云南玉溪一中高二数学下学期期末考试试卷理

玉溪一中20172018学年下学期高二年级期末考理科数学 试卷 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填涂在答题卡上2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知A=|，B=|，则AB =A. |或 B. | C. | D. |【答案】D【解析】【分析】根据二次不等式的解法得到B=|=，再根据集合的并集运算得到结果.【详解】B=x|x2-2x-30=x|1x1,则AB =x|x-1.故答案为:D.【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素二是考查抽象集合的关系判断以及运算2.复数2i1+i =A. 1i B. 1+i C. 1+i D. 1i【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算得到结果.【详解】复数-2i1+i=-2i1i1+i1i=i1i=i1 故答案为：A.【点睛】本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.设等差数列an的前n项和为Sn，若a4+a6=10，则S9=A. 20 B. 35 C. 45 D. 90【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的前n项和的性质得到S9=92a1+a9=92a4+a6，直接求解【详解】等差数列an的前n项和为Sn，a4+a6=10，S9=92a1+a9=92a4+a6=45.故选：C【点睛】这个题目考查的是数列求和的常用方法；数列通项的求法中有:直接根据等差等比数列公式求和；已知Sn和an的关系，求an表达式，一般是写出Sn1做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。4.设xR，则“x3414”是“x31”的A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据绝对值不等式和三次不等式的解法得到解集，根据小范围可推大范围，大范围不能推小范围得到结果.【详解】解x-3414得到12x1，解x31，得到x1，由12x1则一定有x1；反之x1,则不一定有12x1；故“x-3414”是“x3b0)的左右焦点分别为F1，F2，以O为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点P，且直线OP的斜率为3，则椭圆的离心率为A. 22 B. 312 C. 32 D. 31【答案】D【解析】【分析】利用直角三角形的边角关系、椭圆的定义离心率计算公式即可得出【详解】在RtPF1F2中，F1PF2=90，直线OP的斜率为3故得到POF2=60，|PF2|=c，由三角形三边关系得到|PF1|=3c，又|PF1|+|PF2|=2a=c+3c，ca=23+1=31.故选：D【点睛】本题考查椭圆的几何性质及其应用，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a,c，代入公式e=ca；只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2=a2c2转化为a,c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或a2转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).12.已知函数f(x)=ex(3x1)ax+a（a1），若有且仅有两个整数xi (i=1，2)，使得f(xi)0)，若对所有的x20,4总存在x10,4，使得f(x1)=g(x2)成立，则实数m的取值范围是_【答案】1，43【解析】【分析】分别求得f（x）、g（x）在0，4上的值域，结合题意可得它们的值域间的包含关系，从而求得实数m的取值范围【详解】f（x）=sin2x+3（2cos2x1）=sin2x+3cos2x=2sin（2x+3），当x0，4，2x+33，56，sin（2x+3）1，2，f（x）1，2对于g（x）=mcos（2x6）2m+3（m0），2x66，3，mcos（2x6）m2，m，g（x）32m+3，3m由于对所有的x20，4总存在x10，4，使得f（x1）=g（x2）成立，可得3m2+3，3m1，2，故有 3m2，3m2+31，解得实数m的取值范围是1，43故答案为：1，43【点睛】本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查三角函数的性质的运用，考查二倍角的余弦，解决问题的关键是理解“对所有的x20，4总存在x10，4，使得f（x1）=g（x2）成立”的含义，转化为f（x）的值域是g（x）的子集三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为，b，且(a+b)(sinAsinB)=c(sinCsinB)（1）求A （2）若a=4，求ABC面积S的最大值【答案】（1）A=3；（2）43【解析】【分析】（1）根据正弦定理得到b2+c2-a2=bc，再由余弦定理得到cosA=b2+c2-a22bc=12，根据特殊角的三角函数值得到结果；（2）根据余弦定理可知：a2=b2+c2-bc，根据重要不等式和a=4得到162bc-bc=bc，即bc16，再由ABC面积S=12bcsin3=34bc43，最终得到结果.【详解】（1）根据正弦定理可知：(a+b)(a-b)=c(c-b)，整理得b2+c2-a2=bc，由余弦定理的推论得cosA=b2+c2-a22bc=12， 0A， A=3 （2）根据余弦定理可知：a2=b2+c2-2bccos3=b2+c2-bc， b2+c22bc且a=4， 162bc-bc=bc，即bc16. ABC面积S=12bcsin3=34bc43，当且仅当b=c=4时等号成立故ABC面积S的最大值为43【点睛】1解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“a+b,ab,a2+b2”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题;2注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等;3正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.18.已知某厂生产的电子产品的使用寿命X（单位：小时）服从正态分布N(1000，2)，且P(X800)=0.1，P(X1300)=0.02（1）现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在1200，1300的概率；（2）现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品使用寿命在800，1200的件数为Y，求Y的分布列和数学期望E(Y)【答案】（1）0.08；（2）分布列见解析，期望为125【解析】【分析】（1）X正态分布N（1000，2），且P（X800）=0.1，P（X1300）=0.02可得P（1200X1300）+P（X1300）=P（X1200）=P（X800）即可得出P（1200X1300）;（2）P（800X1200）=12P（X800）=45可得YB(3, 45)P（Y=k）=C3k45k153k，（k=0，1，2，3）即可得出【详解】（1） X正态分布N(1000，2)，P(X800)=0.1，P(X1300)=0.02P(1200X1300)+P(X1300)=P(X1200)=P(X800)=0.1 P(1200X1300)=0.1-0.02=0.08 即从该厂随机抽取一件产品，其使用寿命在1200，1300的概率为0.08（2） P(800Xb0的离心率为32，且C过点1,32.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线与椭圆C交于P,Q两点（点P,Q均在第一象限），且直线OP,l,OQ的斜率成等比数列，证明：直线的斜率为定值.【答案】(1) x24+y2=1;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率和所过的点得到关于a,b,c的方程组，解得a,b,c后可得椭圆的方程（2）由题意设直线的方程为y=kx+mm0，与椭圆方程联立后消元可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系可得直线OP,OQ的斜率，再根据题意可得k2=y2x2y1x1，根据此式可求得k=-12，为定值试题解析：（1）由题意可得ca=321a2+34b2=1a2=b2+c2，解得a=2b=1故椭圆C的方程为x24+y2=1（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为y=kx+mm0，由y=kx+mx24+y2=1，消去y整理得1+4k2x2+8kmx+4m2-1=0，直线与椭圆交于两点，=64k2m2-161+4k2m2-1=164k2-m2+10设点P,Q的坐标分别为x1,y1,x2,y2，则x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-11+4k2，y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+kmx1+x2+m2直线OP,l,OQ的斜率成等比数列，k2=y2x2y1x1=k2x1x2+kmx1+x2+m2x1x2，整理得kmx1+x2+m2=0，8k2m21+4k2+m2=0，又m0，所以k2=14，结合图象可知k=-12，故直线的斜率为定值点睛：（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查（2）解决定值问题时，可直接根据题意进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值21.已知函数f(x)=xalnx，（aR）.（1）当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；（2）设g(x)=a+1x，若不等式f(x)g(x)对任意x1，e恒成立，求的取值范围.【答案】（1）x+y2=0；（2）(2，e2+1e1)【解析】【分析】(1)把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；(2) 设h(x)=f(x)-g(x)= x+1+ax-alnx,即h(x)0恒成立，对函数求导，分ae-1，a0，0a0)，h(x)=1-1+ax2-ax= x2-ax-(1+a)x2=(x+1)x-(1+a)x2， 不等式f(x)g(x)对任意x1,e恒成立，即函数h(x)=x+1+ax-alnx在1,e上的最小值大于零.当1+ae，即ae-1时，h(x)在1,e上单调递减， h(x)的最小值为h(e)，由h(e)=e+1+ae-a0可得ae-1， e-1a0可得a-2，即-2a0. 当11+ae，即0ae-1时，可得h(x)最小值为h(1+a)， 0ln(1+a)1， 0aln(1+a)2.即0a0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为fxmin0 ，若fx0恒成立fxmaxgx 恒成立，可转化为fxmingxmax（需在同一处取得最值） .（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答如果多做，那么按所做的第一题计分22.在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为(2，0)，半径为2，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为：x=-ty=1+t（为参数）（1）求圆C和直线l的极坐标方程；（2）点P的极坐标为(1，2)，直线l与圆C相交于A，B，求PA+PB的值【答案】（1）圆C的极坐标方程为2-4cos+2=0，的极坐标方程为cos+sin=1；（2）32【解析】【分析】（1）x=cosy=sin代入圆C得圆C的极坐标方程；直线l的参数方程转化成普通方程，进而求得直线l的极坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，求得关于t的一元二次方程，令A，B对应参数分别为t1，t2，根据韦达定理、直线与圆的位置关系，即可求得|PA|+|PB|的值【详解】（1）圆C的直角坐标方程为：(x-2)2+y2=2，把x=cosy=sin代入圆C得：(cos-2)2+2sin2=2化简得圆C的极坐标方程为：2-4cos+2=0由l: x=-ty=1+t（为参数），得x+y=1，的极坐标方程为：cos+sin=1. （2）由点P的极坐标为(1，2)得点P的直角坐标为P(0，1)，直线的参数方程可写成：x=-22ty=1+22t（为参数）代入圆C得：(-22t-2)2+(1+22t)2=2化简得：t2+32t+3=0，t1+t2=-32，t1t2=3，PA+PB=t1+t2=-(t1+t2)=32【点睛】本题考查圆的极坐标方程与普通方程的转换，直线与圆的位置关系，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题一般t的绝对值表示