北京西城八中高二数学上学期期中理

北京市西城八中2016-2017学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题（每小题5分，共50分）1甲、乙、丙人投篮，投进的概率分别为，现人各投篮次，是否投进互不影响，则人都投进的概率为（）ABCD【答案】A【解析】人都投进的概率，故选2抛掷颗骰子，所得的颗点数相同的概率为（）ABCD【答案】B【解析】抛掷颗骰子所出现的不同结果数是，事件“投掷两颗骰子，所得的点数相同”所包含的基本事件有，共六种，故事件“掷颗骰子，所得点数相同的概率是”3袋中有个大小完全相同的球，其中个黑球，三个白球不放回地连续取次，则一直在第次取到黑球的条件下，第次取到白球的概率是（）ABCD【答案】B【解析】记事件为“第一次取得黑球”，事件为“第二次白球”：则，所以，即第次取到黑球的条件下，第次取到白球的概率是故选4在支铅笔中，又支正品和支次品，从中任取支，则恰好取到支正品支次品的概率是（）ABCD【答案】B【解析】从支铅笔中取支铅笔，共有种可能，其中支正品支次品包含种可能，所以事件“恰好取到件正品支次品”的概率是，故选5四棱锥的底面为菱形，侧棱与底面垂直，则侧棱与菱形对角线的关系是（）A平行B相交不垂直C异面垂直D相交垂直【答案】C【解析】底面，平面，又底面为菱形，平面，又，异面，所以侧棱与的关系是异面垂直，故选6某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A圆柱B圆锥C三棱锥D三棱柱【答案】A【解析】圆柱的正视图可能是矩形，可能是圆，不可能是三角形，故选7若空间中四条直线、，满足、，则下列结论一定正确的是（）ABC、既不平行也不垂直D、位置关系不确【答案】D【解析】，与相交、平行、异面都有可能，即、的位置关系不确定，故选8一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积等于（）ABCD【答案】C【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，底面是直角边分别为，的直角三角形，三棱柱的高为，所以此几何体的表面积故选9正方体，为别是，的中点，则正方体过，三点的截面图形是（）A三角形B四边形C五边形D六边形【答案】D【解析】如图，过，的截面是六边形，故选10设四棱锥中，底面是边长为的正方形，且平面过直线且垂直于直线的平面交于点，如果三棱锥的体积取得最大值，则此时四棱锥的高为（）ABCD不确定【答案】C【解析】以为坐标原点，、所在直线为，轴建立如图所示坐标系，设，因为在上，所以设，代入有，因为平面，则，代入得所以，所以当体积取到最大值时，故选二、填空题（每小题5分，共30分）11棱长为的正方体的内切球表面积为_【答案】【解析】正方体的棱长等于其内切球的直径，所以其内切球半径，故表面积12盒子中装有编号为，的个球，从中任意取出个，则这个球的编号之和为偶数的概率是_【答案】【解析】从个球中任意取出个，共有种可能，若个球的编号之和为偶数，则取出个球的编号都是奇数或都是偶数，共有种可能，故个球编号之和为偶数的概率是13随机变量的分布列如下表，则此随机变量的数学期望是_【答案】【解析】14一个病人服用某种新药后被治愈的概率为，服用这种新药的个人中恰有人被治愈的概率为_（用数字作答）【答案】【解析】恰有人被治愈的概率15直三棱柱的体积为，分别是侧棱，的点，且，则四棱锥的体积为_【答案】【解析】，又，故16将个半径的球切割打磨成四个同样大小的小球，则小球半径的最大值为_【答案】【解析】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，该正四面体的高为，设正四面体的外接球半径为，则，解得：，故本题答案为：三、解答题（共80分）17袋中装有大小相同的个红球和和个白球（）从中任意取出个球，求这个球都是红球的概率（）从中任意取出个球，求恰有个是红球的概率【答案】见解析【解析】（）任取个球总的基本事件个数：，个球都是红球包含的基本事件个数为：，故从中任取个球，这个球都是红球的概率（）任取个球，总的基本事件个数是：，恰有个红球包含的基本事件个数是：，故从中任取个球，恰好有个红球的概率18如图，四棱锥满足面，（）求证：面面（）求证：面【答案】见解析【解析】（）证明：平面，平面，又，平面，又平面，平面平面（）证明：取中点为，是中点，是矩形，在中，即，又平面，平面，平面19某商场经销某商品，顾客可以采用一次性付款或分期付款购买，根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是，经销件该产品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润元；若顾客采用分期付款，商场获得利润元（）求位购买商品的顾客中至少有位采用一次性付款的概率（）若位顾客每人购买件该商品，求商场获得利润不超过元的概率（）若位顾客每人购买件该商品，设商场获得的利润为随机变量，求的分布列和数学期望【答案】见解析【解析】解：（）记表示事件：“位顾客中至少有位采用一次性付款”则事件的对立事件是“位顾客中没有人采用一次性付款”，则：（）记商场获得利润不超过元为事件，事件包含位顾客中人均一次性付款和位顾客中只有人一次性付款（）可取，所以的分布列为数学期望20四棱锥中，侧面是边长为的正三角形，且与底面垂直，底面是面积为的菱形，为锐角，为的中点（）求证：面（）求证：（）求三棱锥的体积【答案】见解析【解析】（）证明：连结交于，则是中点，在中，是的中点，是的中点，又平面，平面，平面（）证明：作，则为中点，连结，底面是菱形，边长为，面积为，是等边三角形，又，平面，（）21某项“过关游戏”规则规定：在地关要抛掷颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数和大于，则算过关（）此游戏最多能过_关（）连续通过第关、第关的概率是_（）若直接挑战第关，则通关的概率是_（）若直接挑战第关，则通关的概率是_【答案】见解析【解析】解：（），故此游戏最多能过关（）第一关，抛掷一颗骰子，出现点数大于的概率：第二关，抛掷次骰子，如果出现的点数和大于，就过关，分析可得，共种情况，点数小于等于的有：，共种，则出现点数大于的有种，故通过第二关的概率为连续通过第关，第关的概率是（）若挑战第关，则掷次骰子，总的可能数为种，不能过关的基本事件为方程，其中，的正