材料力学课件6.截面图形性质VIP

哈尔滨工业大学本科生课 z F y z F y F z x y 哈尔滨工业大学本科生课 材料截面几何 静矩，惯性矩，惯性积静矩，惯性矩，惯性积 特性：特性： (1) 纯几何量，与材料的力学性质无关纯几何量，与材料的力学性质无关 (2) 从不同角度反映了截面的几何特征从不同角度反映了截面的几何特征称为截面的几何性质称为截面的几何性质 载荷内力应力应变 哈尔滨工业大学本科生课 3.1 静矩静矩和形心和形心 3.2 惯性矩惯性矩和和惯性积惯性积 3.3 平移轴公式平移轴公式 3.4 转轴公式 主惯性轴、主惯性矩、主形心惯性矩 转轴公式 主惯性轴、主惯性矩、主形心惯性矩 第3章平面图形的几何性质第3章平面图形的几何性质 哈尔滨工业大学本科生课 哈尔滨工业大学本科生课 3.1 截面的静矩与形心3.1 截面的静矩与形心 4 3.1 截面的静矩与形心3.1 截面的静矩与形心 3.1.1 静矩3.1.1 静矩 1、定义：1、定义： dA对对y轴的微静矩:轴的微静矩: y z dA y z o 2、量纲：长度2、量纲：长度3 3；单位：m；单位：m3 3、cm、cm3 3、mm、mm3 3。 dA对对z轴的微静矩:轴的微静矩:ydAdSz zdAdS y 3、静矩的值可以是正值、负值、或零。3、静矩的值可以是正值、负值、或零。 （面积矩）（面积矩） z A y A SydA SzdA , z y 3.1 截面的静矩与形心3.1 截面的静矩与形心 y z dA y z o 可知可知 A dAz z A dAy y A C A C , C A y AzzdAS C A z AyydAS 静矩和形心的关系静矩和形心的关系 平面图形的形心C(平面图形的形心C(zc, yc)公式公式, CC zy C 3.1.2 静矩与形心坐标的关系3.1.2 静矩与形心坐标的关系 3.1 截面的静矩与形心3.1 截面的静矩与形心 静矩的性质静矩的性质 形心轴 图形对形心轴的静矩为零 形心轴 图形对形心轴的静矩为零 c z S c y S 0 C yA C A z0 通过图形形心的坐标轴通过图形形心的坐标轴 图形对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴图形对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴 性质1：性质1： y z dA y z o C zc 在坐标系中， 形心坐标的纵坐标 在坐标系中， 形心坐标的纵坐标 c z oy , cc zy 0 c y yc 3.1 截面的静矩与形心3.1 截面的静矩与形心 静矩的性质静矩的性质 形心轴 图形对形心轴的静矩为零 形心轴 图形对形心轴的静矩为零 通过图形形心的坐标轴通过图形形心的坐标轴 图形对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴图形对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴 性质1：性质1： y z dA y z o C zc yc 性质2：性质2：对称轴必为形心轴 对称轴必为形心轴 图形有两个对称轴时， 形心必在这两对称轴的交点处。 图形有两个对称轴时， 形心必在这两对称轴的交点处。 3.1 截面的静矩与形心3.1 截面的静矩与形心 z y z A SydA ha a ybdy ha a by 2 2 ) 2 ( h abh C Ay b h a dy y dz z A y zdAS b zhdz 0 b hz 0 2 2 2 b bh C Az A z ydAS c 2 2 h h ybdy 2 2 2 2 h h by 0 求图形对求图形对y、z 轴的静矩轴的静矩 C Z /2,/2bah 3.1 截面的静矩与形心3.1 截面的静矩与形心 组合图形：组合图形：由若干个由若干个基本图形基本图形组合而成的图形组合而成的图形 ziz SS yiy SS 组合图形的形心：组合图形的形心： i zi c A S y i yi c A S z A yA cii A zA cii 利用基本图形的结果，可使组合图形的形心计算简单利用基本图形的结果，可使组合图形的形心计算简单 基本图形：基本图形：指面积、形心位置已知的图形指面积、形心位置已知的图形 cii yA cii zA 3.1.2 组合截面的静矩与形心3.1.2 组合截面的静矩与形心 3.1 截面的静矩与形心3.1 截面的静矩与形心 21 2211 AA zAzA A zA z cc cii c 例题例题 试确定下图的形心试确定下图的形心。 21 2211 AA yAyA A yA y cc cii c 120 12 c(28.5;58.5) z y C1 C2 解法1：解法1：1)、建立坐标如图示，分割图形1)、建立坐标如图示，分割图形 1 108 12A 2 180 12A 180 1296 662160 6 12962160 2)、求形心2)、求形心 28 5(mm). 1296 62160 90 58.5() 12962160 mm 1 66 c zmm 2 1296mm 1 6 c ymm 2 2160mm2 6 c zmm 2 90 c ymm 3.1 截面的静矩与形心3.1 截面的静矩与形心 120 12 54 2016 31 5 14402016 mm . () c(-31.5;52.5) 解法二：解法二：1)、分割图形及建立坐标系，如图所示1)、分割图形及建立坐标系，如图所示 z y C2 C1 2 111 120 121440,0,0. cc Ammzy 2 222 168*122016,54,90 cc Ammzmmymm 2)、求形心2)、求形心 90 2016 52 5 14402016 mm . () 21 2211 AA zAzA A zA z cc cii c 21 2211 AA yAyA A yA y cc cii c 3.1 截面的静矩与形心3.1 截面的静矩与形心 解法三：解法三：负面积法负面积法 60 216006618144 28 5 21600 18144 mm () . () z y 2 C 求形心：求形心： 90 216009618144 58 5 21600 18144 mm () . () 1 C 0 C 21 2211 AA zAzA A zA z cc cii c 21 2211 AA yAyA A yA y cc cii c 120 12 z y 2 111 180*12021600,60,90 cc Ammzmmymm 2 222 168 10818144,66,96 cc Ammzmmymm 哈尔滨工业大学本科生课 3.2 惯性矩、惯性积、 极惯性矩 3.2 惯性矩、惯性积、 极惯性矩 14 3.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩3.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩 1、定义1、定义： dA对z轴的微惯性矩: dA对y轴的微惯性矩: dA对z轴的微惯性矩: dA对y轴的微惯性矩: 2、量纲：m4、mm4。2、量纲：m4、mm4。 y z dA z y o 2 z A Iy dA 2 y A Iz dA dAydI z 2 dAzdI y 2 3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩） 4、惯性矩的取值恒为正值。 3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩） 4、惯性矩的取值恒为正值。 图形对z轴的惯性矩: 图形对y轴的惯性矩: 图形对z轴的惯性矩: 图形对y轴的惯性矩: 3.2.1 惯性矩、惯性积和极惯性矩的定义和性质3.2.1 惯性矩、惯性积和极惯性矩的定义和性质 , z y 3.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩3.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩 6、惯性矩与极惯性矩的关系：6、惯性矩与极惯性矩的关系： 图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于 此图形对该两轴交点的极惯性矩。 图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于 此图形对该两轴交点的极惯性矩。 A p dAI 2 A dAzy)( 22 AA dAzdAy 22 yz II y z dA z y o 5、极惯性矩： （对o点而言）5、极惯性矩： （对o点而言） 2 p A IdA 222 yz 3.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩3.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩 惯性半径：惯性半径： A I iAiI z zzz 2 A I iAiI y yyy 2 惯性积：惯性积： 1、定义： 2、量纲：长度 1、定义： 2、量纲：长度4 4，单位：m，单位：m4 4、mm、mm4 4。 3、惯性积是对轴而言。 。 3、惯性积是对轴而言。 A zy zydAI 4、惯性积的取值为正值、负值、零。4、惯性积的取值为正值、负值、零。 y z dA z y o 5、规律：5、规律： 两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则 图形关于这一对坐标轴的惯性积为零。 两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则 图形关于这一对坐标轴的惯性积为零。 3.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩3.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩 b h zc c yc（1） 矩形截面：（1） 矩形截面： bdy hdz 3 1 12 z Ibh 3 1 12 y Ihb 3.2.3 简单截面图形的惯性矩计算3.2.3 简单截面图形的惯性矩计算 2 2 2 h h y bdy 2 2 2 b b z hdz 2 z A Iy dA 3 2 2 3 h h y b 3 1 12 bh 2 y A Iz dA 3 2 2 3 b b z h 3 1 12 hb 3.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩3.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩 A AId 2 p 2 2 0 (2 d) D 4 32 D d2dA /2 4 0 2() 4 D 实心圆截面 关于圆心的极惯性矩：实心圆截面 关于圆心的极惯性矩： O D （2） 圆形截面：（2） 圆形截面： 3.2.3 简单截面图形的惯性矩计算3.2.3 简单截面图形的惯性矩计算 3.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩3.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩 2 2 3 p d2 D d I d2dA 44 32 dD 4 4 1 32 D D d D O d （2） 圆形截面：（2） 圆形截面： 3.2.3 简单截面图形的惯性矩计算3.2.3 简单截面图形的惯性矩计算 空心圆截面 关于圆心的极惯性矩：空心圆截面 关于圆心的极惯性矩： 3.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩3.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩 实心（直径D）实心（直径D） 空心（外径D，内径d）空心（外径D，内径d） )( 64 1 44 dDII yz z y c zy II 1 2 p I 4 1 64 D （2） 圆形截面：（2） 圆形截面： 3.2.3 简单截面图形的惯性矩计算3.2.3 简单截面图形的惯性矩计算 惯性矩惯性矩 3.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩3.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩 组合图形的惯性矩和惯性积组合图形的惯性矩和惯性积 ziz II yiy II ziyizy II 根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某 轴的惯性矩（或惯性积）等于 根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某 轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同 一轴的惯性矩（或惯性积）之和 其各组成部分对于同 一轴的惯性矩（或惯性积）之和： 哈尔滨工业大学本科生课 3.33.3 惯性矩和惯性积 的平行移轴公式 23 3.3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式3.3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 解：解： 2 z A Iy dA 22222 ()2 yccc AAAAA yc Iz dAzb dAz dAb dAb z dA Ib A z y o yc zc czc yc 已知：已知：图形截面积图形截面积A，形心轴，形心轴yc、 zc、Izc、Iyc、Izcyc、a、b。 zc轴平行于轴平行于z z轴；轴；y yc c轴平行于y轴。轴平行于y轴。 求：求：Iz、Iy、Izy 平行移轴公式平行移轴公式 AA cczy dAbzayyzdAI)( zcycc ccc AAAA y z dAabdA az dAIby AabAd dA y z a b 2 () c A ya dA 22 2 cc AAA y dAa dAa ydA 2 zc Ia A 3.3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式3.3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 2 2 zzc yyc zyzcyc IIa A IIb A IIabA z y o yc zc czc yc dA y z a b 平行移轴公式平行移轴公式 注意：注意：ZC、YC为形心轴为形心轴 a、b为图形形心在为图形形心在yoz坐标系的坐标值，可正可负坐标系的坐标值，可正可负 3.3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式3.3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 例1例1 求图示直径为求图示直径为d d 的半圆对其自身形心轴的半圆对其自身形心轴z zc c 的惯性矩。 的惯性矩。 解：解： 2 2 ( )2 2 d b yy 2 0 d( )d d z A y Ayb yy S 3 2 122 83 z Sdd a Ad z y a C d zc z c A yAy A S d dy 2 2 2 0 2 2 d d yyy d 3 12 d 3.3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式3.3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 2、求对形心轴2、求对形心轴 zc的惯性矩的惯性矩 44 64 2128 z dd I 244 2 812818 () c zz ddd IIa 由平行移轴公式得：由平行移轴公式得： z y a C d zc 3 2 122 83 z Sdd a Ad 3.3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式3.3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 例2例2试求图a 所示截面对于对称轴z的惯性矩。 解：解：将截面看作一个矩形和两个 半圆组成。 1、矩形对 z 轴的惯性矩： 3 3 1 44 2 80 200 1212 5333 10 mm z da I 2、一个半圆对其自身形心轴 zc 轴的惯性矩（见上例） 244 2 812818 () c zzc ddd IIy z y C (a) d=80 40100a=10040 a+ 2d 3 3.3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式3.3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 3、一个半圆对3、一个半圆对 z 的惯性矩的惯性矩 由平行移轴公式得： 2 2 2 2 442 222 44 2 38 2 1281838 2 3467 10 mm 43223 c zz dd IIa dddd a ddaad 4、整个截面对于对称轴4、整个截面对于对称轴 z 的惯性矩：的惯性矩： 44 44 21 mm1012270 1034672105333 2 xxx III z y C (a) d=80 40100a=10040 a+ 2d 3 3.3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式3.3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 2. 求对形心轴的惯性矩 例3 2. 求对形心轴的惯性矩 例3求图示截面形心轴Y求图示截面形心轴YC C和Z和ZC C的惯性矩的惯性矩 解：解：1. 确定形心的位置1. 确定形心的位置 y Z zc z2 z1 c 6cm 2cm 6cm 2cm y 1 y 2 a 2 a 1 yc 1 2 （yc） A yA y ii c 则则a12cm，a22cm。 42 3 2 3 1365284212 12 26 212 12 62 cmI C Z 4 33 40364 12 62 12 26 cmI C y 11 22 2 11 2 22 C C ZZ ZZ IIa A IIa A 21 2211 AA yAyA 2662 126562 cm3 c2 c1 哈尔滨工业大学本科生课 3.43.4 惯性矩和惯性积 的转轴公式 31 3.4 惯性矩和惯性积的转轴公式3.4 惯性矩和惯性积的转轴公式 3.4.1 惯性矩和惯性积的转轴公式3.4.1 惯性矩和惯性积的转轴公式 dA 在坐标系在坐标系 ozy 和坐标系和坐标系oz1y1 的 坐标分别为（ 的 坐标分别为（z，y ）和（）和（z1 ，y1） 1 cossinzzy 代入惯性矩的定义式：代入惯性矩的定义式： AyI A z d 2 1 1 z y Oz y A B C D E dA 已知已知：A、Iz、Iy、Izy、 。求求：Iz1、Iy1、Iz1y1。 1 cossinyyz 3.4 惯性矩和惯性积的转轴公式3.4 惯性矩和惯性积的转轴公式 1 2222 cosdsind2sincosd z AAA IyAzAzyA 利用二倍角函数公式利用二倍角函数公式 2 2 1 12 2 1 12 2 22 coscos sincos sincossin 1 2 1 d z A IAy z y O z y A B C D E dA 1 22 22 zyzy zzy IIII II cossin 2 cossidn A yzA 22 cossin2sincos zyzy III 3.4 惯性矩和惯性积的转轴公式3.4 惯性矩和惯性积的转轴公式 yzyz IIII 11 上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直 的坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原 点的极惯性矩 上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直 的坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原 点的极惯性矩 将前两式相加得将前两式相加得 2cos2sin 2 2sin2cos 22 2sin2cos 22 11 1 1 zy yz yz zy yzyz y zy yzyz z I II I I IIII I I IIII I z y O z y A B C D E dA 3.4 惯性矩和惯性积的转轴公式3.4 惯性矩和惯性积的转轴公式 2cos2sin 2 2sin2cos 22 2sin2cos 22 11 1 1 zy yz yz zy yzyz y zy yzyz z I II I I IIII I I IIII I 0 0 1 22220 2 zy z zy II dI I d sincos 0 0 1 d dI z 找到 0 00 2220 2 zy zy II I (sincos) yz zy II I tg 2 2 0 00 0 z y I 3.4.2 主惯性矩与主惯性轴3.4.2 主惯性矩与主惯性轴 3.4 惯性矩和惯性积的转轴公式3.4 惯性矩和惯性积的转轴公式 yz zy II I tg 2 2 0 可求得和两个角度，从而确定两根轴可求得和两个角度，从而确定两根轴y0,，z0。 。0 90 0 00 0 z y I 2 2 0 0 min max ) 2 ( 2 zy yzyz y z I IIII II 由 yz zy II I tg 2 2 0 求出代入转轴公式可得：00 2cos,2sin 截面对于惯性矩为极值的一对坐标轴的惯性积必为零截面对于惯性矩为极值的一对坐标轴的惯性积必为零 3.4 惯性矩和惯性积的转轴公式3.4 惯性矩和惯性积的转轴公式 0 00 22 22 cossin zyzy zzy IIII II 0 00 00 290290 22 cossin zyzy yzy IIII II 1 22 22 cossin zyzy zzy IIII II 3.4 惯性矩和惯性积的转轴公式3.4 惯性矩和惯性积的转轴公式 2、主惯性矩（主矩）2、主惯性矩（主矩） 图形对主轴的惯性矩图形对主轴的惯性矩Iz0、 、Iy0 称为称为主惯性矩主惯性矩，主惯性矩为主惯性矩为 图形对过该点的所有轴的图形对过该点的所有轴的 惯性矩中的最大和最小值惯性矩中的最大和最小值。 3、主形心惯性轴/形心主惯性轴（形心主轴）3、主形心惯性轴/形心主惯性轴（形心主轴） 如果图形的两个主轴如果图形的两个主轴为图形的形心轴为图形的形心轴，则此两轴为形心主轴。 （ ，则此两轴为形心主轴。 （Izcyc= 0。= 0。 zc、yc为形心轴。为形心轴。zc、yc为形心主轴）。为形心主轴）。 4、形心主惯性矩：4、形心主惯性矩： 图形对形心主轴的惯性矩。（图形对形心主轴的惯性矩。（Izc、Iyc）。 1、主惯性轴（主轴）1、主惯性轴（主轴） 如果图形对过某点的如果图形对过某点的某一对正交坐标轴某一对正交坐标轴的的惯性积为零惯性积为零， 这对正交轴为图形过该点的 ， 这对正交轴为图形过该点的主惯性轴主惯性轴。 0 00 yz I 3.4.3 主形心惯性矩与主形心惯性轴3.4.3 主形心惯性矩与主形心惯性轴 3.4 惯性矩和惯性积的转轴公式3.4 惯性矩和惯性积的转轴公式 5、求截面形心主惯性矩的基本步骤5、求截面形心主惯性矩的基本步骤 1)、建立坐标系。、建立坐标系。 2)、求形心位置。、求形心位置。 3)、建立形心坐标系；并求：、建立形心坐标系；并求：Iyc，Izc，Izcyc， A yA A S y A zA A S z cii z ciiy c 4)、确定形心主轴位置、确定形心主轴位置 0 ： yz zy II I tg 2 2 0 5)、求形心主惯性矩、求形心主惯性矩 2 2 0 0 min max ) 2 ( 2 zy yzyz yc zc I IIII II 3.4 惯性矩和惯性积的转轴公式3.4 惯性矩和惯性积的转轴公式 6、几个结论6、几个结论 若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主惯性轴之一若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主惯性轴之一， 另一形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。 若截面有 ， 另一形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。 若截面有二根对称轴二根对称轴，则此二轴即为形心主惯性轴。 若截面有 ，则此二轴即为形心主惯性轴。 若截面有三根对称轴三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心 主惯性轴，且主惯性矩相等。（正三角形） ，则通过形心的任一轴均为形心 主惯性轴，且主惯性矩相等。（正三角形） 3.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩3.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩 在下列关于平面图形的结论中，（）是错误的。 A.图形的对称轴必定通过形心； B.图形两个对称轴的交点必为形心； D.使静矩为零的轴必为对称轴。 C.图形对对称轴的静矩为零； D 在平面图形的几何性质中，（）