吉林吉林大学附属中学高三数学第八次模拟考试文

20162017学年下学期高三年级第八次模拟考试数学（文）学科试卷第卷（选择题60分）一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1. 已知集合，则集合中元素的个数为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由集合C的定义可得： ，集合C中元素的个数为5个.本题选择D选项.2. 已知复数的实部和虚部相等，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】令,解得故3. 已知是上的奇函数，则“”是“”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，所以，又是上的奇函数，则，得，所以原命题成立，若，则当时，仍成立而不成立，所以逆命题不成立，故选A4. 如图一铜钱的直径为毫米，穿径（即铜钱内的正方形小孔边长）为毫米，现向该铜钱内随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），则该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意结合几何概型公式可得：该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为: .本题选择B选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A).5. 设等差数列的前项和为，若是方程的两根，那么A. B. C. D. 【答案】B本题选择B选项.6. 若向量与不共线，且，则向量与的夹角为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得： ，故： ，即向量 与 的夹角为 .本题选择D选项.7. 算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的的值为，则输入的的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】阅读流程图，程序运行如下：首先初始化： ，进入循环结构：第一次循环： ，此时满足 ，执行 ;第二次循环： ，此时满足 ，执行 ;第三次循环： ，此时满足 ，执行 ;第四次循环： ，此时不满足 ，跳出循环，输出结果为： ，由题意可得： .本题选择C选项.8. 已知函数，若，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】f(x)的定义域是(0,+)， ，故f(x)在(0,+)递减，而 ， ，即cba，故选：A.9. 公差不为零的等差数列的首项为，且依次构成等比数列，则对一切正整数，的值可能为A. B. C. D. 【答案】C【解析】设公差为d,a2,a5,a14构成等比数列，a25=a2a14，即(1+4d)2=(1+d)(1+13d)，化简得d22d=0，公差不为0，公差d=2.数列an的通项公式为an=a1+(n1)d=1+(n1)2=2n1， 据此可排除AB选项；方程 没有正整数解，当 时， .本题选择C选项.点睛:使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的10. 0已知实数满足不等式组若直线把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】作出不等式组对应平面区如图(三角形ABC部分),A(0,1),B(1,1)，直线y=k(x+1)过定点C(1,0)，C点在平面区域ABC内，点A到直线y=k(x+1)的距离，点B到直线y=k(x+1)的距离，直线y=k(x+1)把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为1:2，解得 .本题选择A选项.点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值11. 四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示,四棱锥PABCD.设OF=x,则，解得.该四棱锥的外接球的表面积为： .本题选择C选项.12. 已知离心率为的双曲线的右焦点为，若线段的垂直平分线与双曲线一条渐近线的交点到另一条渐近线的距离为（为半焦距，），则实数的值是A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意，得，不妨设线段的垂直平分线与渐近线的交点为因此它到另一条渐近线，即的距离为.又由与可得，所以.本题选择A选项.第卷（非选择题，共90分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13. 椭圆的短轴长为，则_【答案】2【解析】试题分析：由题意得考点：椭圆方程几何性质14. 已知，则_【答案】【解析】由题意可得： ，结合角的范围和同角三角函数基本关系有： ，由诱导公式： .15. 已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，有下列个命题：若，且，则；若，且，则；若，且，则；若，且，则其中真命题的序号是_（填上你认为正确的所有命题的序号）【答案】【解析】试题分析：对于，根据线面垂直的判定可知，只有当直线与平面的两交线垂直时才有，故错；对于，根据若一条直线垂直于两平行平面中的一个，一定垂直与另一个，即若，且，则，故正确；对于，若，且，则或，故错；对于，若，且，则或，故错综上所述只有为真命题，故填考点：空间直线与平面间的位置关系16. 已知圆，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围为_【答案】【解析】解析：因圆的圆心坐标为，由题设可知圆心到直线的距离，解之得，则实数的取值范围是，应填答案。三、解答题（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知的内角的对边分别为（）若，求；（）若，求【答案】（）；（）【解析】试题分析：（1）正弦定理，将 整理成关于的一元二次方程，可得的值，即得的值，由三角形内角和可得角 的大小；（2）由余弦定理及可解得 的值，代入面积公式求解即可。试题解析：（1）由已知，结合正弦定理得：，于是或（舍）因为，所以，（2）由题意及余弦定理可知，由（1）得即，联立解得，所以，.点睛：解三角形的三种方法(1)已知两角和一边(如 )，由求，由正弦定理求。(2)已知两边和夹角(如)，应用余弦定理求边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用，求另一角。(3)已知两边和其中一边的对角(如)，应用正弦定理求 ，由求 ，再由正弦定理或余弦定理求边，要注意解可能有多种情况。18. 为了响应教育部颁布的关于推进中小学生研学旅行的意见，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选课意向进行调查(调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果如下.图中，课程为人文类课程，课程为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组（以下简称“组”）.（）在“组”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？（）某地举办自然科学营活动，学校要求：参加活动的学生只能是“组”中选择课程或课程的同学，并且这些同学以自愿报名缴费的方式参加活动. 选择课程的学生中有人参加科学营活动，每人需缴纳元，选择课程的学生中有人参加该活动，每人需缴纳元.记选择课程和课程的学生自愿报名人数的情况为，参加活动的学生缴纳费用总和为元.当时，写出的所有可能取值；若选择课程的同学都参加科学营活动，求元的概率.【答案】（）人文12人，自然科学类8人；（）；【解析】【试题分析】（）借助题设条件运用题设中提供频率分布直方图进行求解；（）依据题设借助列举法将所有可能都列举出来，运用古典概型的计算公式进行分析求解： ()选择人文类课程的人数为(100+200+400+200+300)1%=12(人)；选择自然科学类课程的人数为(300+200+300)1%=8(人).()()当缴纳费用S=4000时，只有两种取值情况：;()设事件若选择G课程的同学都参加科学营活动，缴纳费用总和S超过4500元.在“组M”中，选择F课程和G课程的人数分别为3人和2人.由于选择G课程的两名同学都参加，下面考虑选择F课程的3位同学参加活动的情况.设每名同学报名参加活动用a表示，不参加活动用b表示，则3名同学报名参加活动的情况共有以下8种情况：aaa，aab，aba，baa，bba，bab，abb，bbb.当缴纳费用总和S超过4500元时，选择F课程的同学至少要有2名同学参加，有如下4种：aaa，aab，aba，baa.所以，.19. 如图所示，在三棱锥P ABC中，PA底面ABC，BCA90，APAC，点D，E分别在棱PB，PC上，且BC平面ADE.（）求证：DE平面PAC；（）若PCAD，且三棱锥PABC的体积为8，求多面体ABCED的体积【答案】（）（）【解析】试题分析：（）欲证DE平面PAC，观察本题的条件，BC平面PAC易证，而BC|平面ADE结合DE=平面PBC平面ADE，可证得BC|ED，由此证法思路已明由（），结合PCAD，可证得AE面PBC，即得，再由，AP=AC可得出E是中点，ED是PBC的中位线.所以,根据，可得体积.试题解析：（）BC|平面ADE, BC平面PBC, 平面PBC平面ADE=DEBC|ED 2分PA底面ABC，BC底面ABC PABC. 3分又，ACBC.PAAC=A, BC平面PAC. 6分DE平面. 7分（）由（）知， DE平面PAC，PC平面PAC，DEPC， 8分又PCAD，ADDE=D， PC平面ADE， AEPC， 9分AP=AC, E是PC的中点，ED是PBC的中位线. 10分12分13分14分考点：直线与平面垂直的判定；柱锥台体的体积20. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点（）求抛物线的方程；（）设点在抛物线上，直线分别与轴交于点，.求直线的斜率.【答案】（）；（）1【解析】试题分析：(1)由题意求得,则抛物线的方程为；(2)由题意设出直线方程，联立直线与抛物线的方程整理可得斜率为-1.试题解析：（）依题意，设抛物线的方程为由抛物线且经过点，得， 所以抛物线的方程为 （）因为，所以，所以 ， 所以 直线与的倾斜角互补，所以 依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为：，将其代入抛物线的方程，整理得设，则 ，所以以替换点坐标中的，得所以 所以直线的斜率为点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式21. 设函数.（）讨论函数的单调性；（）如果对任意，都有，求实数的取值范围【答案】（），时，函数在内单调递减；当时，函数在内单调递减，在内单调递增.（）【解析】试题分析：(1)结合导函数的解析式讨论可得，时，函数在内单调递减；当时，函数在内单调递减，在内单调递增.(2)构造新函数令，结合的性质可得实数的取值范围是试题解析：（）.当时，在内单调递减；当时，令，有，此时当时，单调递减；当时，单调递增.综上所述，时，函数在内单调递减；当时，函数在内单调递减，在内单调递增. （）令，即.令，则，则在内单调递增，所以，故.当时，故当在区间内恒成立时，必有.当时，由（）知函数在上单调递减，即时，不符合题意，舍去.当时，令，则，所以在时单调递增，所以恒成立，即恒成立，满足题意.综上，. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22. 选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（）求曲线的参数方程；（）若曲线与轴的正半轴及轴的正半轴分别交于点在曲线上任取一点且点在第一象限，求四边形面积的取值范围.【答案】（）曲线C的参数方程为；（）【解析】试题分析：(1)结合曲线的参数方程为（为参数）；(2)利用题意得到关于四边形OAPB面积的解析式，结