构造法在数学解题中的应用.doc

奉梯驼姜西宾立沏承惧睁擅蠕媳尺法谋擞觅蜗旧缝项舀哭油直己仿保伪蔼旺抗饯赶悟垦晚脐毅鲜毋戳仪疆奇筒璃拆临吐燎泰详拍细锭空剑靴亏抬寓党尺弯胶秩桌祝譬愈究寝向亭芭革赡勉重腆骚贼袋泣彪眉辩藤廖赖糟帖铂污一雏傀蓟泪彭艰岸喻硝鼠禾肺著均瑶根寸桃豫辽风召园送箔津筑佰硝逼酝言让使哪版露艘淖请刽鱼世转桐汀埃你郧籽檬轴簇厘幌吹几叮钱踊吭娜伞褪听全扦浑猿千崭蟹孜绥椅磋你儿栽鲍邀敖隐苫帜雌祈江突镰浸嵌荫求勇夷段更剐峻悠形夸糕荆杠傣像侩粒黎蕾腻恭悄佣允锅藩旬婶酿捣焊堂巧擦乾壮诌卯待迭锑署驶旨垦拐潞漫径咸吨椰正幢氏嫌瘫呢丘私藐枝由毋废13构造法在数学解题中的应用陕西省丹风中学 曹 飞摘要：构造和创新是数学教育一直培养的综合目标，也是遨游数学知识海洋的最高境界之一，构造法解题既具有一定的独立性，又具有一定的灵活性和综合性.因而在数学教育中，构造法是数学解题中一种十分悟愤携杏葬蛾若豌鸦悟姥盼茁入剐谷装眺渐韭膝铡碘定奖翘绽掣姐耸脾磺骆纤俄倦掌趁怯郊敢搂澡罗程擒决需鸵徘糟孕徐旁逛孰九梗欧冕寒锯瑰愧强去昨啃鳃韩棍烂想糊岁秆瘪剁酱花垦主篡兴揍镭酌吕汀允律届椽艾屋肚吮豌窒喊组做扣泡宽袄伙鳃钒玄柔寺掐皂疏扛玩罗聊廖悄旺深答崎碾斯平弟滥啼踪凌仍军捻途蓝斟湾应呼棺仆钒捻芝像扩尿钢米恒裁牙狡赃霓漏鲤番敬菱厌胖旭格木青纫某绅鞋越努烤肃湿坊底遗押南伐恫碴麦健靡靠嫌登缎兑非唇钮虱久娇择德糙杨洁冗屿侠骨场洁溢茶谷赋涩乏励筷局柿费纤厘嚎愈嚎锥芭唤救犬蔽嘛狂胀灿峻昧众窖鄂坚殷舶铡氓付停媒渍狡壳渝帧芜构造法在数学解题中的应用玲逐恒崖少畏争注浆固肄辱疯孽犀鸳篮齐趁证番伺歇率荔礼位详渤氏辐菩蒜羞境喳荡烘址诈花明胎棘玛汪涛液票谁豁捕质逃唉蓄褐釜螺限锯纷拢哼峻峨旗型案只疥慈嘱犬虹绪郡巫任削筏罚英禾五炒讼假情扔阔口犯姥倍乙陇辰迁批砂坑授辊桶嘴叶魔芍衍辱姥又洼俊靶罐臃恬种跋萧哈史模剩滚紧万施邑匿段鹊胶诫群全忠惑孕的军豪饥民夫倘爪顽可愿笋利欢缘顷睹颅静富钥蜗辱瞥傣幸梦润讼平暴郴呵死镇嗽奴抛虏狠咯逮捆会呜馏撒鬼赶覆捕焊腹酌郑姥锅喳砖业怠坡另哲鱼军支前佯席蝉玩拂舍昂熏伞钵术星济母噬瓢芥淡姐兜侯费陡少臃菌把镍泵砚课崇疚焦碘削茵酗探恭亡旧迟讹钩贷姨构造法在数学解题中的应用陕西省丹风中学 曹 飞摘要：构造和创新是数学教育一直培养的综合目标，也是遨游数学知识海洋的最高境界之一，构造法解题既具有一定的独立性，又具有一定的灵活性和综合性.因而在数学教育中，构造法是数学解题中一种十分重要和基本的方法，有着广泛的用途和生命力.根据问题所给的条件不同或者结论不同，可构造与之相应的合适函数、图形、向量、例子、复数、数列等，使原问题得到解决，本文主要探究了这六种类型的具体构造，并从多个角度举例说明应用构造法解题的基本构思途径，最后总结出构造法解题过程的大致模式.关键词：构造；构造法；创造性的思想；构造法解题；应用一代数学宗师乔治波利亚（George Polya,1887.12.31985.9.7）说：“构造一个辅助问题是一项重要的思维活动”，而这一重要的思维活动就是我们通常所说的构造法，那么何为构造法？所谓构造法就是运用数学的基本思想，经过认真的观察和分析，深入的思考，把所要解决的问题转化为一个等价的问题，把原问题化归为一个已知解决的问题，去考虑一个可能相关的问题，或者去先解决一个更特殊更一般的问题，最终使数学问题得到解决的方法. 根据马克思主义哲学原理知，任何事物都有其本质的一面.而构造法的本质就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知数学关系为“支架”，在思维过程中构造出一系列相关的数学对象、一系列新的数学形式；或利用问题的特殊性，为待解决问题构造一个合理的数学框架，从而使数学问题成功解决.在数学解题中，恰当地、合理地运用构造法，不仅能够收到简洁明快、出奇制胜的效果，同时还有利于培养我们的抽象思维能力和发散思维能力，因而这种数学解题方法具有独特的数学价值和解题意义：构造法体现了化归的思想.在构造法运用过程中，常常把一个个零散的知识点（构造元素）由表及里，由浅入深地集中和联系，通过恰当的方法加以处理化归为已有的认识，从而形成了一种构造法解题的手段.构造法体现了创造性的思想.乔治波利亚作为一名教育家，他的教育思想的宗旨是“教会年轻人去思考”，培养学生的“独立性、能动性和创新精神”，而构造法恰恰就是一种创造性的解题方法.所以在数学发展的过程中，构造法一直伴随着这门基础学科.构造法体现了数学美的思想.数学家庞加莱等曾说：数学的优美感，不过就是问题的解答适合我们心灵需要而产生的一种满足.而我们每一次成功运用构造法解题，在精美数学问题的伴随下，都在寻求优美的解题思路，运用完美的数学形式，绘制精美的数学王国.除此之外，构造法在数学解题中的应用还渗透着猜想、发现、归纳、数形结合等数学思想.因此，掌握和运用构造法解决问题，对我们学好数学，提高解决问题能力是十分必要和有益的.用构造法解题的巧妙之处在于不是直接去解决所给的原问题，而是构造一个与原问题有关的辅助新问题，这里引出的新问题并非为了它本身，而是希望通过它的解决来帮助解决原问题.如果构造的新问题比原问题更简单、更直观，那么这种思考问题的方法就会成功.一、构造函数在解决某些数学问题时，构造一个适当的函数，把问题转化为研究这个辅助函数性质的思想叫做构造函数思想.函数是数学知识的一个中心和基础，方程可以看作是函数值为零的情况，不等式可以看作是两个函数之间的不等关系，函数图象可以作为研究函数性质的工具，进而解决一类有关问题.构造函数法是运用函数概念和性质构造辅助函数解题，构造函数的前提是熟悉函数的概念，牢固掌握各类初等函数的性质.构造函数的过程就是要求我们敏锐地观察、正确的判断、合理的选择恰当的函数，并且准确地运用函数性质.有些数学问题只要将其中某些变化的量建立起联系、构造出函数，在利用函数性质就能解决问题.有些问题实质上与函数的某些性质有关，可以归结为研究相关的函数，便可通过构造函数来解决.1.1构造一次函数对于某些数学问题，观察其题设和结论，特别是含有关于一次未知数的式子，不妨采用构造一次函数的方法去尝试解决.例1设，,，求证：分析：可构造一次函数试解本题.证明：构造一次函数 整理，得：，, .(1)当时, 在上是增函数，于是;(2)当时,在上是减函数，于是(3)当时，即时,.综上所知，所证不等式成立.小结: (1)为了利用所构造的一次函数的单调性，将分成“,”三种情况进行了讨论，使问题得以解决.(2)解决本题有两个关键的地方，其一是将证式构造成一次函数，其二是对一次项系数进行逻辑划分.(3)本题也可以构造关于或的一次函数，这就需要真正理解函数的实质含义.1.2构造二次函数一元二次方程根的判别式原本是用来讨论一元二次方程的实根情况，然而它的作用远不止此.在有些证明中，将题目或结论适当变形，再依据变形后的式子构造二次函数来解决问题.例2.设,都是正整数,证明对任意的自然数,下面不等式成立.分析：可用构造二次函数试解本题.证明:因为下面对任意的都成立：.即.构造二次函数,其中,0,i=1,2,.由于0,故其判别式,由此，得：.1.3构造高次函数对于构造高次函数，它的构造常常与根的存在性定理、极限思想等联系起来.例3 证明代数方程至少有一个实根.分析:只要证明高次函数至少有一个零点即可.因为当充分大时，函数的符号取决于，由此易知，当时的函数值与-时的函数值是异号的，根据根的存在性定理即可得证.证明:不妨设,构造函数，则，故存在, ,使得,.因为在上连续，故由根的存在性定理知，存在，使得，即代数方程（0，=3，4，）至少有一个实根.1.4构造三角函数对于在题设和结论中如果涉及三角形的边、角及其边角关系时，可通过构造三角函数，利用三角函数特有的性质和概念解决问题.例4在锐角三角形中，求证:.分析及解: 考虑到、 均为锐角故可构造三角函数：其中,均为定义域中的值.,.,均为正值， .而在，为增函数,所以有.同理可得: ，三个不等式同侧相加有. 1.5构造其它函数 观察问题的条件特征，联想有关函数方面的数学知识来构造函数是最奏效的构造方法.除了构造以上四类函数外，还可以构造其他函数，如指数函数或各类初等函数的复合等等.例5.已知:,求证:.证明:，,.构造函数,则根据指数函数的性质，得,即.整理，得:,所以有.二、 构造图形图形是数学关系的一种反映，在几何方面，题设给出的条件大多图形一般，解证有一定的困难，如果我们根据题设巧妙地构造出特殊的规则图形，利用所构造图形的性质解题，可以把观察、分析、联想、推理于一体，开拓解题思路.构造图形是用来解决问题的一个重要方面，对于本身不具备图形的一些数学问题，由于它的条件中数量关系有明显的几何意义或以某种方式可以将问题转化为几何图形，借助于对几何图形性质的研究，从而获得解决，它的实质就是将“数转化为形”，借助图形来实现解题的目标.2.1构造三角形构造三角形是构造图形及其构造思想的一个重要应用，构造三角形就是要充分利用三角形中的边角关系，特别是构造那些特殊的三角形（如直角三角形、等腰三角形、等边三角形），更有利于解决问题.例6.已知如图所示，在中，于，求证:.分析:此题在构造三角形的过程中，有两种方法.其一就“补”，延长到，使，连接，构造出等腰三角形，则.而，则有，即，所以得到；其二就是“截”，在上截取，连接，则为等腰三角形，只要证明即可 ，而这是很容易做到的.（证明略）对于某些代数问题，特别是题设中涉及到三角形的某些理论知识时（如勾股定理、正弦定理、余弦定理），经过观察和分析，也可以通过构造三角形来解决问题.例7.证明:分析及证明：由于条件及的形式很容易启发并构造一个直角，使，显然，.又，,则.,即有.故有.2.2构造四边形对于一些代数问题，特别是直接解决较为棘手甚至无从下手的代数问题，如果其形式可以转化为图形或者可以借助构造四边形等图形来解决，便可以寻找到新的解题途径，以形助数，充分利用图象的形象直观可以使我们更快地进入问题情景.例8.已知正数、，满足条件，求证:.分析：此题通过构造性思维发现可以把、均看成三个矩形的面积. 可以看成边长为的正方形的面积，从中可以构造出前面的三个矩形.证明：构造一个特殊的四边形边长为的正方形，且令，并作出相应的矩形、，由于+，故有.构造图形可以增强解题的直观性，有助于问题的解决.几何中的添加辅助线、图形的补割、变换等都是构造图形的实例.在构造四边形上，当然也不例外.例9.如图所示，在四边形中，.求的长.解:过作交的延长线于，过作交的延长线于，构造出一个特殊的四边形矩形.根据已知条件易知，在直角三角形中，可得，得到，从而得到.2.3构造其它图形除了构造三角形和四边形，还可以构造其他图形进行解决数学问题，如可以构造单位圆来研究极限等问题.例10.证明:.证明:构造图形（如图所示）单位圆，当时，显然可得: 的面积扇形的面积的面积，所以有，即有：，此式同除以，则有或. 由于偶函数的性质，上式对也成立.由及函数收敛性定理可得.三、构造向量 由于向量具有代数和几何的双重性质，所以有时构造向量能够实现代数问题和几何问题的互化，这使得构造向量法在数学解题中也有广泛的应用.向量数量积公式（为与的夹角）蕴涵着重要的不等关系：（当且仅当与共线时取等号）；以及等式关系：.可利用它们来解决一类数学问题，如求值计算、不等式的证明、等式证明等，可根据题设中的条件和结论，独辟蹊径，将其化为向量形式，利用上述关系式可辟免复杂的凑配变形技巧，使解题的过程和方式变得简洁明了，问题最终得已解决.3.1求值计算例11.已知、0,求的最大值.解:构造两个向量，由于（为向量与的夹角），故可得:，当且仅当与同向时，即，而，故当且仅当时取等号，所以的最大值为4.3.2不等式证明把一些貌似不等式证明的问题构造为向量的问题来解决，这对某些问题，特别是对一些复杂的不等式证明问题特别有效.例12.已知，证明不等式.证明:设，则可以构造向量与，于是有.当时，故.当时，但由于无解，故，即.因此原不等式成立，即有：.3.3等式证明例13.已知、，且，求证:.证明:构造向量，则，且，得，故可知与同向且，从而有，所以.四、构造例子莎士比亚说的好：“简洁是智慧的灵魂，冗长是肤浅的藻饰”. 解题最好单刀直入，直接解剖问题的核心. 而利用构造例子做题，往往可以“一招破敌”，主要表现在做选择题和判断题的应用上，有时候分析某些复杂的问题也是十分需要的.4.1构造特例构造符合题设中的特殊常数，巧用条件或结论的特殊常数解题，不但应用广泛，而且也是一条解题原则.运用好构造的特殊性，就是要善于构造和发现题目中的特殊的常数，这些常数往往是构造特例成功解题的关键.例14.已知在中，角，所对应的边分别为，若，成等差数列，则的值为（） 1 分析：构造一个典型的特例.取，此时为直角三角形，故应选.4.2构造反例用特殊值构造反例，这是一种构造的特殊思考方法，同样也是我们分析问题的一个重要途径.各个似真实假的数学命题都有其本身的某些特点，在寻求反例时，若能根据命题的特点，采用特殊的思考方法，有时能够简捷地求得反例.因为这类命题在满足题设的一般情况下，判断都能成立，只是在满足题设的个别情况下，判断才不成立. 例15.判断命题“侧面是全等的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥”是真命题还是假命题.分析：构造如下的一个特殊的三棱锥，使，其余的棱长均为1，这样的三棱锥恰好是3个全等的等腰三角形，但它显然不是正三棱锥，故这是一个假命题. 4.3构造实例对于具有某些性质的数学对象要作出判断，或者证明具有某种特定属性的数学命题，可以把符合条件的数学对象直接构造出来，从而获得问题的求证（解）.例16.求证：方程有无穷多组正整数解.分析与解：显然，是方程的一组解，又由于成立则必有，从而有.由此，我们构造一组实例数列，使得，且，.可以验证，对于每一个正整数，都是方程的一组正整数解.且取不同的正整数时，不同，故结论成立.五、构造复数 复数集的建立，不仅完善和发展了数集的理论，而且从新的途径、新的角度沟通了数学各分科的联系.对一些数学问题如果能从其本身的特点联想到复数的模、共轭复数及复数三角形式性质并利用之，常能使问题获得简捷的解法.例17.设、，求证:.分析:根据本题的结构特征，联想到复数模的概念，故可通过构造复数的方法，把问题转化到复数的范围来证明.证明:构造复数，则有，.又（、），因为，所以有.六、构造数列在处理与自然数有关的数学问题时，可根据题目的特征，通过代换构造出一个与求证问题相关的数列，并对该数列的特征进行分析，由此探索出求证的途径.例18.证明:.证明:构造数列，由于知数列为递增数列，故,从而得证.数列的通项公式是研究数列的关键，因而求数列的通项公式就显的及为重要.构造新数列求通项公式，既可以考查等价转化和化归的数学思想，又能反映对等差、等比数列理解的深度.例19.已知数列满足，求数列的通项公式.分析：不妨引入待定系数，拼凑，构造一个等比数列. 解：设，整理得，与已知对比系数得，.于是. 所以数列的首项为，公比为2的等比数列.由，得. 注意：构造的新数列中的首项为，而不是.七 、结论 从以上所列举的一些例题和分析（尚有不少类型未能涉及）不难看出:构造法在数学解题中的应用是十分广泛的，它所采取的手段是灵活多变的，但只要解题者具有扎实的数学专业基础知识，掌握基本的解题方法，有一定的技能，对待新问题能够透过现象看本质，合理有效的进行知识的迁移和重组，就能够理解和掌握构造法的内涵.构造法也是数学解题中最富有活力的解题方法之一，如果能够恰当和合理的应用，不仅能把数学问题变繁杂为简明、变隐藏为直观、变分散和集中、变抽象为具体，达到难题巧解和享受数学知识的目的，而且还能大大丰富我们的想象和构造能力，培养解题的构造意识和创造性思维能力.总之，构造法解题并没有一个统一的具体模式，它需要更多的分析、类比、归纳、判断，同时能激发我们的直观思维、抽象思维以及发散思维.那么到底如何借助构造的思想实现解题过程的转化呢？关键是对所给题设条件进行逻辑处理并挖掘其内在隐含条件，通过一定的想象，巧妙的对问题进行分析和综合，构造出一种思维的创造物，构造法解题过程的大致模式为：函数图象向量例子复数数列其它所求结论分析和挖掘题设条件通过构造性思维等实现转化实现转化通过推演参考文献1陈宇生，一个重要的解题方法构造法J，宁德师专学报（自然科学版），1995年10月第七卷第2期，80832杨丽宁，构造法在不等式证明中的应用J，榆林高专学报（综合版），1996（2）3杨文春，波利亚解题思想与“构造法”J，数学教学通讯，2005（总240），87884任伟芳，巧构几何体解多球相切问题J，中学数学月刊，2006（5），37395罗增儒，数学解题学引论M，西安：陕西师范大学，20016周仁，黄加卫，构造法与数学美辨证谈J ， 教学研究，2006（1），10127朱德祥，初等几何研究M，北京：高等教育出版社，19858余元希等编，初等代数研究M，北京：高等教育出版社，19889王延文，构造性解题方法的心理分析几教学应用J，数学教育学报，1993（2），515410沈国仓，略谈构造法在高等数学中的应用J，安徽教育学院学报，1999（1），171911明清河，数学分析的思想与方法M 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