北京师大附中高一数学下学期期中

2017-2018学年北京师大附中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若，下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据不等式的基本性质，及函数的单调性，判断四个答案的真假，可得结论.详解：，故A错误；，故B错误；，故C正确；，即，故D错误.故选：C.点睛：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，属于基础题.2. 在内角，的对边分别是，已知，则的大小为（ ）A. 4或34 B. 3或23 C. 3 D. 4【答案】D【解析】分析：利用正弦定理即可得出.详解：由正弦定理可得：23sin60=22sinC，解得sinC=22，ca，C为锐角，C=4.故选：D.点睛：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.3. 在ABC中，若b=3，c=1，cosA=13，则a=（ ）A. 23 B. 22 C. 8 D. 12【答案】B【解析】分析：直接利用余弦定理即可计算.详解： b=3，c=1，cosA=13.故选：B.点睛：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.4. 等比数列an中，a2=9，a5=243，an的前4项和为（ ）A. 81 B. 120 C. 168 D. 192【答案】B【解析】分析：根据等比数列的性质可知a5a2=q3，列出方程即可求出q的值，利用a2q即可求出a1的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式即可求出an的前4项和.详解： a5a2=2439=q3=27，解得a=3，又a1=a2q=93=3，则等比数列an的前4项和S4=313413=120.故选：B.点睛：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解5. 不等式x12x+10的解集为（ ）A. 12,1 B. 12,1C. ,121,+ D. ,121,+【答案】A【解析】试题分析：不等式x12x+10等价于(x1)(2x+1)02x+10解得120,a70，y=x+2x1 =(x1)+2x1+1 22+1，当且仅当x=2+1时取等号，故答案为22+1考点：基本不等式14. 等比数列an的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+log3a10=_【答案】10【解析】分析：利用等比中项，对数性质可知log3a1+log3a2+log3a10= 5log3a4a7，进而计算可得答案.详解： an为等比数列a5a6=a4a7，又 a5a6+a4a7=18.a4a7=9， log3a1+log3a2+.+log3a10=log3a1a2.a10=log3a1a105=5log3a4a7=5log39=10.故答案为：10.点睛：本题考查等比数列的等比中项及对数的运算法则，注意解题方法的积累，属于中档题.15. 在ABC中，若a2b2=tanAtanB，则ABC的形状为_【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】分析：左边利用正弦定理，右边切变弦，对原式进行化简整理进而可得A和B的关系，从而得到答案.详解：原式可化为sin2Asin2B=sinAcosBcosAsinBsinAsinB=cosBcosAsin2A=sin2B，2A=2B或2A+2B=解得A=B或A+B=2.故ABC的形状为等腰三角形或直角三角形.故答案为：等腰三角形或直角三角形.点睛：(1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别(2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理16. 已知数列an的前n项的和为Sn，a1=1，a2=2，满足Sn+1=3Sn2Sn1an1+2(n2)，则a2016=_【答案】201622【解析】分析：由Sn+1=3Sn2Sn1an1+2n2，得Sn+1Sn=2SnSn1an1+2n2，即an+1=2anan1+2n2，则an+1ananan1=2n2，说明数列an+1an是以2为公差的等差数列，求其通项公式，然后利用累加法求出an的通项公式得答案.详解：由Sn+1=3Sn2Sn1an1+2n2，得Sn+1Sn=2SnSn1an1+2n2，即an+1=2anan1+2n2，则an+1ananan1=2n2，数列an+1an是以a2a1=21=3为首项，以2为公差的等差数列，则an+1an=3+2n1=2n+1，a2a1=21+1；a3a2=22+1；a4a3=23+1；anan1=2n1+1，累加得：ana1=21+2+3+.+n1+n1=2nn12+n1=n21，则an=n22，a2016=201622.故答案为：201622.点睛：本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了累加法求数列的通项公式，把已知数列递推式变形是关键，是中档题.三、解答题：本大题共3小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 解关于x的不等式(xa)(x+a1)0【答案】当a1a或x12时，为x|xa 或x0，x12，不等式的解集为xx12；当1-aa，即a1-a或x1-a或xa；当1-a12时，解得xa或xa 或x1-a综上，当a=12时，不等式的解集为x|x12；当a1-a或x12时，不等式的解集为x|xa 或x1-a点睛：含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集18. 在ABC中，B=4，AB=42，点D在BC上，且CD=3，cosADC=55（I）求sinBAD； （）求BD，AC的长【答案】（I）31010；（）43，17.【解析】分析：（1）由ADC+ADB=和诱导公式求出cosADB，由平方关系求出sinADB，由内角和定理、两角和的正弦公式求出sinBAD；（2）在ABD中由正弦定理求出BD、AD，在ADC中由余弦定理求出AC的值.详解：（I）ADC+ADB=，且cosADC=55，cosADB=-55，sinADB=1-cos2ADB=255，由B+ADB+BAD=得，sinBAD=sin(B+ADB) =sinBcosADB+cosBsinADB=2255+22255=31010；（）在ABD中，由正弦定理得BDsinBAD=ABsinADB，BD=ABsinBADsinADB=4231010255=43，由正弦定理得ADsinB=ABsinADB，AD=4222255=25，在ADC中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC=20+9-225355=17，AC=17点睛：应熟练掌握和运用内角和定理：A+B+C=，A2+B2+C2=2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数19. 在等差数列an中，a1=13，其前n项和为Sn，等比数列bn的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=4，q=b2S2（I）求an与bn；（II）设数列cn满足cn=anbn，求cn的前n项和Tn【答案】（I）an=n3，bn=3n1；（）2n143n1+112.【解析】分析：（1）根据b2=q，列方程组计算q和S2，从而得出an的公差，从而得出an，bn的通项公式；（2）使用错位相减法求出Tn.详解：（I）bn为等比数列，公比为q，b1=1，b2=q，q+S2=4q=qS2，解得q=3，S2=1a1=13，a2=23an的公差为13an=13+13(n-1)=n3，bn=3n-1（II）cn=n33n-1=n3n-2Tn=13-1+230+331+432+n3n-2，3Tn=130+231+332+433+(n-1)3n-2+n3n-1，-得：-2Tn=3-1+30+31+32+3n-2-n3n-1= 13(1-3n)1-3-n3n-1=12-n3n-1-16Tn=2n-143n-1+112点睛：(1)错位相减法是求解由等差数列bn和等比数列cn对应项之积组成的数列an，即anbncn的前n项和的方法这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练(2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）20. 已知数列an满足an+1=2an+1，且a1=1，则an=_【答案】2n1【解析】分析：由已知条件得an+1+1=2an+1，从而得到an+1是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出an.详解：数列an满足an+1=2an+1，且a1=1， an+1+1=2an+1，an+1+1an+1=2，又a1+1=2，an+1是首项为2，公比为2的等比数列，an+1=2n，an=2n1，故答案为：2n1.点睛：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意构造法的合理运用.21. 在ABC中，A=30，AB=3，BC=1，则ABC的面积等于_【答案】32或34【解析】分析：利用余弦定理列出关系式，将cosA，与的值代入求出b的值，再由于b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.详解：在ABC中，A=30，AB=c=3，BC=a=1，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即1=b2+33b，解得：b=1或b=2，则SABC=12bcsinA=32或34.故答案为：32或34.点睛：三角形面积公式的应用原则：(1)对于面积公式S12absin C12acsin B12bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化22. 甲船在岛B的正南处，AB=5km，甲船以每小时2km的速度速度向正北方向航行，同时乙船自B出发以每小时3km的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是_小时【答案】514【解析】分析：设经过x小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案.详解：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C、D，如图所示，可知BC=52x,BD=3x,CBD=120，CD2=BC2+BD22BCBDcosCBD=52x2+9x2+252x3x12=7x25x+25，当x=514小时时甲乙两船相距最近.故答案为：514.点睛：求距离问题的注意事项(1)首先选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化成三角形问题(2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素(3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形23. 正数m，n满足2m+n=1，则1m+2n的最小值为_【答案】8【解析】试题分析：1m+2n=2m+n4(1m+2n)=14(4+nm+4mn)14(4+2nm4mn)=2，当且仅当nm=4mn时取等号考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误24. 已知数列an满足an=nkn(nN*,0k1)，给出下列命题：当k=12时，数列an为递减数列；当12k1时，数列an不一定有最大项；当0k12时，数列an为递减数列；当k1k为正整数时，数列an必有两项相等的最大项.请写出正确的命题的序号_【答案】【解析】分析：由于an+1an=n+1kn+1nkn=n+1kn，再根据k的条件讨论即可得出.详解：当k=12时，an=n12n，an+1an=n+112n+1n12n=n+12n，当n=1时，a1=a2，因此数列an不是递减数列，故不正确；当12k1时，an+1an=n+1kn+1nkn=n+1kn，由于12kn+1kn1+1n2k因此数列an一定有最大项，故不正确；当0k12时，an+1an=n+1kn+1nkn=n+1knn+12n1，an+10)（I）当a0时，求函数f(x)的最小值；（）若对任意x1,+，f(x)0恒成立，求实数的取值范围【答案】（I）2a+2；（）a3.【解析】分析：（1）根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，解关于a的不等式即可.详解：（I）f(x)=x2+2x+ax=x+ax+2，(x0)，a0，x0，f(x)2xax+2=2a+2，当且仅当x=a时“=”成立，（）f(x)=x+ax+2，(x1)，f(x)=x2-ax，a1时，f(x)0，f(x)在1,+递增，f(x)f(1)=a+30，解得：-31时，令f(x)0，解得：xa，令f(x)0，解得：1x0成立，综上a-3点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题.26. 在ABC中，、b、分别为内角A、B、C的对边，且满足cos2A+2sin2(+B)+2cos22+C 1=2sinBsinC（I）求角A的大小；（）若b=4，c=5，求sinB【答案】（I）3；（）277.【解析】分析：（1）由条件可得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC，再由正弦定理得b2+c2-a2=bc，由余弦定理求得cosA=b2+c2-a22bc=12，从而求得角A的大小；（2）由a2=b2+c