吉林实验中学高三数学下学期第八次月考

吉林省实验中学2019届高三数学下学期第八次月考试题（含解析）第卷一、选择题：（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先解出集合M,再与集合N取交集即可.【详解】集合,集合,则 故选：C【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2.为虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】,复数在复平面内对应的点所在象限为第四象限故选：D点睛：复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式3.设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合充分条件、必要条件的判定，即可。【详解】当,可以得到,反过来若，则或，所以为充分不必要条件，故选A.【点睛】考查了充分条件的判定，考查了必要条件的判定，难度较容易。4.设平面向量，若，则等于 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，且，即故选：A5.二项式 的展开式中第9项是常数项，则的值是（ ）A. 4B. 8C. 11D. 12【答案】D【解析】【分析】写出展开式的第9项，令x的次数为0即可【详解】二项式的通项公式， T9 28 是常数项，n120，n12故选：D【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查二项展开式的通项公式，属于基础题6.已知点(2,8)在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由幂函数的定义可得n3，f（x）x3，且f（x）在R上递增，结合对数函数和幂函数的性质，即可得a，b，c的大小关系【详解】点（2，8）在幂函数的图象上，可得2n8，n3，则f（x）x3，且f（x）在R上递增，01，ln1，得即acb，故选：A【点睛】本题考查利用幂函数的单调性比较函数值的大小问题，属于基础题.7.下图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：从所给算法流程可以看出当时仍在运算,当时运算就结束了,所以应选C.考点：算法流程图的识读和理解8.公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为，这一数值也可以表示为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】，,。选B。9.从1，2，3，4，5中任取5个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出基本事件总数n，再求出这个五位数是偶数包含的基本事件数m，利用古典概型的概率公式计算即可.【详解】从1，2，3，4，5这5个数字中任取5个数字组成没有重复数字的五位数，基本事件总数n120，这个五位数是偶数包含的基本事件个数m48，这个五位数是偶数的概率p故选：D【点睛】本题考查古典概型概率的求法，是基础题.10.一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作棱锥的高OP，则OPOC1，利用等边三角形的性质求出底面边长，从而得出棱锥的体积【详解】设正三棱锥底面中心为O，连接OP，延长CO交AB于D，则CDOCO是三棱锥PABC的外接球球心，OPOC1，CD，BCVPABC故选：C【点睛】本题考查棱锥与外接球的关系，考查棱锥的体积计算，属于中档题11.设分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，若，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知可得三角形为直角三角形，从而得到再结合双曲线的定义和离心率公式即可得到答案.【详解】由，可知,则由双曲线定义得即解得，故选：A【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.12.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立.则有（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由且，则，设，则 ，所以在上是增函数，所以，即，即故选A考点：导数与单调性【名师点睛】对于已知条件是既有又有的不等式，一般要构造一个新函数，使得可通过此条件判断正负，从而确定单调性，例如我们常常构造函数，要根据不等式的形式要确定新函数，如本题判断出新函数单调性后，可利用此单调性得出不等关系，从而得出结论第卷二、填空题：（本大题共4小题）13.若函数有两个零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：画出的图像，和如图，要有两个交点，那么考点：函数图像的应用14.如果实数满足不等式组，且，则目标函数的最大值是_【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，再由定积分求出b值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（）cos0-（cos0）2zx+byx+2y，化为y 由图可知，当直线y过点A时，直线在y轴上的截距最大，z最大，最大值为故答案为：【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题15.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：椭圆，点为在第一象限中的任意一点，过作的切线， 分别与轴和轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为_.【答案】【解析】设B（x2，y2），则椭圆C1在点B处的切线方程为x+y2y=1令x=0，yD=，令y=0，可得xC=，所以SOCD=，又点B在椭圆的第一象限上，所以x2，y20，即有，SOCD，当且仅当=，所以当B（1，）时，三角形OCD的面积的最小值为故答案为：16.已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，满足,且.若对任意恒成立，则实数的最小值为_【答案】【解析】【分析】当时，解得，当时，化简得，利用累积法，求得，进而得，利用裂项法得，进而利用对于任意恒成立，即可求解.【详解】数列的前n项和为，满足，当时，解得，所以当时，化简得，所以当时，当时上式也成立，所以，因为，所以，若对于任意恒成立，则实数的最小值为.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.三、解答题：（本大题共6小题）17.在所对的边分别为且， （1）求角的大小；（2）若，求及的面积.【答案】（）；（）。【解析】试题分析：（）已知等式变形后，利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出角B的大小；（）利用余弦定理列出关系式，把a，b，cosB的值代入求出c的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可试题解析：( )，由正弦定理可得， 又， ， 所以，故. （），由余弦定理可得：，即解得或（舍去），故. 所以. 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18.某学校研究性学习小组对该校高三学生的视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如下直方图:年级名次/是否近视1-50951-1000近视4132不近视918（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在150名和9511000名的学生进行了调查，得到如上述表格中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系;（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在150名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.附：0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879【答案】（）；（）；（）分布列见解析，【解析】试题分析：（）先利用可得第一、二组的频率，由已知条件可得第三、六组的频率，进而可得视力在5.0以下的频率，再利用可得全年级视力在5.0以下的人数；（）先算出的值，再与表中的数据比较即可得在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；（）先分析确定随机变量的所有可能取值，再计算各个取值的概率即可得的分布列，进而利用数学期望公式即可得数学期望试题解析：（）设各组的频率为，依题意，前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，故，1分所以由得， 2分所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83， 3分故全年级视力在5.0以下的人数约为4分（）6分因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系. 7分（）依题意9人中年级名次在150名和9511000名分别有3人和6人， 8分可取0,1,2,3，X的分布列为X0123P X的数学期望12分考点：1、频率分布直方图；2、独立性检验；3、离散型随机变量的分布列与数学期望19.如图在棱锥中，为矩形，面，（1）在上是否存在一点，使面，若存在确定点位置，若不存在，请说明理由；（2）当为中点时，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）要证明PC面ADE，由已知可得ADPC，只需满足即可，从而得到点E为中点;（2）求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空间向量的数量积，求解二面角PAED的余弦值【详解】（1）法一：要证明PC面ADE，易知AD面PDC，即得ADPC，故只需即可，所以由,即存在点E为PC中点. 法二：建立如图所示的空间直角坐标系DXYZ， 由题意知PDCD1，设， ，由，得，即存在点E为PC中点.（2）由（1）知， ，设面ADE的法向量为，面PAE的法向量为由的法向量为得，得，同理求得 所以，故所求二面角PAED的余弦值为.【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力20.已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足.（1）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；（2）一条在y轴截距为2的直线与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程（2）直线l1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k的值，问题得以解决试题解析：() 因为即所以所以又因为,所以即:,即所以椭圆的标准方程为 () 直线斜率必存在，且纵截距为,设直线为联立直线和椭圆方程得: 由,得 设以直径的圆恰过原点所以,即也即即将(1)式代入,得即解得,满足（*）式，所以所以直线21.已知函数，曲线与在原点处的切线相同。(1)求的值；(2)求的单调区间和极值；(3)若时，求的取值范围。【答案】（1）； （2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）分别对函数和求导，由题意得，即可求出结果；(2)由求增区间，由求减区间，进而可得出结果;(3)构造函数，由导数的方法分类讨论研究其单调性和最值即可得出结果.【详解】（1）因为，依题意，得，（2）所以当时， ；当时故的单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为 ；无极大值； （3）由（1）知，当时，,此时无论K取何值均满足，当时，令所以，又令,所以因为时，令得，当时，所以在递增，从而 即满足时，。当时，所以在递增，又因为，x趋近时趋近，根据零点存在性定理所以存在使得，所以在上递减，在上递增，因为,所以，此时不满足时，综上所述，的取值范围是。【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，研究其单调性和极值等，属于常考题型.22.选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)将的方程化为普通方程，将的方程化为直角坐标方程;(2)已知直线的参数方程为，与交于点A，与交于点B，且，求的值.【答案】（1）曲线：，曲线：（2）【解析】【分析】（1）将曲线消去参数得的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可得的直角坐标方程（2）将直线l的参数方程代入曲线的普通方程,得到参数，把直线l的参数方程代入曲线的普通方程得到参数，利用计算即可答案.【详解】解：（1）曲线消去参数得，曲线的极坐标方程为即 化为直角坐标方程为，即. （2）把直线的参数方程代入曲线的普通方程得 .同理，把直线的参数方程代入曲线的普通方程得，., .综上所述：【点睛】本题考查直角坐标与极坐标的