材料力学课件13.超静定问题VIP

5.7超静定梁的解法超静定梁的解法 哈尔滨工业大学本科生课 第5章 变形计算、刚度条 件及超静定问题 第5章 变形计算、刚度条 件及超静定问题 5.6轴向拉压超静定问题轴向拉压超静定问题 哈尔滨工业大学本科生课 5.7 超静定梁的解法5.7 超静定梁的解法 5.7 超静定梁的解法5.7 超静定梁的解法 C C A B q 2 l 2 l C C A B 2 l 2 l C C AB q A R B R A R B R C R C R . 0 2 , 0 2 ql lRm BA 0,0.5, BA mRql 由平衡方程可以解出全部未知数由平衡方程可以解出全部未知数 静定问题静定问题 二个平衡方程，三个未知数二个平衡方程，三个未知数 独立平衡方程数 未知数独立平衡方程数 未知数 超静定问题超静定问题 .5 . 0 qlRB 独立平衡方程数 = 未知数。独立平衡方程数 = 未知数。 0 c y 去掉多余约束而成为去掉多余约束而成为形式上 的静定结构 形式上 的静定结构 基本静定基基本静定基。 5.7 超静定梁的解法5.7 超静定梁的解法 1、用多余约束反力代替多余约束（取1、用多余约束反力代替多余约束（取静定基静定基，原则：便于计算） 2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程 3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力 计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。 ，原则：便于计算） 2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程 3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力 计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。 C C L/2 C C A q L/2 B Rc 分析0 C ccqcR yyy 0 48384 5 34 EI lR EI ql C 5 8 C Rql= A B q 2 l 2 l C C B R AB q 解超静定梁解超静定梁变形比较法变形比较法步骤步骤 (静力、几何、物理条件)(静力、几何、物理条件) 0 B y 5.7 超静定梁的解法5.7 超静定梁的解法 解：1)研究对象，AB梁， 受力分析： 1)研究对象，AB梁， 受力分析： C C )物理条件物理条件 0 48384 5 34 EI lR EI ql C , 8 5 qLRC A B q 2 l 2 l C R AB q 例题1 已知梁的EI，梁的长度， 求各约束反力。 已知梁的EI，梁的长度， 求各约束反力。 )变形协调方程 )选用 )变形协调方程 )选用静定基，去支座静定基，去支座 A R B R C R 0, 0qlRRRY CBA 2 0,0 22 C AB R lql MR l qlRRR CBA , 0 CRCqC yyy EI lR y EI ql y C CRCq C 48 , 384 5 34 联立求解：联立求解： 16 3ql RR BA 5.7 超静定梁的解法5.7 超静定梁的解法 C C A B q 2 l 2 l 画出剪力图、弯矩图。画出剪力图、弯矩图。A R B R C R 256 9 2 ql 16 2 ql AB 256 9 2 ql 16 5ql 16 3ql 16 3ql 16 5ql , 8 5 qLRC 16 3ql RR BA 5.7 超静定梁的解法5.7 超静定梁的解法 一、超静定的求解步骤：一、超静定的求解步骤： 2、根据变形协调条件列出2、根据变形协调条件列出相容方程（变形几何方程）相容方程（变形几何方程） 3、根据变形与内力之间的3、根据变形与内力之间的物理关系物理关系写出补充方程。 4、联立静力方程与补充方程求出所有的未知力。 1、根据平衡条件列 写出补充方程。 4、联立静力方程与补充方程求出所有的未知力。 1、根据平衡条件列平衡方程平衡方程（确定超静定的次数） 5.7 超静定梁的解法5.7 超静定梁的解法 二二. 总结变形比较法解简单超静定梁的基本思想：总结变形比较法解简单超静定梁的基本思想： ( (1) 确定超静定次数。 (2) 选择基本静定梁。 静定梁静定梁(基本静定基基本静定基) 将超静定梁的多余约束解除，得到相应 的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以 及内力。 多余约束的数目 将超静定梁的多余约束解除，得到相应 的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以 及内力。 多余约束的数目=超静定次数 多余约束的数目 超静定次数 多余约束的数目=1 B q L 5.7 超静定梁的解法5.7 超静定梁的解法 静定梁(基本静定基)选取静定梁(基本静定基)选取 2)解除2)解除A端阻止转动的支座反力矩 作为多余约束,即选择两端简支的 梁作为基本静定梁。 端阻止转动的支座反力矩 作为多余约束,即选择两端简支的 梁作为基本静定梁。 A M 1)解除1)解除B支座的约束,以代替， 即选择 支座的约束,以代替， 即选择A端固定端固定B端自由的悬臂梁 作为基本静定梁。 端自由的悬臂梁 作为基本静定梁。 By F By F B q L A A B q L 5.7 超静定梁的解法5.7 超静定梁的解法 (2) 基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条 件。一般来说，求解变形时， 基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条 件。一般来说，求解变形时，悬臂梁最为简单，其次 是简支梁，最后为外伸梁。 基本静定基选取可遵循的原则：基本静定基选取可遵循的原则： (1) 基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统；基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统； 5.7 超静定梁的解法5.7 超静定梁的解法 A B q L By F B q L A B q L A M A 3、列出变形协调条件。 比较原静不定梁和静定基在解除约 束处的 原静不定梁和静定基在解除约 束处的变形 根据:基本静定梁的一切情况 要与原超静定梁完全相同的要求， 得到变形协调条件。 基本静定梁的一切情况 要与原超静定梁完全相同的要求， 得到变形协调条件。 0 B y 0 A 5.7 超静定梁的解法5.7 超静定梁的解法 本例： (1)本例： (1) 4、用积分法或叠加法求变形，并求出多余未知力。 仅有q作用，B点挠度为：仅有q作用，B点挠度为： 4 8 Bq ql y EI 仅有作用，B点挠度为：仅有作用，B点挠度为： By F 3 3 By BF F l y EI 因此因此 BqBFB yyy 4 8 ql EI 3 3 By F l EI 0 解得解得: )( 8 3 qlFBy By F B q l A 哈尔滨工业大学本科生课 作业作业 P127：5.27(b), 5.29 哈尔滨工业大学本科生课 5.6 轴向拉压超静定问题5.6 轴向拉压超静定问题 5.6 轴向拉压超静定问题5.6 轴向拉压超静定问题 、几何方程变形协调方程：几何方程变形协调方程： 、物理方程变形与受力关系物理方程变形与受力关系 解解：、平衡方程:平衡方程: 、联立方程(1)、(2)、(3)可得联立方程(1)、(2)、(3)可得: ) 1 (0sinsin0 21 NN FFX )2(0coscos0 321 FFFFY NNN cos 321 Lll 33 3 11 33 3 33 3 11 2 11 21 cos2 F ; cos2 cos AEAE FAE AEAE FAE FF NNN )3(cos 33 33 11 11 补充方程补充方程 AE LF AE LF NN A BDC 1 3 2 例题1: 图示杆系结构，图示杆系结构， 33221121 ,AEAEAEll ，求：各杆的内力。求：各杆的内力。 FN1 A FN2 2FN3 3 y x F F 3 A 1 A 1 l 2 A 2 l 3 l 5.6 轴向拉压超静定问题5.6 轴向拉压超静定问题 超静定结构的特征：内力按照刚度分配 cos 321 Lll 补充方程补充方程cos 33 33 11 11 AE LF AE LF NN 21 11 333 N N FE A cos FEA A BDC 1 3 2 F 3 A 1 A 1 l 2 A 2 l 3 l 5.6 轴向拉压超静定问题5.6 轴向拉压超静定问题 例题2 一铰接结构如图示,在水平刚性横梁的B端作用有载荷F,垂直杆1,2的抗 拉压刚度分别为E 一铰接结构如图示,在水平刚性横梁的B端作用有载荷F,垂直杆1,2的抗 拉压刚度分别为E1 1A A1 1,E,E2 2A A2 2,若横梁AB的自重不计,求两杆中的内力.,若横梁AB的自重不计,求两杆中的内力. a A B L1 1 2 C a F a A B C a F 1N F 2N F 1 L 2 L 0 A M 022 21 aFaFaF NN 21 2LL 22 2 11 1 2 AE LF AE LF NN 1122 1 41 2 AEAE F FN 2211 2 4 4 AEAE F FN 解解：、平衡方程:平衡方程: 、几何方程变形协调方程：几何方程变形协调方程： 、物理方程变形与受力关系物理方程变形与受力关系 5.6 轴向拉压超静定问题5.6 轴向拉压超静定问题 例题3 图示静不定梁，等截面梁AC的抗弯刚度EI，拉杆BD的抗拉 刚度EA，在F力作用下，试求BD杆的拉力和截面C的挠度 。 图示静不定梁，等截面梁AC的抗弯刚度EI，拉杆BD的抗拉 刚度EA，在F力作用下，试求BD杆的拉力和截面C的挠度 。 BBD yl F l/2l/2 A B C D l 1、选择基本静定梁。1、选择基本静定梁。 解：解： F l/2l/2 A B C N F 2、列出变形协调条件。2、列出变形协调条件。 N BBFBF yyy 而而 23 2 5 3 648 ()() BF l x FxFl ylx EIEI 3 2 3 () () N N BF l F y EI （1） 5.6 轴向拉压超静定问题5.6 轴向拉压超静定问题 解得： 代入（ 解得： 代入（1）：）： EA lF EI lF EI Fl NN 2448 5 33 )241 ( 1 2 5 2 Al I F F N 3、在基本静定梁上由叠加法求。3、在基本静定梁上由叠加法求。 C y 3 3 () CF Fl y EI 在在F力单独作用下： 在力单独作用下： 力单独作用下： 在力单独作用下： N F 23 22 251 3 696 1 24 ()()() N N CF l x F xFl ylx I EIEI Al F l/2l/2 A B C N F 5.6 轴向拉压超静定问题5.6 轴向拉压超静定问题 解得：解得： N CCFCF yyy )241 (32 25 1 3 2 3 Al I EI Fl 在本例中，在在本例中，在F力作用下，拉杆力作用下，拉杆BD伸长，因而伸长，因而B处下 移， 处下 移， B处下移的大小应该等于拉杆的伸长量，即处下移的大小应该等于拉杆的伸长量，即 N BBFBFBD yyyl F l/2l/2 A B C D l 5.6 轴向拉压超静定问题5.6 轴向拉压超静定问题 1）装配应力1）装配应力 1、超静定问题存在装配应力。 2、静定问题无装配应力 1、超静定问题存在装配应力。 2、静定问题无装配应力 由于构件制造尺寸产生的误差，在装配时产生变形而引起的应力。由于构件制造尺寸产生的误差，在装配时产生变形而引起的应力。 三、装配应力、温度应力三、装配应力、温度应力 AB l l RA F RB F 5.6 轴向拉压超静定问题5.6 轴向拉压超静定问题 1）装配应力预应力、初应力：1）装配应力预应力、初应力： 1、超静定问题存在装配应力。 2、静定问题无装配应力 1、超静定问题存在装配应力。 2、静定问题无装配应力 由于构件制造尺寸产生的制造误差由于构件制造尺寸产生的制造误差，在装配时产生变形引起的应力。在装配时产生变形引起的应力。 A BC 1 2 A BDC 1 3 2 A 三、温度应力、装配应力三、温度应力、装配应力 5.6 轴向拉压超静定问题5.6 轴向拉压超静定问题 例题1： 解：解：、平衡方程:平衡方程: RARB FF 、变形协调条件：变形协调条件： R l 、物理方程物理方程： AB l RA F RB F R l A B RB R Fl l EA l RB R F l l EA RARB EA FF l RA FE Al 5.6 轴向拉压超静定问题5.6 轴向拉压超静定问题 解：解：、平衡方程:平衡方程: 12 00 NN XFFsinsin=-= 312 00 NNN YFFFcoscos=-= 例题2 已知：各杆长为：、； A 已知：各杆长为：、； A1 1=A=A2 2=A、A=A、A3 3；E；E1 1=E=E2 2=E、E=E、E3 3。3杆的尺寸 误差为 ，求:各杆的装配内力。 。3杆的尺寸 误差为 ，求:各杆的装配内力。 lll 213 l 3N F 2N F 1N F A A 3 A A 2 A 2 l 1 A 1 l A BDC 1 3 2 A 3 l 、几何方程：几何方程： 13 cos)(ll 、物理方程物理方程： 1133 13 1133 NN FLFL ll E AE A ,= 5.6 轴向拉压超静定问题5.6 轴向拉压超静定问题 、联立平衡方程和补充方程，得: 、联立平衡方程和补充方程，得: 2 11 12 3 31133 12 NN E A FF lE AE A cos cos/ = + 3 11 3 3 31133 2 12 N E A F lE AE A cos cos/ = + 5.6 轴向拉压超静定问题5.6 轴向拉压超静定问题 2）温度应力2）温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。 温度引起的变形量 t LtL= 1、静定问题无温度应力。 2、超静定问题存在温度应力。 1、静定问题无温度应力。 2、超静定问题存在温度应力。 lt l t l RA F RB F 5.6 轴向拉压超静定问题5.6 轴向拉压超静定问题 例题1 已知杆的弹性模量E，求杆温度升高引起的应力。杆温 度膨胀系数为 已知杆的弹性模量E，求杆温度升高引起的应力。杆温 度膨胀系数为 t 解：解：、平衡方程:平衡方程: RARB FF 、变形协调条件：变形协调条件： Rt ll 、物理方程物理方程： AB l t l A RB R F l l EA RA F RB F R l A t ll t RARB FFEA t RA F E t A 5.6 轴向拉压超静定问题5.6 轴向拉压超静定问题 防止温度应力的措施防止温度应力的措施 5.6 轴向拉压超静定问题5.6 轴向拉压超静定问题 5.6 轴向拉压超静定问题5.6 轴向拉压超静定问题 B C 1 2 1、平衡方程:平衡方程: 03, 0 21 aFaFM NNc 2、几何方程几何方程： a a3 A A T l 解解：解除1杆约束，使其自由膨胀 解除1杆约束，使其自由膨胀； AB横梁最终位置在横梁最终位置在AB A B 2 l 2N F 1N F AB C C R 1 l a l a llT 3 21 EA LF lTLl N T 1 1 , , 2 2 EA lF l N 3、物理方程：、物理方程： , 10 9 1 TlEA N , 10 3 2 TlEA N , 5 6TlEA RC 例题2 已知两杆面积、长度、弹性模量相同，A、L、E，求： 当 已知两杆面积、长度、弹性模量相同，A、L、E，求： 当1杆温度升高时，两杆的内力及约束反力。杆温度膨胀系数杆温度升高时，两杆的内力及约束反力。杆温度膨胀系数T 5.6 轴向拉压超静定问题5.6 轴向拉压超静定问题 1 L 2 L 1.列静力平衡方程列静力平衡方程 0 A M 21 42FmFFm FFF 21 2 2.变形协调方程变形协调方程 1 22Lm tan 2 44Lm tan 12 2 LL 1 !1 11 1 TL AE LF L g 2 22 22 2 TL AE LF L t 2 22 22 TL AE LF t )(2 1 !1 11 TL AE LF g 例题3 图示结构中的三角形板可视为刚性板。1杆材料为钢，2杆材料为铜，两 杆的横截面面积分别为A钢=1000mm 图示结构中的三角形板可视为刚性板。1杆材料为钢，2杆材料为铜，两 杆的横截面面积分别为A钢=1000mm2 2，A铜=2000mm，A铜=2000mm2 2。当F=200kN，且温度升高 20时，试求1、2杆内的应力。钢杆的弹性模量为E 。当F=200kN，且温度升高 20时，试求1、2杆内的应力。钢杆的弹性模量为E钢 钢=210GPa，线膨胀系数 =210GPa，线膨胀系数l 钢 l 钢=12.510 =12.510-6 -6 -1 -1；铜杆的弹性模量为E ；铜杆的弹性模量为E铜 铜=100GPa，线膨胀系数 =100GPa，线膨胀系数l铜 l铜 =16.510=16.510-6 -6 -1 -1； ； m2 m2 1F A m4 m1 2 3.建立补充方程建立补充方程 1 F 2 F 5.6 轴向拉压超静定问题5.6 轴向拉压超静定问题 1 L 2 L FFF 21 2 2 22 22 TL AE LF t )(2 1 !1 11 TL AE LF g