材料力学课件3.（第2章-扭转和弯曲内力）

哈尔滨工业大学本科生课 第2章 内力及内力图第2章 内力及内力图 2.3 2.3 扭转扭转 2.4 2.4 梁的平面弯曲及其计算简图梁的平面弯曲及其计算简图 2.5 2.5 梁的内力剪力与弯矩梁的内力剪力与弯矩 上一讲主要内容回顾上一讲主要内容回顾 2 F A C B F BC N F AB N F 轴力的符号规定：拉正 压负轴力的符号规定：拉正 压负 FF m m F x N F 左端：X= 0, F = 0 = F N F N F 上一讲主要内容回顾上一讲主要内容回顾 F1F2 F31 1 2 2 例1：例1：F F1 1= 3kN, = 3kN, F F2 2=2kN, =2kN, F F3 3=1kN。 (1) 求1-1和2-2截面的轴力 (2) 画轴力图 =1kN。 (1) 求1-1和2-2截面的轴力 (2) 画轴力图 解：解：1.求轴力1.求轴力 11： 11： X X= 0, = 0, F FN1 N1+ + F F1 1 = 0 = 0 F FN1 N1 - -F F1 1 3kN 22： 左： 3kN 22： 左：X X= 0 = 0 F FN2 N2 + + F F1 1F F2 2= 0= 0 F FN2 N2 = = F F2 2- -F F1 1 = = 1kN1kN F1 x 1N F F1 x F2 2N F 右：右：X X= 0, = 0, F F3 3= 0 = = 0 = 1kN1kN 2N F 2N F 2. 画轴力图2. 画轴力图 横坐标轴（x轴）代表截面的位置 纵坐标轴(FN轴）代表截面的轴力值 F FN N x x 3kN 1kN 3kN 1kN 基线基线 F3 x2N F 上一讲主要内容回顾上一讲主要内容回顾 低碳钢的拉伸试验 一条线 二个规律 三个现象 四个阶段 五个性能指标 低碳钢的拉伸试验 一条线 二个规律 三个现象 四个阶段 五个性能指标 哈尔滨工业大学本科生课 5 2.32.3 扭转 2.3 扭转2.3 扭转 螺丝刀杆工作时受扭螺丝刀杆工作时受扭 Me 主动力偶主动力偶 阻抗力偶阻抗力偶 1.扭转的工程实例1.扭转的工程实例 2.3 扭转2.3 扭转 汽车方向盘的转动轴工作时受扭汽车方向盘的转动轴工作时受扭 1.扭转的工程实例1.扭转的工程实例 2.3 扭转2.3 扭转 机器中的传动轴工作时受扭机器中的传动轴工作时受扭 1.扭转的工程实例1.扭转的工程实例 2.3 扭转2.3 扭转 以扭转变形为主的杆件以扭转变形为主的杆件 轴轴 受力特点：受力特点： 一对大小相等、转向相反、 作用平面垂直于杆轴线的 一对大小相等、转向相反、 作用平面垂直于杆轴线的外 力偶 外 力偶 变形特点：变形特点： 杆件的任意两个横截面发生杆件的任意两个横截面发生 相对转动相对转动 扭转角：扭转角： 杆件扭转时任意两个横截面发生相对转动而产生的杆件扭转时任意两个横截面发生相对转动而产生的相对角位移相对角位移 2.扭转的概念2.扭转的概念 2.3 扭转2.3 扭转 3.求扭转内力的方法截面法3.求扭转内力的方法截面法 I I I I T 4.受扭圆轴横截面上的内力、内力偶矩扭矩，4.受扭圆轴横截面上的内力、内力偶矩扭矩， I I T e M e M e M e M 2.3 扭转2.3 扭转 右手法则：右手法则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示 扭矩矢的方向， 右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示 扭矩矢的方向， 若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。 T T 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定： 5.扭矩的符号规定右手螺旋法则5.扭矩的符号规定右手螺旋法则 I I T I I T I I T e M I I T e M 2.3 扭转2.3 扭转 例1 计算1-1,2-2,3-3横截面上的扭矩例1 计算1-1,2-2,3-3横截面上的扭矩 BCAD 1.5 Me1.5 Me 5 Me 2 Me 1 1 3 3 1.5e1.5e 5e 2e 2.3 扭转2.3 扭转 1 1 x 1.5Me B T1 A 1.5Me B 1.5Me2 2 x T2 BCAD 1.5Me1.5Me 5Me 2Me 1 1 2 2 3 3 3 3 D 2Me x e T. M 1 1 50 e T. M 1 1 5 ee T. M. M 2 1 51 50 e TM 2 3 T3 e TM 3 20 e TM 3 2 解： 1-1截面，取左侧为脱离体 2-2截面，仍取左侧为脱离体 解： 1-1截面，取左侧为脱离体 2-2截面，仍取左侧为脱离体 3-3截面，取右侧为脱离体3-3截面，取右侧为脱离体 2.3 扭转2.3 扭转 BCAD 1.5Me1.5Me 5Me 2Me 1 1 2 2 3 3 e T. M 1 1 5 e TM 2 3 e TM 3 2 e M3 . e M1 5 e M2 T 扭矩图扭矩图 2.3 扭转2.3 扭转 BCAD 1.5Me1.5Me5Me 2Me 1 1 2 2 3 3 e T. M 1 1 5 e TM 2 3- e TM 3 5 e M3 . e M1 5 e M5 T 扭矩图扭矩图 主动轴在中间的布置方式更合理主动轴在中间的布置方式更合理 e M3 . e M1 5 e M2 T 2.3 扭转2.3 扭转 工程中，通常不是直接给出作用在传动轴上的外力偶工程中，通常不是直接给出作用在传动轴上的外力偶 P 单位单位:kW 轴轴传递的功率传递的功率 n 单位单位:r/min 轴的转速轴的转速 , ,rpm 2.3 扭转2.3 扭转 P 单位单位:kW n 单位单位:r/min 轴轴传递的功率 轴的转速 传递的功率 轴的转速 ,rpm 每分钟做的功为每分钟做的功为 WP 3 1060 力偶做功（每分钟）力偶做功（每分钟） ee WMMn 2 W W e PMn 3 10602 e P M n 9554 2.3 扭转2.3 扭转 例例2 传动轴的转速传动轴的转速n = 300r/min； 主动轮输入的功率； 主动轮输入的功率P1= 500kW， 三个从动轮输出的功率分别为： ， 三个从动轮输出的功率分别为： N2= 150kW， N3= 150kW， N4= 200kW。试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。 N mkN mM(). 1 500 955415 9 300 N mkN mMM(). 23 150 95544 78 100 N mkN mM(). 4 200 95546 37 300 2.3 扭转2.3 扭转 BCAD 4.784.78 15.9 6.37 1 1 2 2 3 3 KN mT. 1 4 78 .KN m4 78 扭矩图扭矩图 KN mT. 2 9 56KN mT. 3 6 37 .KN m9 56 .KN m6 37 T 哈尔滨工业大学本科生课 20 2.42.4 梁的平面弯曲和 计算简图 2.4 梁的平面弯曲及其计算简图 1.弯曲的工程实例1.弯曲的工程实例 工厂厂房的天车大梁工厂厂房的天车大梁 2.4 梁的平面弯曲及其计算简图 吊车梁吊车梁 1.弯曲的工程实例1.弯曲的工程实例 2.4 梁的平面弯曲及其计算简图 火车轮轴火车轮轴 1.弯曲的工程实例1.弯曲的工程实例 2.4 梁的平面弯曲及其计算简图 楼房的横梁 阳台的挑梁 楼房的横梁 阳台的挑梁 1.弯曲的工程实例1.弯曲的工程实例 2.4 梁的平面弯曲及其计算简图 上海长江大桥第53号至54号桥墩间的“百米长梁”。这一 箱梁长105米、宽16米、高5米，重2300吨，实现了桥梁史上的 一大突破。 上海长江大桥第53号至54号桥墩间的“百米长梁”。这一 箱梁长105米、宽16米、高5米，重2300吨，实现了桥梁史上的 一大突破。 上海长江大桥上海长江大桥 1.弯曲的工程实例1.弯曲的工程实例 2.4 梁的平面弯曲及其计算简图 2.弯曲的概念2.弯曲的概念 受力特点受力特点作用于杆件上的作用于杆件上的外力外力都都垂直垂直于杆的于杆的轴线轴线。 变形特点变形特点杆轴线由杆轴线由直线直线变为变为曲线曲线。 主要产生弯曲变形的杆- 梁主要产生弯曲变形的杆- 梁 2.4 梁的平面弯曲及其计算简图 讨论杆的弯曲暂时限制在如下的范围: 杆的横截面 讨论杆的弯曲暂时限制在如下的范围: 杆的横截面至少有一根对称轴至少有一根对称轴（一个对称面）（一个对称面） 对称轴对称轴 对称轴对称轴 对称轴对称轴对称轴对称轴 3.平面弯曲的概念3.平面弯曲的概念 2.4 梁的平面弯曲及其计算简图 工字型梁和T梁工字型梁和T梁 2.4 梁的平面弯曲及其计算简图 纵向对称面：纵向对称面： 梁的轴线与横截面的对称轴（纵向对称轴）所构成的平面梁的轴线与横截面的对称轴（纵向对称轴）所构成的平面 纵向对称面纵向对称面 y纵向对称轴纵向对称轴 x 梁的轴线梁的轴线 2.4 梁的平面弯曲及其计算简图 y纵向对称轴纵向对称轴 x 梁的轴线梁的轴线 F q m A F B F A M 梁上的外力梁上的外力 支撑支撑支座反力（支反力）支座反力（支反力） 载荷载荷 集中力 分布力 集中力偶 集中力 分布力 集中力偶 2.4 梁的平面弯曲及其计算简图 受力特点：受力特点： 所有外力（载荷和支座反力）所有外力（载荷和支座反力）作用 在纵向对称面内 作用 在纵向对称面内，并，并垂直于轴线垂直于轴线 变形特点：变形特点： 轴线由直线变成了在纵向对称面内 的平面曲线。 平面弯曲平面弯曲 2.4 梁的平面弯曲及其计算简图 y 纵向对称轴纵向对称轴 x 梁的轴线梁的轴线 4.梁的计算简图梁的计算简图 (1). 用梁的轴线来代替实际的梁用梁的轴线来代替实际的梁 y x q F 2.4 梁的平面弯曲及其计算简图 固定绞支座 可动绞支座 固定绞支座 可动绞支座 (2) 根据支座对梁在载荷平面内的约束情况 支座简化的三种形式： 根据支座对梁在载荷平面内的约束情况 支座简化的三种形式： 4.梁的计算简图梁的计算简图 可转动，不能移动可转动，不能移动 固定端支座固定端支座 可转动和水平移动可转动和水平移动 不能移动、不能转动不能移动、不能转动 2.4 梁的平面弯曲及其计算简图 工程中，常见的静定梁的计算简图有以下三种：工程中，常见的静定梁的计算简图有以下三种： 简支梁简支梁 一端是固定铰支约束 另一端可动铰支约束 一端是固定铰支约束 另一端可动铰支约束 悬臂梁悬臂梁 一端为固定端 另一端自由 一端为固定端 另一端自由 外伸梁外伸梁 绞支座支撑 梁的一端或两端伸 于支座之外 绞支座支撑 梁的一端或两端伸 于支座之外 2.4 梁的平面弯曲及其计算简图 楼房的横梁： 阳台的挑梁： 楼房的横梁： 阳台的挑梁： 哈尔滨工业大学本科生课 36 2.5 梁的内力 剪力与弯矩 2.5 梁的内力 剪力与弯矩 2.5 梁的内力剪力与弯矩 F l n n F a s F MMFa F Fl F F Fl s F M ()0MF laFl la 弯矩弯矩 M s F剪力剪力 MFa 2.5 梁的内力剪力与弯矩 剪力和弯矩的正负号规则：剪力和弯矩的正负号规则： 左上右下为正左上右下为正 s F s F s F s F 向下凸出为正向下凸出为正MM MM 上压下拉为正上压下拉为正 2.5 梁的内力剪力与弯矩 剪力和弯矩的正负号规则：剪力和弯矩的正负号规则： 左上右下为正左上右下为正 s F s F 向下凸为正向下凸为正 MM F s F M F Fl s F M F Fl F n n 本例中的剪力和弯矩均为负值本例中的剪力和弯矩均为负值 2.5 梁的内力剪力与弯矩 -= A R 5 5 2 0 0 B M A R 2kN -= B R 5 5 3 0 0 A M B R 3kN A R s F M 假设剪力和弯矩为 取正号的方向 假设剪力和弯矩为 取正号的方向 0 y F 0M n n A R B R a 解：解：(1) 求支座反力：求支座反力： (2) 取出脱离体：取出脱离体： sA FR 2kN kN m A MR aa2 例题1例题1 3m2m 5m 5kN 2.5 梁的内力剪力与弯矩 A R 2kN B R 3kN s F M 假设剪 力和弯 矩为 取正号 的方向 假设剪 力和弯 矩为 取正号 的方向 sA FR50 A MR a6 kN m y F0 M 0 A R B R (2)取出脱离体：(2)取出脱离体： A R 在集中力作用处的截面， 不能含糊地说该截面上的 剪力是多大，而应该说 在集中力作用处的截面， 不能含糊地说该截面上的 剪力是多大，而应该说 “集中力作用处的左邻截 面和右邻截面的剪力各为 多大” “集中力作用处的左邻截 面和右邻截面的剪力各为 多大” s F 3kN 3m2m 5m 5kN n n 5kN a 2.5 梁的内力剪力与弯矩 A R 550 0 B M A R1kN B R 550 A M0 B R 1kN A R s F M 假设剪力和弯矩为 取正号的方向 假设剪力和弯矩为 取正号的方向 y F0 M 0 A R B R 解：解：(1) 求支座反力：求支座反力： (2) 取出脱离体：取出脱离体： sA FR1kN A MR33 kN m 例题2例题2 m32m n n 5kN m m5 2.5 梁的内力剪力与弯矩 A R1kN B R 1kN s F M 假设剪力和弯矩为 取正号的方向 假设剪力和弯矩为 取正号的方向 y F0 M 0 A R B R (2) 取出脱离体：取出脱离体： sA FR1 kN A RM 350 M 2 kN.m 在集中力偶作用处的截面， 不能含糊地说该截面上的 弯矩是多大， 而应该说 在集中力偶作用处的截面， 不能含糊地说该截面上的 弯矩是多大， 而应该说“力偶作用处的 左邻截面和右邻截面的弯 矩各为多大” “力偶作用处的 左邻截面和右邻截面的弯 矩各为多大” B R M s F B MMR 22kN0m ( sBs FFR10kN) m32m m5 n n 5kN m 5kN m A R 2.5 梁的内力剪力与弯矩 A FRF 12 8630 0 B M A R14 kN 0 A M 解：解：(1) 求支座反力：求支座反力： 例题3例题3 1 F =3kN 2m 3m3m 2 F =20kN A B 1m 1 1 2 21.5m A R B R B FFR 12 2360 B R9 kN (2) 取脱离体，求内力取脱离体，求内力 1 F A Rs F 1 M1 y F0 11 -0 sA FFR s F 1 11 kN 0M A FMR 11 310 M1=5 kN m B R y F0 sB FR 1 0 s F 2 9 kN M 2 s F 2 M0 . B MR 2 1 50 M 2=13.5 kN m 1 1 22 2.5 梁的内力剪力与弯矩 例题4：求1-1、2-2两截面的内力例题4：求1-1、2-2两截面的内力 1 F =2kN 1m2m2m A B 1 1 2 2 q=1.5KN/m . A R2 541 5 420 B M0 . A R 5 5 kN A M0 解：解：(1) 求支座反力：求支座反力： . B R41 5 422 10 .kN B R2 5 (2) 取脱离体，求内力取脱离体，求内力 y F0 s F 1 2 kN M0 M12 kN m A R B R 1 F s F 1 M1 1 1 . s F 2 0 5 kN M2=2 kN m y F0 . s F 2 2 51 52 M0 22 .M21 5 2 12 5 2 B R q=1.5KN/m M 2 s F 2 2.5 梁的内力剪力与弯矩 例题4：求1-1、2-2两截面的内力例题4：求1-1、2-2两截面的内力 1