2010年文科数学新课标全国卷

2010年高考新课标全国卷文科数学试题及答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合，则（A）（0，2） （B）0，2 （C）|0，2| （D）|0，1，2|（2）为平面向量，已知=（4，3），=（3，18），则夹角的余弦值等于 （A） （B） （C） （D）（3）已知复数，则=(A) （B） （C）1 （D）2（4）曲线在点（1,0）处的切线方程为 （A） （B） （C） （D）（5）中心在远点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为 （A） （B） （C） （D） （6）如图，质点在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为（，），角速度为1，那么点到轴距离关于时间的函数图像大致为学子 特级教师王新敞 (7) 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （A）3a2 （B）6a2 （C）12a2 （D） 24a2（8）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（A） （B）（C） （D）(9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x0），则= （A） （B）（C）（D）（10）若= -，a是第一象限的角，则=（A）- （B） （C） （D）（11）已知ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是（A）（-14，16） （B）（-14，20） （C）（-12，18） （D）（-12，20）（12）已知函数若a，b，c均不相等，且f(a)= f(b)= f(c)，则abc的取值范围是（A）（1，10） （B）(5，6) （C）(10，12) （D）(20，24)教师王新敞 二：本大题共4小题，每小题5分。（13）圆心在原点上与直线相切的圆的方程为_。（14）设函数为区间上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有，可以用随机模拟方法计算由曲线及直线，所围成部分的面积，先产生两组每组个，区间上的均匀随机数和，由此得到V个点。再数出其中满足的点数，那么由随机模拟方法可得S的近似值为_(15)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆柱(16)在中，D为BC边上一点，,.若,则BD=_三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）设等差数列满足，。（）求的通项公式；（）求的前项和及使得最大的序号的值。（18）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，,垂足为，是四棱锥的高。（）证明：平面 平面;（）若,60,求四棱锥的体积。学子 特级教师王新敞 （19）（本小题满分12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：您是否需要志愿者男女需要4030不需要160270（）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；（）能否有99的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（）根据（）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828学子 特级教师王新敞 wxckt126.co（20）（本小题满分12分）设,分别是椭圆E：+=1（0b1）的左、右焦点，过的直线与E相交于A、B两点，且，成等差数列。（）求（）若直线的斜率为1，求b的值。（21）本小题满分12分）设函数（）若a=，求的单调区间；（）若当0时0，求a的取值范围请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。（22）（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲 如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于 E点，证明：（）=。 （）=BE x CD。（23）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知直线：,：（）当a=时，求与的交点坐标：（）过坐标原点O做的垂线，垂足为A、P为OA的中点，当a变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。 （24）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 设函数= + 1。 （）画出函数y=的图像： （）若不等式ax的解集非空，求n的取值范围学子 特级教师王新敞 2010年高校招生考试文数（新课标） 试题及答案一：选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。 （1）D (2) C (3) D (4) A (5) D (6) C (7) B (8) D (9) B (10) A (11)B (12)C（1）已知集合，则（A）（0，2） （B）0，2 （C）0，2 （D）0，1，2解析：，选D命题意图：本题考查集合的运算及不等式解法（2）为平面向量，已知=（4，3），=（3，18），则夹角的余弦值等于 （A） （B） （C） （D）解析：，选C命题意图：本题考查向量数量积运算与夹角（3）已知复数，则=(A) （B） （C）1 （D）2解析：，选B命题意图：本题考查复数的代数运算及模的定义（4）曲线在点（1,0）处的切线方程为 （A） （B） （C） （D）解析：，选A命题意图：本题考查导数的几何意义（5）中心在远点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为 （A） （B） （C） （D）解析：由双曲线的几何性质可得，选D命题意图：本题考查双曲线的几何性质 （6）如图，质点在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为（，），角速度为1，那么点到轴距离关于时间的函数图像大致为解析：法一：排除法 取点,排除A、D，又当点P刚从t=0开始运动，d是关于t的减函数，所以排除B，选C 法二：构建关系式 x轴非负半轴到OP的角，由三角函数的定义可知 ，所以，选C命题意图：考察三角函数的定义及图像 (7) 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （A）3a2 （B）6a2 （C）12a2 （D） 24a2（8）解析：球心在长方体对角线交点处，球半径R为对角线长一半 长方体中，由对角线定理知对角线长为， 球表面积，选B命题意图：本题以球与多面体的接切为载体考查球的表面积公式（8）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（A） （B） （C） （D）解析：所以选D 命题意图：以算法为背景考察裂项相消求和(9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x0），则= （A） （B）（C） （D）解析：，选B另法：（特征分析法）偶函数的图像关于y轴对称，函数的图形必关于直线对称，由此可知不等式的解集应该关于2对称。符合这一条件的选项只有B，故选B.命题意图：利用函数性质解不等式（10）若= -，是第三象限的角，则=（A）- （B） （C） （D）解析：是第三象限的角， 则，选A命题意图：本题考查同角三角函数关系及和角正弦公式（11）已知ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是（A）（-14，16） （B）（-14，20） （C）（-12，18） （D）（-12，20）解析：当直线z=2x-5y过点B时，当直线z=2x-5y过点D（0，-4）时， 所以z=2x-5y的取值范围为（-14，20），选B点D的坐标亦可利用求得，进一步做出可行域命题意图：本题考查线性规划（12）已知函数f(x)= 若a，b，c均不相等，且f(a)= f(b)= f(c)，则abc的取值范围是（A）（1，10） （B）(5，6) （C）(10，12) （D）(20，24)解析： 互不相等，不妨设，显然所以选C命题意图：考察数形结合思想，利用图像处理函数与方程问题第卷二填空题：本大题共4小题，每小题五分，共20分。 （13）x2+y2=2 (14) (15) (16)2+（13）圆心在原点上与直线相切的圆的方程为-。解析：圆心到直线的距离圆的方程为x2+y2=2命题意图：本题考查圆的标准方程及直线与圆的位置关系（14）设函数为区间上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有，可以用随机模拟方法计算由曲线及直线，所围成部分的面积，先产生两组每组个，区间上的均匀随机数和，由此得到V个点。再数出其中满足的点数，那么由随机模拟方法可得S的近似值为_ (15)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_ _(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆柱解析：三棱柱倒置，底面正对时的正视图为三角形，其他容易判断命题意图：本题考查空间图形三视图(16)在中，D为BC边上一点，,.若,则BD=_解析：设BD=x，则CD=2x在在又，解得故命题意图：本题在解三角形中考查余弦定理-2010年全国课标卷数学解析（文科）题号123456789101112答案DCBADCBDBABC1 D解析：本题考查了集合的运算、绝对值不等式的解法。 ，2 C解析：本题考查了平面向量的坐标表示及坐标运算、向量的数量积公式求夹角的知识。，3 B解析：复数的共轭复数、复数的基本运算。， 4 A解析：本题考查了导数的运算、导数的几何意义求切线方程。 ，切线方程为5 D解析：本题考查了双曲线的渐近线，双曲线的离心率等基础知识。 焦点在轴上，双曲线的渐近线为，过点， 6 C解析：本题考查了三角函数图象及其应用。初始位置为，角速度，P到轴的距离为，其周期，当时，且时，故选C7 B解析：本题考查了球、长方体的几何性质球内接的长方体的体对角线即为球的直径，球的表面积为8 D解析：本题考查了算法的流程图、数列求和的基础知识列出关于S k的表格如下k12345S从表格可得当k=5时，故选D9 B解析：本题考查了函数的奇偶性、导数研究函数的单调性的基础知识。，在上是增函数，为偶函数，10 A解析：本题考查了同角三角函数关系、两角和正弦公式等基础知识。ABCDO ，为第三象限角，11B解析：本题考查了向量相等、直线的斜率、直线方程及线性规划的基础知识作出可行域如图，目标函数线如图中的虚线得最优解点为B，D，ABCD为平行四边形，的取值范围为1121012C解析：本题考查了对数函数图象、分段函数的基本知识作出函数图象如下，不相等，不妨设，所以与函数与三个交点即如图所示，的取值范围为，是与的两个交点的横坐标， ，的取值范围为13解析：本题考查了圆的标准方程、直线与圆相切关系、点到直线的距离公式等基础知识。 直线圆相切，圆方程为14，解析：本题考查了几何概型、定积分的基本概念及几何意义。设直线所围成的图形面积为，其构成点在边长1的正方形内任意取，其面积，由古典概型知，15 解析：本题考查了立体几何的三视图的基础知识，直观的想象可知几何体为三棱锥ABCD16解析本题考查了正弦定理、余弦定理的基础知识。在三角形ABD中由余弦定理，在三角形ACD中由余弦定理，又 ，解得三，解答题：接答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）解： （1）由am = a1 +（n-1）d及a1=5，aw=-9得 解得数列am的通项公式为an=11-2n。 .6分 (2)由(1) 知Sm=na1+d=10n-n2。 因为Sm=-(n-5)2+25. 所以n=5时，Sm取得最大值。 12分 (18)解： (1)因为PH是四棱锥P-ABCD的高。 所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平PHD内,且PHBD=H. 所以AC平面PBD. 故平面PAC平面PBD. .6分 (2)因为ABCD为等腰梯形，ABCD,ACBD,AB=. 所以HA=HB=. 因为APB=ADR=600 所以PA=PB=,HD=HC=1. 可得PH=. 等腰梯形ABCD的面积为S=AC x BD = 2+. .9分 所以四棱锥的体积为V=x（2+）x= .12分（19）解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为. 4分(2) 由于所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. 8分（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好. 12分（20）解： （1）由椭圆定义知 又 （2）L的方程式为y=x+c,其中 设,则A，B 两点坐标满足方程组 化简得则因为直线AB的斜率为1，所以 即 .则解得 . （21）解：（）时，。当时;当时，;当时，。故在，单调增加，在（-1，0）单调减少。（）。令，则。若，则当时，为减函数，而，从而当x0时0，即0.若，则当时，为减函数，而，从而当时0，即0. 综合得的取值范围为（22）解: （）因为,所以.又因为与圆相切于点，故所以. 5分（）因为,所以,故.即 . 10分（23）解：（I）当时，C1的普通方程为，C2的普通方程为.联立方程组解得C1与C2的交点为（1,0），（II）C1的普通方程为.A点坐标为，故当变化时，P点轨迹的参数方程为 （为参数）P点轨迹的普通方程为故P点是圆心为，半径为的圆（24）解：（）由于则函数的图像如图所示。 5分（）由函数与函数的图像可知，当且仅当时，函数与函数的图像有交点。故不等式的解集非空时，a的取值范围为。10分文科数学点评参考答案从今年的试卷和考生反映来看，2010年新课标全国高考数学试卷(吉林、黑龙江、宁夏卷)与2009年全国高考数学试卷(宁夏、海南卷)结构相同。选择题比去年全国二卷容易，填空题基本同去年全国二卷持平，解答题中的立体几何、解析几何比去年略难。选答题的三个题中参数方程的题比平面几何和不等式的题略难。2010年新课标全国高考数学试卷(吉林、黑龙江、宁夏卷)有以下特点：第一，立足教材，紧扣考纲试卷中所有考题无一超纲。选择题、填空题中半数源于课本，解答题中的17题、19题也都