高中数学 3.4 不等式的实际应用例题与探究素材 新人教B版必修5（通用）VIP

3.4 不等式的实际应用典题精讲例1 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图3-4-1所示），由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两道隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价.图3-4-1思路分析：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.解：设污水处理池的长为x米，则宽为米（0x16，016），12.5x16.于是总造价Q（x）=400（2x+2）+2482+80200=800（x+）+16 000800+16 000=44800.当且仅当x=（x0），即x=18时等号成立，而1812.5，16，Q（x）44 800.下面研究Q（x）在12.5，16上的单调性.对任意12.5x1x216，则x2-x10，x1x2162324.Q（x2）-Q（x1）=800（x2-x1）+324（）=8000.Q（x2）Q（x1）.Q（x）在12.5，16上是减函数.Q（x）Q（16）=45 000.答：当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，最低造价为45 000元.绿色通道：解答应用题四步法：(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)评价.在解决函数、不等式综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用.综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能.因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件.黑色陷阱：如果忽视函数的定义域，就会导致运用均值不等式求最值时，不判断等号能否成立的条件,从而得到最低总造价为44 800元.变式训练 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b,固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(元)表示为v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解法一：(1)依题意,知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为y=a+bv2=s(+bv).所求函数及其定义域为y=s(+bv),v(0,c.(2)依题意知，s、a、b、v均为正数,s(+bv). 当且仅当=bv,即v=时，式中等号成立.若c,则当v=时，有ymin；若c,则当v(0,c时，有s(+bv)-s(+bc)=s(-)+(bv-bc)=(c-v)(a-bcv).c-v0,且abc2,a-bcva-bc20.s(+bv)s(+bc),当且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，有ymin.综上可知，为使全程运输成本y最小，当c时，行驶速度应为v=;当c时,行驶速度应为v=c.解法二：(1)同解法一.(2)函数y=x+(k0),x(0,+),当x(0,)时y单调减小，当x(,+)时y单调增加，当x=时y取得最小值，而全程运输成本函数为y=sb(v+),v(0,c.当c时，则当v=时，y最小，若c时，则当v=c时，y最小.结论同上.例2 某地区上年度电价为0.8元kWh，年用电量为a kWh.本年度计划将电价降到0.55元kWh至0.75元kWh之间，而用户期望电价为0.4元kWh.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区电力的成本价为0.3元kWh.（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；（2）设=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?注：收益=实际用电量（实际电价-成本价）思路分析：（1）关键是弄清“新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比”，并用式子表示出来.（2）在(1)的基础上解不等式.解：（1）设下调后的电价为x元kWh，依题意,知用电量增至+a，电力部门的收益y=（+a）（x-0.3）（0.55x0.75）.（2）依题意,有整理得解此不等式,得0.60x0.75.所以当电价最低定为0.60元kWh时,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.变式训练1 有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少?思路分析：根据题意，首先要找出两个商场的花费与购买量的函数关系式，然后建立差价与台数的函数，通过解不等式来确定大小.解：设某单位需购买x台影碟机，甲、乙两商场的购货款的差价为y，当800-20x440,即1x18时,去甲商场购买共花费(800-2x)x,当x18时,花费440x.去乙商场购买共花费600x，xN+，y=故若买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，去甲、乙商场花费一样；若买超过10台，去甲商场花费较少.变式训练2 某县地处水乡，县政府原计划从今年起填湖围造一部分生产和生活用地，但根据前几年抗洪救灾得到的经验教训和环境保护、生态平衡的要求，准备重新研究修改计划，为了寻求合理的计划方案，需要研究以下问题：（1）若按原计划填湖造地，水面的减少必然导致蓄水能力的下降，为了保证防洪能力不会下降，除了填湖每亩b元费用外，还需要增加排水设备费用，所需经费与当年所填湖造地面积x（亩）的平方成正比，其比例系数为a，又知每亩地面的年平均收益为c元（其中a、b、c均为常数）,若按原计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x的最大值.（2）如果以每年1%的速度减少填湖造地的新增面积，并为了保证水面的蓄洪能力和环保要求，填湖造地的总面积永远不能超过现有水面面积的，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几?思路分析：收益不小于支出的含义就是收益与支出的差不小于0,因此本题变成一个解不等式问题,当然本题中都是字母给出的量,所以要对结果进行分类讨论.解：（1）收益不少于支出的条件可以表示为cx-（ax2+bx）0.所以ax2+（b-c）x0，xax-（c-b）0.当c-b0时，x0，此时不能填湖造地；当c-b0时，0x，此时所填面积的最大值为亩.（2）设该县的现有水面为m亩，今年填湖造地的面积为x亩，则x+（1-1%）x+（1-1%）2x+，不等式左边是无穷等比数列的和，故有，即x=0.25%m，所以今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的0.25%.例3 如图3-4-2，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）?图3-4-2思路分析：一种方法是建立在函数的思想上，求函数的值域.另一种方法重在思考a+2b与ab的关系,结合均值不等式求解.解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=，其中k0为比例系数，依题意，即求使y值最小时的a、b的值.根据题设，有4b+2ab+2a=60（a0，b0）,得b=（0a30). 于是y=.当a+2=时取等号，y达到最小值.这时a=6，a=-10（舍去）.将a=6代入式,得b=3.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：依题意，知所求的a、b值使ab最大.由题设知4b+2ab+2a=60（a0，b0）,即a+2b+ab=30（a0，b0）.a+2b,30,当且仅当a=2b时，上式取等号.由a0，b0，解得0ab18,即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18.2b2=18.解得b=3，a=6.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.绿色通道：求最值或者取值范围问题，首先考虑建立函数关系，通过函数的方法来求.均值不等式也是求最值的重要方法，尤其是出现和与积的形式时，常把所求的量放在不等式中去考察.黑色陷阱：解法一建立函数时忽视函数的定义域.变式训练 若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_.思路解析：思考a+b与ab的关系,联系均值不等式求解,或建立在函数的思想上，求函数的值域.方法一：令=t（t0）,由ab=a+b+3，得t22t+3.解得t3，即3.故ab9.方法二：由已知,得ab-b=a+3，b（a-1）=a+3，b=（a1）.ab=a=（a-1）+1=a+3+=a-1+4+5 .当且仅当a-1=时取等号,即a=b=3时ab的最小值为9.所以ab的取值范围是9，+）.答案:9,+）问题探究在均值不等式、不等式的实际应用中，不少问题是以函数f(x)=ax+（a0,b0）为模型进行讨论的，因此对函数f(x)=ax+（a0,b0）的性质要熟练掌握.问题 如何应用这个函数的性质、均值不等式求最值？导思：研究函数的性质需从定义域、值域、奇偶性、单调性等方面入手