明：因为平面，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，. 5分所以 ，所以，.所以 ，. 因为 ，平面，平面，所以 平面. 9分（）解：设（其中），直线与平面所成角为.所以 .所以 .所以 即. 所以 . 11分由（）知平面的一个法向量为.12分因为 ，所以 .解得 .所以 . 14分【2012年北京市西城区高三一模理】4已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】正六棱柱的左视图是一个以AB长为宽，高为2的矩形，所以左视图的面积为，选A. 【2012北京市门头沟区一模理】3己知某几何体的三视图如右图所示，则其体积为(A)8(B) 4(C)(D) 【答案】B【2012北京市门头沟区一模理】8正四棱柱的底面边长为，点是的中点，是平面内的一个动点，且满足，到和的距离相等，则点的轨迹的长度为(A)(B)(C)(D) 【答案】D【2012北京市朝阳区一模理】4. 已知平面，直线，且，则“且”是“”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B【2012北京市朝阳区一模理】10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .【答案】4【2012北京市石景山区一模理】设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据线面垂直的性质可知选项D正确。【2012北京市石景山区一模理】7某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）、 A B C D【答案】A【解析】由三视图可知，该组合体下面是边长为2的正方体，上面是底边边长为2，侧高为2的四棱锥。四棱锥的高为，四棱锥的体积为，所以组合体的体积为，答案选 A.【2012北京市石景山区一模理】ACBDP8如图，已知平面，、是上的两个 点，、在平面内，且 ，在平面上有一个 动点，使得，则体积 的最大值是（ ） ABCD【答案】C【2012北京市石景山区一模理】17 （本小题满分14分）C1A1CB1ABD 如图，三棱柱中，面，为的中点. （）求证：； （）求二面角的余弦值； （）在侧棱上是否存在点，使得？请证明你的结论.【答案】 （I）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD 1分 BCC1B1是矩形，O是B1C的中点 又D是AC的中点，OD/AB1 AB1面BDC1，OD面BDC1，AB1/面BDC1 4分A1AC1zxyCB1BD （II）解：如图，建立空间直角坐标系， 则C1（0，0，0），B（0，3，2）， C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）， ， 5分 设是面BDC1的一个法向量，则即，取. 7分易知是面ABC的一个法向量. 8分 . 二面角C1BDC的余弦值为. 9分 （III）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP面BDC1. 设P（2，y，0）（0y3），则 ， 10分 则，即. 12分 解之方程组无解. 13分 侧棱AA1上不存在点P，使CP面BDC1. 14分【2012北京市门头沟区一模理】16（本小题满分14分）如图，在多面体中，四边形为正方形，为的中点EDABCFH（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的大小【答案】（）证明：，连结， OHEDABCF因为为正方形，所以是中点，又是中点，所以，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面所以平面4分（）证明：因为，是的中点，所以6分又因为，所以 yxAOHEDBCFz 又因为 所以平面， 因为平面，所以，8分所以平面9分（），两两垂直，建立如图所示的坐标系，设，则，10分设平面的法向量为， ，所以 11分平面的法向量为 12分 13分二面角为锐角，所以二面角等于14分【2012北京市朝阳区一模理】17. （本小题满分14分）CAFEBMD 在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形， 平面，且是的中点. （）求证：平面； （）求二面角的大小； （）在线段上是否存在一点， 使得与所成的角为？ 若存在，求出的长度；若不 存在，请说明理由.【答案】证明：（）取的中点，连接.NCAFEBMD在中，是的中点，是的中点，所以， 又因为， 所以且.所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面，平面， 故平面. 4分解法二：因为平面，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 1分 由已知可得 zCAFEBMDxy（）， . 2分设平面的一个法向量是. 由得 令，则. 3分又因为， 所以，又平面，所以平面. 4分（）由（）可知平面的一个法向量是. 因为平面，所以. 又因为，所以平面. 故是平面的一个法向量. 所以，又二面角为锐角， 故二面角的大小为. 10分 （）假设在线段上存在一点，使得与所成的角为. 不妨设（），则. 所以， 由题意得， 化简得， 解得. 所以在线段上不存在点，使得与所成的角为.14分【2012北京市东城区一模理】（17）（本小题共13分）如图1，在边长为的正三角形中，分别为，上的点，且满足.将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结，.（如图2）（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的大小. 图1 图2 【答案】（）证明：取中点，连结.因为，所以，而，即是正三角形.又因为, 所以. 2分所以在图2中有，.3分所以为二面角的平面角. 图1又二面角为直二面角，所以. 5分又因为,所以平面,即平面. 6分（）解：由（）可知平面，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，.在图中，连结.因为，所以，且.所以四边形为平行四边形.所以，且.故点的坐标为（1，0）. 图2所以， ，.8分不妨设平面的法向量，则即令，得. 10分所以. 12分故直线与平面所成角的大小为. 13分【2012年北京市西城区高三一模理】17（本小题满分14分）如图，四边形与均为菱形， ，且（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的余弦值 【答案】（）证明：设与相交于点，连结因为 四边形为菱形，所以，且为中点 1分又 ，所以 3分因为 ， 所以 平面 4分 （）证明：因为四边形与均为菱形，所以/，/， 所以 平面/平面 7分 又平面，所以/ 平面 8分 （）解：因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形因为为中点，所以，故平面由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 9分 设因为四边形为菱形，则，所以，所以 所以 ， 设平面的法向量为，则有所以 取，得 12分 易知平面的法向量为 13分 由二面角是锐角，得 所以二面角的余弦值为 14分【2012北京市房山区一模理】17.（本小题共14分）在直三棱柱中，=2 ,.点分别是 ,的中点，是棱上的动点.（I）求证：平面；(II)若/平面，试确定点的位置，并给出证明；(III)求二面角的余弦值.【答案】(I) 证明：在直三棱柱中，点是的中点， 1分, 平面 2分平面，即 3分又平面 4分 （II）当是棱的中点时，/平