北京第四中学高二数学下学期期中

北京四中20182019学年下学期高二年级期中测试数学试卷一、选择题。1.复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】求得复数对应点坐标，由此求得复数对应点所在的象限.【详解】依题意复数对应的点的坐标为，对应的坐标在第四象限，故选D.【点睛】本小题主要考查复数对应点坐标的象限的判断，考查复数的概念，属于基础题.2.下列求导正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据导数的运算公式，对四个选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，故A选项正确.对于B选项，故B选项错误.对于C选项，故C选项错误.对于D选项，故D选项错误.综上所述，本小题选A.【点睛】本小题主要考查加减法、乘除法的导数的运算，考查运算求解能力，属于基础题.3.曲线在点P（1，1）处的切线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得函数在处的导数，也即切线的斜率，由此求得切线方程.【详解】依题意，当时，即切线的斜率为，故切线方程为，即，故选B.【点睛】本小题主要考查函数的导数的求法，考查函数在某点处切线方程的求法，考查直线方程点斜式和一般式，属于基础题.4.函数=3+xlnx单调递增区间为（ ）A. （0，）B. （0，e）C. （，+）D. （e，+）【答案】C【解析】【分析】先求函数的定义域，然后利用函数的导数求得函数的单调递增区间.【详解】函数的定义域为，令，解得，故选C.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查利用导数求函数的单调递增区间的方法，属于基础题.5.函数在区间（l，+）上是减函数，则实数b的取值范围是（ ）A. （，lB. 1，+）C. （，1）D. （1，+）【答案】A【解析】【分析】令函数的导数为非正数，分离常数后【详解】当时，令，化简得，上述不等式在时恒成立，而，故，所以本小题选A.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数在某个区间上的单调性问题，考查恒成立问题的求解策略，属于中档题.6.当（i为虚数单位）时，的值为（ ）A. 1B. 1C. iD. i【答案】D【解析】试题分析：根据题意，当z时，z100z501=的值等于-i，故选D.考点：导数研究函数的单调性点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，易错点在于忽视函数的定义域，属于中档题7.函数在区间1，1上的最大值是（ ）A. 4B. 2C. 0D. 2【答案】B【解析】【分析】先求得函数在区间上的极值，然后比较极值点和区间端点的函数值，由此求得函数在区间上的最大值.【详解】令，解得或.，故函数的最大值为，所以本小题选B.【点睛】本小题主要考查函数在闭区间上的最大值和最小值问题，考查导数的运算，属于基础题.8.函数，若其导数的图象如图所示，则函数的极小值是（ ）A. a+b+cB. 8a+4b+cC. 3a+2bD. c【答案】D【解析】【分析】根据导函数的图象，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的极小值【详解】f（x）=3ax2+2bx，根据导函数的图象，可知0，2是方程3ax2+2bx=0的根，当x0或x2时，f（x）0，函数为减函数，当0x2时，f（x）0，函数为增函数，x=0时，函数f（x）取得极小值，极小值为f（0）=c，故选：D【点睛】本题考查导函数的图象，考查极值的计算，属于基础题9.已知复数z满足|z|=1，则|zi|（i为虚数单位）的最大值是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据复数模的几何意义，求得题目所给表达式的最大值.【详解】表示的复数在单位圆上，而表示的几何意义是单位圆上的点，到点距离，由于点在单位圆上，故最远的距离为直径，单位圆的直径为，故本小题选C.【点睛】本小题主要考查复数模的几何意义，考查化归与转化的数学思想方法，考查圆的几何性质，属于基础题.10.函数=，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A. （，1）B. （，1C. （0，1）D. 0，+）【答案】A【解析】分析】根据分段函数的表达，画出函数的图像，结合函数和的图像有且只有两个交点，来求得实数的取值范围.【详解】当时，故.当时，故.以此类推，当时，.由此画出函数和的图像如下图所示，由图可知的取值范围是时，和的图像有且仅有两个交点.即方程有且只有两个不相等的实数根.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查方程的根和函数的零点问题，综合性较强，属于中档题.二、填空题。11.曲线在x=l处的切线的斜率是_。【答案】【解析】【分析】先求得曲线对应函数的导数，由此求得切线的斜率.【详解】依题意，当时，导数为，即此时切线的斜率为.【点睛】本小题主要考查乘法的导数，考查切线斜率的概念和求法，属于基础题.12.函数的极大值点是_，极大值是_。【答案】 (1). 2 (2). 16【解析】【分析】先求得函数的导数，求得函数的单调区间，由此求得函数的极大值点和极大值.【详解】依题意，故函数在或时，导数小于零，函数单调递减，在时，导数大于零，函数单调递增，故函数在处取得极大值.即极大值点为，极大值为.【点睛】本小题主要考查函数导数的求法，考查函数单调区间的求法，考查函数极值点和极值的求法，属于基础题.13.函数在区间（1，+）上是增函数，则实数a的取值范围是_。【答案】【解析】试题分析：由题意得：在上恒成立，所以即实数的取值范围是.考点：利用导数研究函数增减性14.设复数（i为虚数单位），若z为纯虚数，则实数a=_.【答案】8【解析】【分析】将化为的形式，根据为纯虚数，求得实数的值.【详解】依题意为纯虚数，故，解得.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查纯虚数的概念，考查运算求解能力，属于基础题.15.设函数，若的值域为，则实数的取值范围是_。【答案】（，12，+）【解析】【分析】根据指数函数和一次函数的值域的知识，求得分段函数每一段的取值范围，再结合函数的值域为列不等式，由此求得实数的取值范围.【详解】当时，；当时，.由于的值域为，故，即，解得.【点睛】本小题主要考查分段函数的值域的求法，考查指数函数和一次函数的值域求法，考查一元二次次不等式的解法，属于基础题.16.已知函数，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】判断出函数为奇函数，并且导数为正数，为递增函数，利用奇偶性和单调性化简题目所给的不等式，由此求得的取值范围.【详解】由于，故函数为奇函数，由于故函数为上的增函数.由得，故.故的取值范围是.【点睛】本小题考查函数的奇偶性，考查利用导数求函数的单调性，考查抽象不等式的解法.对于有关函数的题目，首先想到的是函数的性质，如单调性、奇偶性和周期性等等.对于抽象函数的不等式，往往要结合函数的单调性来求解.利用导数可以判断出函数的单调性.属于中档题.三、解答题。17.已知：复数与在复平面上所对应的点关于y轴对称，且（i为虚数单位），|=。（I）求的值；（II）若的虚部大于零，且（m，nR），求m，n的值。【答案】（I）或（II）【解析】【分析】（I）设，得出的表达式，根据和列方程组，解方程组求得的值，进而求得的值.（II）根据（I）的结论确定的值.代入运算化简，根据复数相等的条件列方程组，解方程组求得的值.【详解】解：（I）设（x，yR），则 =x+yi，z1（1i）=（1+i），|=，或，即或 （II）的虚部大于零，则有，。【点睛】本小题主要考查复数的概念，考查复数的模、复数相等、复数的虚部等知识，属于基础题.18.如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图已知为直径，且km,为圆心，为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且现在准备从经过到建造一条观光路线，其中到是圆弧，到是线段.设，观光路线总长为.（1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）求观光路线总长的最大值.【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（1）观光路线总长为+，根据弧长公式有，根据等腰三角形OCD有，所以，根据角实际意义可知：（2）利用导数求函数最值：先求导数，得定义区间上零点：。列表x(0，)(，)0f (x)递增极大值递减 分析可知函数在处取得极大值，这个极大值就是最大值，即.试题解析：(1)由题意知， 2分， 5分因为为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且，所以所以，7分(2)记,则， 9分令，得， 11分列表x(0，)(，)0f (x)递增极大值递减 所以函数在处取得极大值，这个极大值就是最大值， 13分即，答：观光路线总长的最大值为千米 14分考点：函数解析式，利用导数求最值19.已知：函数。（I）若曲线在点（，0）处的切线为x轴，求a的值；（II）求函数在0，l上的最大值和最小值。【答案】（I）（II）见解析【解析】【分析】（I）根据函数对应的曲线在点处切线为轴，根据切点在曲线上以及在处的导数为列方程，解方程求得和的值.（II）先求得函数的导数，对分成四种情况，利用函数的单调性，求得函数的最大值和最小值.【详解】解：（I）由于x轴为的切线，则， 又=0，即3=0， 代入，解得=，所以=。（II）=，当0时，0，在0，1单调递增，所以x=0时，取得最小值。x=1时，取得最大值。当3时，0，在0，1单调递减，所以，x=1时，取得最小值x=0时，取得最大值。 当03时，令=0，解得x=，当x变化时，与的变化情况如下表：x（0，）（，1）0+极小值由上表可知，当时，取得最小值；由于，当01时，在x=l处取得最大值， 当10。请你给出一个满足上述两个条件的函数的例子_。【答案】【解析】【分析】根据题目所给函数要满足的条件，写出相应的函数的例子.【详解】依题意可知，有极大值，也有极小值；且满足，.【点睛】本小题主要考查函数的极值，考查函数的值域，属于基础题.三、解答题。26.已知函数=（I）求函数的单调区间；（II）设函数=（x+1）lnxx+1，证明：当x0且x1时，x1与同号。【答案】（I）的增区间是（1，+），减区间是（0，1） （II）见证明【解析】【分析】（I）先求得函数的定义域，然后对函数求导，利用导数求得函数的单调区间.（II）先求得函数的定义域，对函数求导，根据（I）的结论判断出函数的单调区间，根据，由此证得和时，与同号.【详解】解：（I）函数的定义域是（0，+），又=，令=0，得x=1，当x变化时，与的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+）0+所以，的增区间是（1，+），减区间是（0，1） （II）函数的定义域是（0，+），又=lnx+=lnx+=，由（I）可知，=1，所以，当x0时，0，所以，在区间（0，+）上单调递增。因为，所以当x1时，且x10；当0x1时，且x10且x1时，x1与同号。【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数值的取值范围，属于中档题.27.如果函数在定义域内存在区间a，b，使在a，b上的值域是2a，2b，那么称为“倍增函数”。（I）判断=是否为“倍增函数”，并说明理由；（II）证明：函数=是“倍增函数”；（III）若函数=ln（）是“倍增函数”，写出实数m的取值范围。（只需写出结论）【答案】（I）见解析；（II）见证明；（III）m0时，=0，所以在区间（0，+）上单调递增。设=2x=，=。设h（x）=，=0，所以，h（x）在区间（，+）上单调递增。又h（0）=20，所以