北京首都师范大学新高三数学暑假作业

北京市首都师范大学新高三数学暑假作业http:/www.DearEDU.com第一章 集合与简易逻辑1已知全集且则等于( C )（A）（B） （C） （D）2设集合，则等于（ B ）A B C D解：，所以，故选B。3已知集合集合 则等于（D） （A） （B） （C） （D）4已知集合U=1,2,3,4,5,6,7, A=2,4,5,7,B=3,4,5,则= ( D )(A)1,6 (B)4,5 (C)1,2,3,4,5,7 (D)1,2,3,6,75若集合，则AB等于( B ) （A）. （B）. （C）. （D）.6已知集合Mx|x3，Nx|log2x1，则MN ( D )（A） （B）x|0x3 （C）x|1x3 （D）x|2x37已知集合，集合，则集合（C）（A） （B） （C） （D）8设集合，那么“”是“”的（ B ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件9有限集合中元素个数记作card，设、都为有限集合，给出下列命题： 的充要条件是card= card+ card； 的必要条件是cardcard； 的充分条件是cardcard； 的充要条件是cardcard.其中真命题的序号是 （B ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、解：选B，选由card= card+ card+ card知card= card+ cardcard=0。由的定义知cardcard。10设集合，则（ B ）A B C D解：集合M写成区间形式为（0，1），集合N写成区间形式为（2，2），M是N的真子集。故B成立。11若A、B、C为三个集合，则一定有（ A ）（A） （B） （C）（D）解：由知，故选（A）点评：本题主要考查集合间关系的运算12已知集合，则（C）A B. x|x1 C.x|x1 D. x| x1或x1或x0，Ny|y1故选C13设集合,则满足的集合B的个数是（ C ）(A)1 (B)3 (C)4 (D)8【解析】，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合 的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个。故选择答案C。14已知集合A-1，3，2-1，集合B3，若BA，则实数 1 15若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（ A ）（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件； （C）充要条件； （D）非充分非必要条件16设集合x2,B=x|0x4,则AB= (A )(A)0,2 (B)1,2 (C)0,4 (D)1,417定义集合运算：AB=zz= xy(x+y)，zA，yB，设集合A=0，1，B=2，3，则集合AB的所有元素之和为 （D）（A）0 （B）6 （C）12 （D）1818下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）.将函数y=的图象按向量v=(1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=圆x2+y2+4x+2y+1=0与直线y=相交，所得弦长为2若sin(+)= ,sin()=,则tancot=5如图，已知正方体ABCD- A1B1C1D1，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分.（18题图）第二章 函数19函数的反函数是（A）（A） （B）（C） （D）20函数 的反函数是（ C ）A B CD解：有关分段函数的反函数的求法，选C。21函数对于任意实数满足条件，若则_。解：由得，所以，则。22函数的定义域是（ B ） A. B. C. D. 解：由，故选B.23下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ）A. B. C. D. 解：B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.24函数的反函数的图象与y轴交于点(如图2所示)，则方程的根是（ C ）A. 4 B. 3 C. 2 D.1解：的根是2，故选C25设函数的图像过点，其反函数的图像过点，则等于（ B ） （A）6 （B）5 （C）4 （D）326已知函数若则 （B）（A） （B）（C） （D）与的大小不能确定27为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文 明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文例如，明文对应密文当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（B）（A） （B）（C） （D）28方程的解 2 . 29函数的反函数 .30已知函数是定义在上的偶函数. 当 时，则当时，.31函数ylnx1(x0)的反函数为 (B )（A）yex1(xR) （B）yex1(xR) （C）yex1(x1) (D)yex1(x1)32函数yf(x)的图像与函数g(x)log2x(x0)的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为 (D )(A)f(x)(x0) (B)f(x)log2(x)(x0)(C)f(x)log2x(x0) (D)f(x)log2(x)(x0)33如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的倍，则函数y=f(x)的图象是 ( D ) 33题图33题图34已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（D） A B C D 35设，则的定义域为（B） A. B. C. D. 解选B。由得，的定义域为。故，解得。故的定义域为。36关于的方程，给出下列四个命题： 存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是 （A）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3解选A。本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令，则方程化为，作出函数的图象，结合函数的图象可知：（1）当t=0或t1时方程有2个不等的根；（2）当0t1时方程有4个根；（3）当t=1时，方程有3个根。故当t=0时，代入方程，解得k=0此时方程有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根；当方程有两个不等正根时，即此时方程有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程的解有8个，即原方程的解有8个；当时，方程有两个相等正根t，相应的原方程的解有4个；故选A。37已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ D ）A BC D解：的反函数是，所以。选D。38已知，函数为奇函数，则a（ A ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）1解：法一：由函数是定义域为R的奇函数，则， 即，则a0，选A法二：得：，则a0，选AtOQ(t)10c612图（1）点评：主要考查奇函数的定义和性质39某地一年的气温Q（t）（单位：c）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10c，令G（t）表示时间段0,t的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（ A ）tO612tG(t)10cAOG(t)12610cBOt12610cG(t)Ct126OG(t)10cD 解：结合平均数的定义用排除法求解40设的反函数为，若，则=_解：f1（x）3x6故f1（m）6f1（x）63m3n3m n27mn3f（mn）log3（36）241设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是（ D ）(A)是奇函数 (B)是奇函数 (C) 是偶函数 (D) 是偶函数【解析】A中则，即函数为偶函数，B中，此时与的关系不能确定，即函数的奇偶性不确定，C中，即函数为奇函数，D中，即函数为偶函数，故选择答案D。【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断，同时考查了函数的运算。42 设是R上的一个运算,A是R的非空子集,若对任意有,则称A对运算封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是（ C ）(A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集【解析】A中121不是自然数，即自然数集不满足条件；B中120.5不是整数，即整数集不满足条件；C中有理数集满足条件；D中不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C。【点评】本题考查了阅读和理解能力，同时考查了做选择题的一般技巧排除法。43 设则_【解析】.【点评】本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算.44 已知是上的减函数，那么的取值范围是 (C)（A） （B） （C） （D）45 若函数（0，且1）的反函数的图像过点（2，1），则=46 已知0a1，则 (A )(A)1nm (B) 1mn (C)mn1 (D) nm147 函数的定义域是( D )A.(3,+) B.3, +) C.(4, +) D.4, +)48 “a=1”是“函数在区间1, +)上为增函数”的( A )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件49 函数y=1+ax(0a0,q：0时, ,所以在0,1上为增函数因函数为偶函数所以在-1,0上为减函数所以对任意的因此结论成立.证法2: 当时, 当x0时, ,所以在0,1上为增函数因函数为偶函数所以在-1,0上为减函数所以对任意的又因所以因此结论成立.证法3: 当时, 当x0时, ,所以在0,1上为增函数因函数为偶函数所以在-1,0上为减函数所以对任意的由对上式两边求导得因此结论成立.【点评】本小题考查导数的基本计算,函数的性质,绝对值不等式及组合数性质等基础知识,考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.74 设数列、满足：，（n=1,2,3,），证明：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,）证明：必要性：设数列是公差为的等差数列，则：=-=0，（n=1,2,3,）成立；又=6（常数）（n=1,2,3,）数列为等差数列。充分性：设数列是公差为的等差数列，且（n=1,2,3,）， 得：= 从而有得：，由得：（n=1,2,3,），由此，不妨设（n=1,2,3,），则（常数）故从而得：，故（常数）（n=1,2,3,），数列为等差数列。综上所述：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,）。75 设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通项公式解：()当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1当n2时，x2a2xa20有一根为S21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a1()由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，即Sn22Sn1anSn0当n2时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10由()知S1a1，S2a1a2由可得S3由此猜想Sn，n1，2，3，8分下面用数学归纳法证明这个结论(i)n1时已知结论成立(ii)假设nk时结论成立，即Sk，当nk1时，由得Sk1，即Sk1，故nk1时结论也成立综上，由(i)、(ii)可知Sn对所有正整数n都成立10分于是当n2时，anSnSn1，又n1时，a1，所以an的通项公式an，n1，2，3， 12分76 已知数列，其中，记数列的前项和为，数列的前项和为（）求； （）设，（其中为的导函数），计算本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及对数运算、导数运算和极限运算的能力，同时考查分类讨论的思想方法，满分12分。解：（）由题意，是首项为，公差为的等差数列 前项和，（） 77. 已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 解（1）. 4分 （2）， 8分 ， 当时，. 12分 （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. 14分研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围. 16分研究的结论可以是：由， 依次类推可得 当时，的取值范围为等. 18分78 已知正项数列，其前项和满足且成等比数列，求数列的通项解: 10Sn=an2+5an+6, 10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3. 又10Sn1=an12+5an1+6(n2), 由得 10an=(an2an12)+6(anan1),即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 , anan1=5 (n2). 当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列a13;当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3.79已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为.()求数列的首项和公比；()对给定的,设是首项为，公差为的等差数列.求数列的前10项之和；*()设为数列的第项，求，并求正整数，使得 存在且不等于零.(注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷数列前n项和的极限)解: ()依题意可知,()由()知,所以数列的的首项为,公差,即数列的前10项之和为155.() =，=当m=2时，=，当m2时，=0，所以m=280已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列满足证明是等差数列。*（）证明：解：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列。即（II）证法一：，得即，得即是等差数列。证法二：同证法一，得令得设下面用数学归纳法证明（1）当时，等式成立。（2）假设当时，那么这就是说，当时，等式也成立。根据（1）和（2），可知对任何都成立。是等差数列。（III）证明：81数列的前项和为，已知（）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（）设，求数列的前项和。解：由得：，即，所以，对成立。由，相加得：，又，所以，当时，也成立。（）由，得。而，82设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：解：（I），解得：所以数列是公比为4的等比数列所以：得： （其中n为正整数）（II）所以： 83已知数列满足：，且（1）求数列的通项公式；*（2）证明：对于一切正整数n，不等式恒成立.解：将条件变为：1，因此1为一个等比数列，其首项为1，公比，从而1，据此得an（n1）1（1） 证：据1得，a1a2an为证只要证nN*时有2显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nN*，有1（）3用数学归纳法证明3式：（i） n1时，3式显然成立，（ii） 设nk时，3式成立，即1（）则当nk1时，1（）（）1（）（）1（）即当nk1时，3式也成立。故对一切nN*，3式都成立。利用3得，1（）11故2式成立，从而结论成立。第四章 三角函数84已知函数（、为常数，）在处取得最小值，则函数是（D）A偶函数且它的图象关于点对称 B偶函数且它的图象关于点对称C奇函数且它的图象关于点对称 D奇函数且它的图象关于点对称85已知则等于（ A ）（A） （B） （C） （D）86已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于（ B ）（A） （B） （C）2 （D）387将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ C ） A BC D解：将函数的图象按向量平移，平移后的图象所对应的解析式为，由图象知， ，所以，因此选C。88设，对于函数，下列结论正确的是（ B ）A有最大值而无最小值 B有最小值而无最大值C有最大值且有最小值 D既无最大值又无最小值解：令，则函数的值域为函数的值域，又，所以是一个减函减，故选B。89如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（D）A和都是锐角三角形 B和都是钝角三角形C是钝角三角形，是锐角三角形D是锐角三角形，是钝角三角形解：的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形，若是锐角三角形，由，得，那么，所以是钝角三角形。故选D。90 等式成立是成等差数列 的（A ）（）充分而不必要条件 （）必要而不充分条件（）充分必要条件 （）既不充分又不必要条件91已知非零向量与满足且，则为（D）（A）等边三角形（B）直角三角形（C）等腰非等边三角形（D）三边均不相等的三角形92的值为-。93已知，sin()= sin则cos=.94在中，已知，三角形面积为12，则.95函数ysin2xcos2x的最小正周期是 (D )（A）2 （B）4 （C） （D）96若f(sinx)3-cos2x，则f(cosx)=(C)（A）3-cos2x （B）3-sin2x （C）3+cos2x （D）3+sin2x97已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB1，BC4，则边BC上的中线AD的长为 98下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（D）（A） （B） （C） （D）99设分别是的三个内角所对的边，则“”是“”的（A）（A）充要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分又不必要条件100若的内角满足，则=（A） A. B. C. D. 解：A 。 ，。，=。101 设平面向量、的和。如果向量、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则A BC D解：由题意，从而。选D。102已知两点M（-2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足0，则动点P（x，y）的轨迹方程为（ B ）（A） （B） （C） （D）解：由题意 ，所以有即：，故选（B）点评：本题主要考查点的轨迹方程的求法103 的三内角所对边的长分别为设向量,若,则角的大小为（ B ）(A) (B) (C) (D) 【解析】，利用余弦定理可得，即，故选择答案B。【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。104设,点是线段上的一个动点,若,则实数的取值范围是（B ）(A) (B) (C) (D) 【解析】解得: ,因点是线段上的一个动点,所以,即满足条件的实数的取值范围是,故选择答案B. 【点评】本题考查向量的表示方法,向量的基本运算,定比分点中定比的范围等等.105若与都是非零向量，则“”是“”的 (C)（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件106如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ C ）ABCD（A）； （B）；（C）； （D） 107设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)c,ab,若|a|=1,则的值是 4108已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 ( B )AOMPB图2A.0, B. C. D.109如图2,OMAB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是;当时,的取值范围是 . 110设向量a=(1, 3),b=(2,4),c=(1,2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为 ( D)(A)(2,6) (B)(-2,6) (C)(2,-6) (D)(-2,-6)北2010ABC111如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？112如图，在中，（1）求的值；（2）求的值. 解：；113已知是三角形三内角，向量，且（）求角；（）若，求本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12分。解：（） 即, （）由题知，整理得 或而使，舍去 114已知函数. （1）若，求函数的值； （2）求函数的值域. 解：（1）， 2分 4分 . 8分 （2）， 10分 ， ， ， 函数的值域为. 14分115设函数(其中0,),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.（）求的值；（）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值.解：,116已知函数（I）求函数的最小正周期；（II）求使函数取得最大值的集合。解:() f(x)=sin(2x)+1cos2(x) = 2sin2(x) cos2(x)+1 =2sin2(x)+1 = 2sin(2x) +1 T= ()当f(x)取最大值时, sin(2x)=1,有 2x =2k+ 即x=k+ (kZ) 所求x的集合为xR|x= k+ , (kZ).117已知（）求的值；（）求的值。解：()由得，即，又，所以为所求。（）=。118已知函数（）求的最小正周期；（）求的最大值和最小值；（）若，求的值.解：（）的最小正周期为;（）的最大值为和最小值；（）因为，即,即 119已知函数（I）求函数的最小正周期和单调增区间；（II）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。解：（I）的最小正周期由题意得即的单调增区间为（II）方法一：先把图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象。方法二：把图象上所有的点按向量平移，就得到的图象。第五章 平面向量120在中，M为BC的中点，则_。（用表示）解：，所以。121已知点C在内，且，设，则等于 （ B ）（A） （B）3 （C） （D）122对于直角坐标平面内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”：给出下列三个命题：若点C在线段AB上，则在中，若则在中，其中真命题的个数为 （ B ）（A）0（B）1（C）2（D）3123如图1所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量（ A ）A. B. C. D. 解：，故选A.124与向量的夹解相等，且模为1的向量是 ( B)(A) (B) 或（C） （D）或125 若向量的夹角为，则2 .126 如图，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（A）（A） （B） （C） （D）127 设向量与的夹角为，且，则_128 已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则=（B） A. B. C. D. 解选B。设，则依题意有129 函数的单调增区间为（ ）A BC D解：以下如无特别说明，。可以按部就班地解：（自变量为）的单调区间为（，），设，则是关于的单调增函数。解，得。按部就班地解是最安全的办法。也可以用图象来解：函数的图象向左平移即是的图象。所以的单调区间（，）“左移”即是的单调区间（，）。130 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则( )A B C D解：设，则，。选B。131 解点评：本题主要考查三角函数的画简与求值132在ABC中，已知BC12，A60，B45，则AC 解：利用正弦定理点评：本题主要考查正弦定理的应用133为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（A）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）（B）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）（C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D）向右平移个单位长度，再把所得各