浙江省杭州市萧山中学自主招生考试数学试卷

2011年浙江省杭州市萧山中学自主招生考试数学试卷一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分）1（4分）（2006潍坊）计算：tan60+2sin452cos30的结果是（）A2BCD12（4分）（2006潍坊）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30到正方形ABCD，图中阴影部分的面积为（）ABC1D13（4分）（2004宁波）已a，b为实数，ab=1，M=，N=，则M，N的大小关系是（）AMNBM=NCMND无法确定4（4分）（2005淮安）一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（）A20分钟B22分钟C24分钟D26分钟5（4分）（2012大田县校级自主招生）二次函数y=2x2+4x+1的图象如何移动就得到y=2x2的图象（）A向左移动1个单位，向上移动3个单位B向右移动1个单位，向上移动3个单位C向左移动1个单位，向下移动3个单位D向右移动1个单位，向下移动3个单位6（4分）（2011浙江校级自主招生）下列名人中：比尔盖茨高斯刘翔诺贝尔陈景润陈省身高尔基爱因斯坦，其中是数学家的是（）ABCD7（4分）（2012麻城市校级自主招生）张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（）欲购买的商品原价（元）优惠方式一件衣服420每付现金200元，返购物券200元，且付款时可以使用购物券一双鞋280每付现金200元，返购物券200元，但付款时不可以使用购物券一套化妆品300付款时可以使用购物券，但不返购物券A500元B600元C700元D800元8（4分）（2012麻城市校级自主招生）向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深H的函数关系的图象如上图所示，那么水瓶的形状是（）ABCD二、填空题：（每题6分，共30分）9（6分）（2013福建校级自主招生）若关于x的分式方程在实数范围内无解，则实数a=10（6分）（2011浙江校级自主招生）三角形的两边长为4cm和7cm，则这个三角形面积的最大值为cm211（6分）（2014南充自主招生）对正实数a，b作定义，若4*x=44，则x的值是12（6分）（2011萧山区校级自主招生）已知方程x2+（a3）x+3=0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，a的取值范围是13（6分）（2011萧山区校级自主招生）如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1的规律报数，那么第2007名学生所报的数是三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤14（8分）（2011萧山区校级自主招生）田忌赛马齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马；田忌的下马不敌齐王的下马田忌在按图1的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图2的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛假如在不知道齐王出马顺序的情况下：（1）请按如图的形式，列出所有其他可能的情况；（2）田忌能赢得比赛的概率是15（10分）（2011浙江校级自主招生）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：1，2，3，2，7，8，19，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素如果一个集合满足：当实数a是集合的元素时，实数8a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合（1）请你判断集合1，2，1，4，7是不是好的集合；（2）请你写出满足条件的两个好的集合的例子16（10分）（2011萧山区校级自主招生）如图，在ABC中，AC=BC，CD是AB边上的高线，且有2CD=3AB，又E，F为CD的三等分点，求证：ACB+AEB+AFB=18017（10分）（2011萧山区校级自主招生）已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，1），点P是抛物线y=x2上的一个动点（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=1的相切；（2）设直线PM与抛物线y=x2的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：PNM=QNM四、附加题：（本题满分为3分，但即使记入总分也不能使本次考试超出100分）18（2011城关区校级自主招生）有人认为数学没有多少使用价值，我们只要能数得清钞票，到菜场算得出价钱这点数学知识就够了根据你学习数学的体会，谈谈你对数学这门学科的看法2011年浙江省杭州市萧山中学自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分）1（4分）（2006潍坊）计算：tan60+2sin452cos30的结果是（）A2BCD1【解答】解：原式=+=故选：C2（4分）（2006潍坊）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30到正方形ABCD，图中阴影部分的面积为（）ABC1D1【解答】解：如图，设BC与CD的交点为E，连接AE，在RtABE和RtADE中，RtABERtADE（HL），DAE=BAE，旋转角为30，DAB=60，DAE=60=30，DE=1=，阴影部分的面积=112（1）=1故选：C3（4分）（2004宁波）已a，b为实数，ab=1，M=，N=，则M，N的大小关系是（）AMNBM=NCMND无法确定【解答】解：M=，ab=1，=1N=，ab=1，=1，M=N故选B4（4分）（2005淮安）一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（）A20分钟B22分钟C24分钟D26分钟【解答】解：他改乘出租车赶往考场的速度是2=，所以到考场的时间是10+=16分钟，10分钟走了总路程的，步行的速度=10=，步行到达考场的时间是1=40，则他到达考场所花的时间比一直步行提前了4016=24分钟故选C5（4分）（2012大田县校级自主招生）二次函数y=2x2+4x+1的图象如何移动就得到y=2x2的图象（）A向左移动1个单位，向上移动3个单位B向右移动1个单位，向上移动3个单位C向左移动1个单位，向下移动3个单位D向右移动1个单位，向下移动3个单位【解答】解：二次函数y=2x2+4x+1的顶点坐标为（1，3），y=2x2的顶点坐标为（0，0），向左移动1个单位，向下移动3个单位故选C6（4分）（2011浙江校级自主招生）下列名人中：比尔盖茨高斯刘翔诺贝尔陈景润陈省身高尔基爱因斯坦，其中是数学家的是（）ABCD【解答】解：高斯陈景润陈省身是数学家故选D7（4分）（2012麻城市校级自主招生）张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（）欲购买的商品原价（元）优惠方式一件衣服420每付现金200元，返购物券200元，且付款时可以使用购物券一双鞋280每付现金200元，返购物券200元，但付款时不可以使用购物券一套化妆品300付款时可以使用购物券，但不返购物券A500元B600元C700元D800元【解答】解：买化妆品不返购物券，先购买衣服和鞋，利用所得购物券再买化妆品付现金220元就可买一件衣服，因为付现金220元可得购物券200元，所以200+220=420元正好可购买一件衣服；付现金280元可买一双鞋，同时返购物券200元；再付现金100元加上买鞋时返的购物券200就可购买一套化妆品张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为：220+280+100=600元故选B8（4分）（2012麻城市校级自主招生）向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深H的函数关系的图象如上图所示，那么水瓶的形状是（）ABCD【解答】解：因为高度不是均匀上升的，应排除D；图象中没有出现对称情况，应排除C；随着V的不断增加，H的改变越来越快，图象应是越来越窄故选B二、填空题：（每题6分，共30分）9（6分）（2013福建校级自主招生）若关于x的分式方程在实数范围内无解，则实数a=1【解答】解：原方程化为整式方程得：1x3=a，整理得x=2a，因为无解，所以x+3=0，即x=3，所以a=2+3=110（6分）（2011浙江校级自主招生）三角形的两边长为4cm和7cm，则这个三角形面积的最大值为14cm2【解答】解：设两边的夹角为A，则三角形面积=47sinA=14sinA，当A=90时，面积的最大值=1411（6分）（2014南充自主招生）对正实数a，b作定义，若4*x=44，则x的值是36【解答】解：，原方程变形为：4+x=44，整理得，x+248=0，设=a，则a2+2a48=0，解得a=6或8，0，a=6，x=36故答案为：3612（6分）（2011萧山区校级自主招生）已知方程x2+（a3）x+3=0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，a的取值范围是1a2+3【解答】解：设f（x）=x2+（a3）x+3，问题等价于 f（x）有一个零点在（1，2）内根据二次方程根的分布，这等价于 f（1）f（2）0或f（1）f（2）0，即1+（a3）+34+（a3）2+30或1+（a3）+34+（a3）2+30，也即（a+1）（2a+1）0或（a+1）（2a+1）0，解得1a或a1或，当0时，即b24ac0，（a3）2120，a2+3或a2+3，则a的范围是：1a2+3故答案为：1a2+313（6分）（2011萧山区校级自主招生）如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1的规律报数，那么第2007名学生所报的数是3【解答】解：观察发现，以（1、2、3、4、5、4、3、2）为一个循环组，依次进行循环，20078=2507，第2007名学生所报的数是第251组的第7个数，是3故答案为：3三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤14（8分）（2011萧山区校级自主招生）田忌赛马齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马；田忌的下马不敌齐王的下马田忌在按图1的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图2的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛假如在不知道齐王出马顺序的情况下：（1）请按如图的形式，列出所有其他可能的情况；（2）田忌能赢得比赛的概率是【解答】解：（1）当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下 田忌的马上中下 上中下 上中下 上中下 齐王的马上下中中上下下上中下中上 （2）根据对对阵形式的分析可以知道：田忌赢得比赛的概率为15（10分）（2011浙江校级自主招生）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：1，2，3，2，7，8，19，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素如果一个集合满足：当实数a是集合的元素时，实数8a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合（1）请你判断集合1，2，1，4，7是不是好的集合；（2）请你写出满足条件的两个好的集合的例子【解答】解：（1）集合1，2不是好的集合，这是因为81=7，而7不是1，2中的数，所以1，2不是好的集合；1，4，7是好的集合，这是因为81=7，7是1，4，7中的数，84=4，4也是1，4，7中的数，87=1，1又是1，4，7中的数所以1，4，7是好的集合；（2）答案不唯一集合4、3，4，5、2，6、1，2，4，6，7、0，8等都是好的集合16（10分）（2011萧山区校级自主招生）如图，在ABC中，AC=BC，CD是AB边上的高线，且有2CD=3AB，又E，F为CD的三等分点，求证：ACB+AEB+AFB=180【解答】证明：2CD=3AB，E，F为CD三等分点，D为AB中点，AD=DF；AFD=45，由勾股定理得：AF2=AD2+DF2=2DF22DF2=EF（EF+CE）=FEFC；AF2=FEFC，=，AFE=CFA，AEFCFA，CAF=AEF；即ACD+AED=AFD=45；ACD+AED+AFD=90，ACB+AEB+AFB=18017（10分）（2011萧山区校级自主招生）已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，1），点P是抛物线y=x2上的一个动点（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=1的相切；（2）设直线PM与抛物线y=x2的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：PNM=QNM【解答】解：（1）设点P的坐标为（x0，x20），则PM=x20+1；又因为点P到直线y=1的距离为，x20（1）=x20+1所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=1相切（2）如图，分别过点P，Q作直线y=1的垂线，垂足分别为H，R由（1）知，PH=PM，同理可得，QM=QR因为PH，MN，QR都垂直于直线y=1，所以，PHMNQR，于是=，所以，因此，RtPHNRtQRN于是HNP=RNQ，从而PNM=QNM四、附加题：（本题满分为3分，但即使记入总分