2020年高考热点内容预测与分析（4）：圆锥曲线与方程VIP

2020年高考热点内容预测与分析(4)圆锥曲线与方程一、 本部分在高考的地位和作用圆锥曲线是解析几何的核心内容，是中学数学的重点、难点，是高考命题的热点之一，也是高考常见新颖题的板块,各种解题方法在本章得到了很好的体现和充分的展示,尤其是在最近几年的高考试题中,平面向量与解析几何的融合,提高了题目的综合性,形成了题目多变,解法灵活的特点,充分体现了高考中以能力立意的命题方向。二、本部分近几年来高考试题统计分析2020年文科山东江苏广东海南、宁夏椭圆22/14；15/5；19/14；双曲线3/5；13/5；抛物线9/5；19/14；11/5；7/5；理科山东江苏广东海南、宁夏椭圆21/12；15/5；18/14；19/12；双曲线3/5；13/5；抛物线13/4；19/14；11/5；6/5；2020年文科山东江苏广东海南、宁夏椭圆22/14；12/5；20/14；15/5；双曲线13/4；2/5；抛物线20/14；理科山东江苏广东海南、宁夏椭圆10/5；12/5；18/14；20/12；双曲线10/5；14/5；抛物线22/14；18/14；11/5；2020年理科山东海南江苏广东天津浙江辽宁福建安徽椭圆2214201213511521142115201219142013双曲线95459516535抛物线9513522101914952115134文科山东海南江苏广东天津浙江辽宁福建安徽椭圆2214201213519142214652212221812双曲线454565抛物线10514522102215根据2020年新课标的考试大纲，并结合近年高考试题，可以发现新课标高考对本部分的考查有这样一些特点：1. 每年都有一道客观题，一道解答题，分值在19分左右；2.考查的内容形式，客观题主要考查圆锥曲线的概念、标准方程、几何性质等基础知识，考题所在的位置一般在第9题之后；解答题中的圆锥曲线一般以压轴题的形式出现（特别是山东），仍以直线与圆锥曲线的位置关系问题为载体，常常与圆、函数、方程、不等式、数列、向量等知识相交汇，形成综合问题，这类问题常常是视角新，情境新。多涉及圆锥曲线中的轨迹问题、定值问题、最值问题、范围问题等，用来考查学生综合运用知识去分析问题和解决问题的能力，从考查的难度看，题目多以中高档题为主。3. 解析几何内综合，不管客观题还是解答题，每道题所考查的知识点都不是单一的，从近年圆锥曲线试题可以看出除了考查直线与圆锥曲线的位置关系，还涉及到直线与圆，曲线与曲线的位置关系，特别是2020年山东文科卷22题、2020年山东的理科卷22题都考查直线、圆、椭圆的基础知识及其应用，圆与椭圆的综合是近年高考试题的一大亮点，综合考查解析几何的内容。4根据考纲的要求，理科对椭圆、抛物线的概念、标准方程、几何性质的要求是掌握的内容，对双曲线是了解的内容；文科只对椭圆是掌握的内容，对双曲线、抛物线是了解的内容。因此，从高考试题统计表也可以看出这一点，椭圆是高考必考的内容，其次是抛物线，考的最少的是双曲线。三、本部分明年高考预测预测2020年高考对本模块的考查为：1.继续保持一道客观题，一道解答题题型格局。2.结合我省当前的形势，试题的难度有所降低，对圆锥曲线大题的考查将是一种相对稳定的趋势，客观题仍主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等基础知识.解答题继续以直线与椭圆的位置关系为载体考查圆锥曲线中的综合问题，但要注意两种圆锥曲线方程混合背景下的椭圆几何性质的求解问题。3.结合其他省市的高考试题命题特点，轨迹问题、最值（取值范围）问题、特别是圆的问题应引起足够的重视，对用向量语言描述的条件要多加注意（文科应重视圆的综合问题，理科应重视运用向量证明共线问题）。四、备考策略对圆锥曲线的复习，首先要做到“基础知识熟练化，基本问题准确化”，在此基础上掌握解题技能技巧，注重数学思想方法。（一） 要重点掌握圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等基础知识和基本应用1. 椭圆是要求掌握的内容，是高考的重点，是高考必考的内容。（1）要重视概念的复习及应用，只要涉及到椭圆上的点到焦点的问题（焦点三角形），要联想到定义，且注意正、余弦定理的使用。例1.（2020广东，11）巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 【解析】，则所求椭圆方程为.（人教A版选修2-1第48页练习题3（1）题：焦点在轴上，求椭圆方程）（2）椭圆的性质：椭圆中有“两线”（两条对称轴），“六个点”（两个焦点、四个顶点），“两形”（椭圆上的点与两个焦点构成焦点三角形，周长为；一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，有），注意他们之间的位置关系，重视离心率的有关计算，对焦点在轴上的椭圆，焦半径（，由）例2.（2020江苏13）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . 【解析】 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。直线的方程为：；直线的方程为：。二者联立解得：，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则在椭圆上，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解得：（3）掌握以下有关“最值”的结论：设是椭圆的点。 的最大值为，最小值为。 的最大值为，最小值为；的最大值为，最小值为。 设，是过焦点F的弦，则弦长，此时最长的弦为长轴，最短弦为通经。 焦点三角形的问题，椭圆上的点与两焦点构成的称为焦点三角形，设，则，当，即为短轴端点时，最大。对焦点三角形,若,，则这个三角形的面积。当且仅当点为椭圆短轴端点时面积最大（利用椭圆的定义、余弦定理）。例3.（2020上海，9）。已知、是椭圆（0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则= . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】依题意，由可得4c2364a2，即a2c29，故有b3.（若用上述结论可直接求出，2. 双曲线是了解的内容，一般以客观题的形式出现，重点复习双曲线的定义应用，求双曲线的标准方程，渐近线、离心率的计算等。（1）在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是整条双曲线，还是双曲线的一支（与椭圆类比）。例4.（2020辽宁，16）。以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 。【答案】9【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F(4,0),于是由双曲线性质|PF|PF|2a4，而|PA|PF|AF|5， 两式相加得|PF|PA|9,当且仅当A、P、F三点共线时等号成立.（2）双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（焦点三角形，其面积为；特征三角形），研究他们之间的相互联系。（在特征中，它几乎包含了双曲线的所有基本特征量：，所在的直线即为双曲线的渐近线）。渐近线是刻画双曲线的一个重要概念，画双曲线时，应先画出他的渐近线。把标准方程（中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程。由渐近线的斜率就可以求出双曲线的离心率。例5. （2020山东理9）. 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（A） （B） 5 （C） （D）【解析】双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以=,所以,故选D.3.抛物线理科是要求掌握的内容，文科是了解的内容。（1）重视抛物线定义的运用。定义的实质为“一动三定”：一个动点（设为M）；一个定点F（抛物线的焦点）；一条定直线（抛物线的准线）；一个定值（即为M到点F的距离与它到定直线的距离之比等于1）。解题时“看到焦点想准线，看到准线想焦点”，把抛物线上的点到焦点的问题转化为抛物线上的点到准线问题。（2）掌握抛物线中有关焦点弦的“定值”的结论设，为过抛物线的焦点的弦，则 ，为直线AB的倾斜角）； ； ； 以为直径的圆与抛物线的准线相切，以|为直径的圆与轴相切； 过顶点任意作，则过定点。例6.（2020福建13）.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则_ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，根据，得。例7.（2020全国卷 9.） 已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则A. B. C. D. 【解析一】设抛物线的准线为直线 恒过定点P .如图过分 别作于,于, 由,则,点B为AP的中点.连结,则, 点的横坐标为, 故点的坐标为, 故选D【解析二】设，得。根据焦半径公式，得。求得，将其代入中得，故选D。（二）要熟练掌握解决有关圆锥曲线问题的通性通法，打好坚实的基础。解析几何所研究的问题有两类：一是根据条件求圆锥曲线的方程；二是根据方程讨论曲线的几何性质。因此，在复习时要重点掌握好圆锥曲线中的一些基本问题。1.求圆锥曲线的标准方程：这是圆锥曲线中的基本问题，也是高考的热点问题，求圆锥曲线的标准方程常常使用定义法与待定系数法，可采用“先定形（焦点位置或对称轴的位置）、后定式（方程的形式）、再定量（方程中待定的系数或）。求解时，要根据圆锥曲线的几何性质进行分析，理清其关系，挖掘其联系。注意：求曲线的标准方程易忽视焦点的位置。2.求曲线的轨迹方程：文科虽不做要求，但课本中有这样问题，也是高考的热点，难度有所降低，因此必须认真对待。轨迹问题具有两个方面：一是求轨迹方程；二是由轨迹方程研究轨迹的性质。这两方面的问题在历年高考中均有出现，在复习时要掌握求轨迹方程的思路和方法，要学会如何将解析几何的位置关系转化为代数的数量关系进而转化为坐标关系。求轨迹方程常用的方法有定义法、直接法、代入法、参数法等。注意：轨迹与轨迹方程的区别；轨迹方程的纯粹性与完备性。例8. （2020海南（宁夏）理。20）（本小题满分12分） 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（）求椭圆C的方程；（）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解:()设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以椭圆的标准方程为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）设，其中。由已知及点在椭圆上可得。整理得，其中。（i）时。化简得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。（ii）时，方程变形为，其中当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆。（人教A版选修2-1第二章复习题A组第4题：当从到变化时，方程表示的曲线的形状怎么变化？）例9.（2020广东理。19）（本小题满分14分）已知曲线与直线交于两点和，且记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为设点是上的任一点，且点与点和点均不重合（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）若曲线与有公共点，试求的最小值解：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，中点的轨迹方程为（）.xAxBD（2）曲线，即圆：，其圆心坐标为，半径由图可知，当时，曲线与点有公共点；当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.3.求解圆锥曲线的性质：求解圆锥曲线的几何性质一定要先把方程化为标准形式，明确的值，要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形。当涉及到顶点、焦点、离心率、渐近线、准线等基本量时，要理清它们之间的关系，建立基本量之间的联系。特别是离心率的计算是高考必考的内容，若求离心率的值（或范围），一般是根据题目给出的椭圆、双曲线的几何特征，建立关于的方程或不等式来求得离心率的值或范围（求范围时，要挖掘题中的不等关系，例曲线上点的坐标的范围、等）。注意：在椭圆中；在双曲线中。例10.（2020重庆理15）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 【解析一】根据已知条件点不会是双曲线的顶点，否则无意义。因为在中，由正弦定理得,则由已知，得，即，且知点P在双曲线的右支上，由椭圆的几何性质知整理得解得，故椭圆的离心率【解析二】由焦半径公式得，例11.（2020浙江6）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点若，则椭圆的离心率是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A B C D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用【解析】对于椭圆，因为，则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故选D。4.直线与圆锥曲线的位置关系问题：对直线与圆锥曲线位置关系的考查主要有两种题型：一是判断已知直线与曲线的位置关系（或交点个数）；二是根据直线与圆锥曲线的某种位置关系，考查直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题。其解题通法就是将直线方程和圆锥曲线方程联立，消元，转化为一元二次方程，看二次项系数及判别式，应用根与系数的关系，结合坐标变换，得到等式或不等式，甚至是函数，通过判别式的辅助作用，将问题解决，不要害怕计算量大，考的就是心态。例12.（2020辽宁21）（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为（）写出C的方程；（）设直线与C交于A，B两点k为何值时？此时的值是多少？解：本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力（）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴，故曲线C的方程为4分（）设，其坐标满足 消去y并整理得，故6分，即而，于是所以时，故8分当时，而，所以12分5.有关最值（取值范围）的问题 在解析几何中求最值，主要有两种策略：（1）代数法，建立目标函数，转化为求函数的最值问题，根据目标函数的特点可分别采用配方法、判别式法及函数的单调性等方法求最值，求解过程中，要特别注意自变量的取值范围。（2）几何法，若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑用图形性质简捷求解。例13.（2020全国卷，21）（本小题满分12分） 如图，已知抛物线与圆相交于、四个点。 （I）求得取值范围； （II）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标解：（I）将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得（）抛物线与圆相交于、四个点的充要条件是：方程（）有两个不相等的正根即可.由此得，解得.（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方法处理本小题是一个较好的切入点 设四个交点的坐标分别为、。则由（I）根据韦达定理有，则 令，则 下面利用导数求的最大值。令。，得（舍去）。可判断当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为。6.有关定值（定点）的问题 要证明曲线过定点，首先要引入恰当的参变量，建立曲线的方程，按照参数进行集项，把方程化为一端为零的形式，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要等于零，这样就得到一个关于的方程组，这个方程组的解就是曲线系所过定点的横纵坐标。 证明定值主要是观察相关的几个几何量，用设定的或题中给出的参数表示出来，再将欲证得几何量之间的关系式化简为一个与参数无关的定值问题。例14.（2020辽宁，20）。（本小题满分12分）已知椭圆C过点A，两个焦点为（1，0），（1，0）。（1） 求椭圆C的方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。解：（）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去）所以椭圆方程为。 （）设直线AE方程为：，代入得 设,因为点在椭圆上，所以 ， 。 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以K代K，可得，所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为。7.向量与圆锥曲线的综合问题 主要题型有两类：（1）将向量作为工具解答圆锥曲线问题；（2）以解析几何为载体，向量作为条件融入题设条件中。向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，其解题策略就是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算，沟通点与点之间的坐标关系。例15.（2020北京理19）（本小题共14分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（可改为）。（）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.w.k.s.5.u.c.o.m 【解】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力（）由题意，得，解得，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，所求双曲线的方程为.（）点在圆上，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 圆在点处的切线方程为，化简得. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由及得，切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，且，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 设A、B两点的坐标分别为，则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，且， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m . 的大小为.w.k.s.5.u.c.o.m 例16.（2020海南宁夏20）（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的左、右焦点分别为F1、F2。F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且。（1）求C1的方程；（2）平面上的点N满足，直线lMN，且与C1交于A、B两点，若=0，求直线l的方程。解：（）由：知设，在上，因为，所以，得，在上，且椭圆的半焦距，于是消去并整理得，解得（不合题意，舍去）故椭圆的方程为（）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，因为，所以与的斜率相同，故的斜率设的方程为由消去并化简得设，因为，所以所以此时，故所求直线的方程为，或（三）要熟悉解决圆锥曲线问题的必要的技能技巧，以提高综合解题能力 在求解圆锥曲线问题中，学生运算能力的高低是求解圆锥曲线问题的关键，因此，减少圆锥曲线问题运算量是非常必要的。1.求方程时选用适当的形式；例焦点位置不确定的椭圆标准方程常设为），共渐近线的双曲线方程可设为等。2.在直线与圆锥曲线的位置关系中，应用韦达定理整体代入简化运算；3.数形结合简化运算；在解析几何中所涉及的曲线具有“数”与“形”的双重性，数形结合时解析几何的基本思想方法，借助直观图形能使直线与圆锥曲线的位置关系问题直观显现，获得迅速解答。4.灵活运用圆锥曲线的定义（回归定义）；5.设而不求，点差法简化运算（例弦的中点问题）。用解析法处理解析几何问题，设点的坐标最为常见，但求点的坐标并不多见。根据点在曲线上，坐标