四川内江、眉山等六高三数学第二次诊断性考试文

四川省内江、眉山等六市2019届高三数学第二次诊断性考试试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则满足的集合的个数为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】由可确定集合中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.【详解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4种情况，所以选A项.【点睛】考查集合并集运算，属于简单题.2.已知为虚数单位，复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先化简复数为的形式，再求复数的模.【详解】依题意，故.故选C.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.3.已知平面向量的夹角为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量运算的公式，直接计算出的值.【详解】依题意 ，故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量的运算，属于基础题.4.中，.其中分别为内角的对边，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.【详解】由正弦定理得，即，即，由于为三角形内角，故.所以选B.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值.5.空气质量指数是一种反映和评价空气质量的方法，指数与空气质量对应如下表所示：如图是某城市2018年12月全月的指数变化统计图.根据统计图判断，下列结论正确的是（ ）A. 整体上看，这个月的空气质量越来越差B. 整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C. 从数据看，前半月的方差大于后半月的方差D. 从数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值【答案】C【解析】【分析】第一个表里反应指数越低，空气质量越好，第二个图反应1-30天每天指数的数值.通过这两个表格中的数据，对选项进行判断.【详解】A选项中，这个月的指数的趋势是降低的，即空气质量是变好的，所以错误；B、D选项中，前半月的指数的平均数明显高于后半月，因此B、D选项错误；C选项中，前半月数据的稳定性没有后半月的稳定，因此前半月的方差大于后半月的，所以C项正确.故选C项.【点睛】本题考查了频率分布折线图的应用问题，是基础题.6.设函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据将和分别代入分段函数对应的函数段，由此求得结果.【详解】依题意.故选B.【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查对数运算，考查指数运算，属于基础题.7.若是上的奇函数，且，则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】函数是奇函数,若，则，则，即成立,即充分性成立，若，满足是奇函数，当时满足，此时满足，但，即必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，所以A选项正确.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.8.已知函数的部分图像如图所示，点在图象上，若 ，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由三角函数的图像的性质可知，根据图像上给出的点，求出，和，再代入，可得到答案.【详解】函数的图像与轴相邻的交点为，可得一条对称轴为，周期，即.代入得，即 ，即代入得，且代入得到【点睛】本题考查由函数部分图像求解析式，正弦型函数图像的性质，考查内容比较综合，属于中档题.9.若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】圆都在轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则在第一、四象限，即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到，令其小于0，可得答案.【详解】圆与直线联立，整理得图像有两个交点方程有两个不同的实数根，即得.圆都在轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限.，解得，故选D项.【点睛】本题考查直线与圆的交点，数形结合的数学思想来解决问题，属于中档题.10.在四面体中，已知，,且平面，则该四面球的表面积（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】证得三角形和三角形都为直角三角形，由此得到外接球的球心在的中点，计算的长由此求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】由于所以，而平面故，所以平面，所以即得到三角形和三角形都为直角三角形，所以外接球的球心在的中点，故外接球半径，所以外接球的表面积为，故选B.【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的求法，属于中档题，解题关键点在于找到球心和求出半径.球心的位置可以利用球心到几何体各个顶点的距离相等来求得.11.设点是抛物线上的动点，是的准线上的动点，直线过且与（为坐标原点）垂直，则点到的距离的最小值的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设出点坐标，表示出直线，将点到直线的距离转化成，与直线平行且与抛物线相切的直线与直线间的距离.再找到其取值范围.【详解】抛物线的准线方程是若点的坐标为，此时直线的方程为，显然点到直线的距离的最小值是1若点的坐标为，其中则直线的斜率为直线的斜率为直线的方程为即，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为代入抛物线方程得所以解得所以与直线平行且与抛物线相切的直线方程为所以点到直线的距离的最小值为直线与直线的距离，即因为所以综合两种情况可知点到直线的距离的最小值的取值范围是所以选B项.【点睛】本题考查直线的表示，曲线上动点到直线距离的转化，圆锥曲线的综合题目，属于中档难度题.12.若函数的图象始终在射线的上方，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得函数的导函数，由此判断出函数在时为递增函数，利用切线的斜率求得的取值范围.【详解】依题意设，这，故函数在时为递增函数，且在时为正数，故单调递增，故，而是直线的斜率，直线过原点，要使函数的图象始终在射线的上方则需.故选B.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查分析问题的能力，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若，则_【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式和齐次方程，求得的值.【详解】依题意 .【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查齐次方程的应用，属于基础题.14.根据下列算法语句，当输入时，输出的最大值为_【答案】2【解析】【分析】由算法语句可将其转化为线性规划的题目，然后用线性规划的方法解决问题.【详解】由算法语句可知，求的最大值，并与0比较画出可行域如图，为可行域，所求目标函数，整理得，为斜率为-1的一簇平行线，在点时得到最大值.解方程组，解得， 点坐标，所以的最大值为2.故答案为2.15.已知是上的偶函数，且当时，则不等式的解集_【答案】【解析】【分析】利用函数为偶函数求得函数的解析式，由此求得的解析式，再解不等式求得解集.【详解】令则，由于函数为偶函数，故，即，故.令，当时，有，对，其判别式小于零，故，故由解得，所以.当时，有，对，其判别式小于零，故，故由解得，即.综上所述，不等式的解集为.【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查函数解析式的变换，考查高次不等式的解法，属于中档题.解高次不等式的方法可以采用因式分解法.16.设为平面外两条直线，其在平面内的射影分别为两条直线和.给出下列个命题：； 与平行或重合； ； .其中所有假命题的序号是_【答案】【解析】【分析】分别研究四个命题的真假，找到反例说明该命题是假命题.【详解】两条直线的射影互相平行，则两条直线不一定平行，也有可能是异面，所以错误.正确.在正四棱锥中，相邻的两条侧棱为，其射影与为该正四棱锥的底面的两条对角线，但相邻的两条侧棱为并不垂直，故错误；时，与也可能重合，故错误.所以，假命题为.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力，属于中档题三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.若数列的前项和为，且.求；记数列的前项和为，证明：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用迭代法证得是等比数列，由此求得的表达式，进而求得的表达式.（2）根据（1）求得的的表达式.利用求得的表达式，再求得的表达式，由此证得不等式成立.【详解】由题意有，所以数列是等比数列.又，所以，数列是首项为，公比为的等比数列.所以，所以由 知，时，.两式相减得，时，也满足，所以数列的通项公式为.当时，当时，显然且所以【点睛】本小题主要考查递推数列求通项公式，考查数列求和的方法，属于中档题.18.某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为及以上的花苗为优质花苗.求图中的值，并求综合评分的中位数.用样本估计总体，以频率作为概率，若在两块试验地随机抽取棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为优质花苗与培育方法有关.附：下面的临界值表仅供参考.（参考公式：，其中.）【答案】（1）82.5；（2）见解析；（3）有的把握认为优质花苗与培育方法有关系.【解析】【分析】（1）根据频率之和为1得到，根据面积相等，求出中位数.（2）利用二项分布列出对应的概率，写出分布列，算出数学期望.（3）根据优质花苗颗数，填好表格，选取相应数据，计算得到，再进行判断.【详解】由，解得令得分中位数为，由解得故综合评分的中位数为由与频率分布直，优质花苗的频率为，即概率为，设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为，则，于是，其分布列为：所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望结合与频率分布直方图，优质花苗的频率为，则样本种，优质花苗的颗数为棵，列联表如下表所示：可得所以，有的把握认为优质花苗与培育方法有关系.【点睛】本题考查概率分布直方图的基础内容，二项分布的分布列和期望以及的求值和判断，难度不大，属于简单题.19.如图，在边长为的正方形中，点分别是的中点，点在上，且.将分别沿折叠，使点重合于点，如图所示.试判断与平面的位置关系，并给出证明；求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连结交于，通过对应线段成比例，得到，即可证明面.（2）解法一：找到二面角，即，在中，找到三边的长度，利用余弦定理，求出余弦值.解法二：建立空间直角坐标系，找到两个面的法向量之间的夹角余弦值，再求二面角的余弦值.【详解】 与平面的位置关系是平面.证明如下：在图中，连结交于，交于，则在图中，连结交于，连结.在中，有所以又因为面，面，故平面.解法一：在图中，连结交于，连结.图中的，即图中的所以又所以面又，所以面.则为二面角的平面角.易知，则在中，则在中，由余弦定理，得所以二面角得余弦值为解法二：以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图空间直角坐标系则，于是 分别设平面，平面法向量为，由得于是取，又由得于是可取.因为所以二面角的余弦值为【点睛】通过线线平行证明线面平行，二面角的余弦值的求法，难度适中，可以考虑多种方法求解，属于中档题.20.已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为.求椭圆的方程；设为椭圆上的两动点，为线段的中点，直线（为坐标原点）的斜率都存在且分别记为，试问的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）为定值，此定值为【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）利用点差法求得为定值.【详解】由题意得，解得.所以椭圆的方程为：设的坐标分别为，点的坐标为，即由已知，所以，即则，于是.所以为定值，此定值为【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查利用点差法求解有关中点弦的问题，属于中档题.21.已知函数.若在上单调递增，求的取值范围；若，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）对在上单调递增，转化为恒成立，参变分离，求出的范围；（2）通过求导得到的最值，而的正负需要进行分类，通过分类讨论，恒成立，得到的范围，时，可得到，虽然解不出来，但可以通过进行代换，得到范围，再得到的范围.最后两部分取并集，得到最终的范围.【详解】由题，由，得.令，则，令，得.若，；若，则.则当时，单调递增；当时，单调递减.所以当时，取得极大值，也即为最大值，即为.所以，即的取值范围是.由，得，令，则.所以在上单调递增，且.当时，函数单调递增.由于恒成立，则有.即.所以满足条件.当时，则存在，使得，当时，则单调递减；当时，则，单调递增.所以，又满足，即所以，则即，得又.令，则，可知，当时，则单调递减.所以，此时满足条件.综上所述，的取值范围是.【点睛】利用导数求函数的单调区间、极值，参变分离、等量代换的方法，分类讨论的思想，对思维要求较高，难度较大，属于难题.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.