19872014年考研数学试题答案及评分参考1988

郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 1 页 1988 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数数 学（试卷一）学（试卷一） 一一(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 5 分分) (1) 求幂级数 1 (3) 3 n n n x n 的收敛域. 解：解：因 1 1 (3) 1(1) 3 limlim33 , (3)3(1)3 3 n n n nn n x nn xx xn n 故 1 31 06 3 xx即时， 幂级数收敛. 3 分 当0 x 时，原级数成为交错级数 1 1 ( 1)n n n ，是收敛的. 4 分 当6x 时，原级数成为调和级数 1 1 n n ，是发散的. 5 分 所以，所求的收敛域为0,6. (2) 已知 f(x)= e 2 x ,f( )x=1-x,且 (x)0.求 (x)并写出它的定义域. 解：解：由 2 ( ) 1 x ex ，得 ( )ln(1)xx. 3 分 由ln(1)0 x，得11x即0 x . 5 分 所以( )ln(1)xx，其定义域为(,0). (3)设 S 为曲面1 222 zyx的外侧， 计算曲面积分 s dxdyzdxdxydydzxI 333 . 解：解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有 222 3()Ixyz dv （其中是由S所围成的区域） 2 分 21 22 000 3dsindrrdr 4 分 12 5 . 5 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 2 页 二、填空题：二、填空题：(本题满分本题满分 12 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 若 f(t)= x limt tx x 2 ) 1 1 ( ，则( )f t 2 (21) t te (2) 设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在区间1 , 1上的定 f(x)= 01, 2 10 , 3 x xx ,则 f(x)的付立叶级 数在 x=1 处收敛于 2 3 . (3) 设 f(x)是连续函数，且 1 0 3 ,)( x xdttf则 f(7)= 1 12 . (4) 设 4*4 矩阵 A=),( 4, 3, 2 ，B=),( 4, 3, 2 ，其中， 4, 32, ,均为 4 维列向量， 且已知行列式 , 1, 4BA则行列式BA=.40. 三、选择题三、选择题 ( 本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 若函数 y=f(x)有 2 1 )( 0 x f，则当0x时，该函 x= 0 x处的微分 dy 是 (B) (A) 与x等价的无穷小 (B) 与x同阶的无穷小 (C) 比x低阶的无穷小 (D) 比x高阶的无穷小 (2) 设( )yf x是方程042 yyy的一个解，若( )0f x ，且0)( 0 x f，则函数 ( )f x在点 0 x (A) (A) 取得极大值 (B) 取得极小值 (C) 某个邻域内单调增加 (D) 某个邻域内单调减少 (3) 设有空间区域 2222 1: Rzyx,; 0z及 2222 2: Rzyx, 0, 0, 0zyx则 (C) (A) 12 4xdvxdv (B) 12 4ydvydv (C) 12 4zdvzdv (D) 12 4xyzdvxyzdv (4) 若 n n n xa) 1( 1 在 x=-1 处收敛， 则此级数在 x=2 处 (B) (A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不能确定 (5) n 维向量组 12 ,(3) s sn 线性无关的充分必要条件是 (D) (A) 有一组不全为 0 的数 12 , s k kk使 1122 0 ss kkk. (B) 12 , s 中任意两个向量都线性无关. (C) 12 , s 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出. (D) 12 , s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出. 四四(本题满分本题满分 6 分分) 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 3 页 设)()( x y xg y x yfu，其中 f,g 具有二阶连续导数，求 22 2 uu xy xx y . 解：解：. uxyyy fgg xyxxx 2 分 22 23 1 . uxyy fg xyyxx 3 分 2 22 . uxxyy fg x yyyxx 5 分 所以 22 2 0 uu xy xx y . 6 分 五、五、(本题满分本题满分 8 分分) 设函数 y=y(x)满足微分方程,223 x eyyy 且图形在点(0，1)处的切线与曲线 1 2 xxy在该点的切线重合，求函数).(xyy 解：解：对应齐次方程的通解为 2 12 xx YCeC e. 2 分 设原方程的特解为 * , x yAxe 3 分 得2A . 4 分 故原方程通解为 22 12 ( )2 xxx y xCeC exe. 5 分 又已知有公共切线得 00 |1,|1 xx yy ， 7 分 即 12 12 1, 21 cc cc 解得 12 1,0cc. 8 分 所以 2 (1 2 ). x yx e 六、六、(本题满分本题满分 9 分分) 设位于点(0，1)的质点 A 对质点 M 的引力大小为 2 r k (k0 为常数，r 为质点 A 与 M 之 间的距离)， 质点 M 沿曲线 2 2xxy自 B(2,0)运动到 O(0， 0).求在此运动过程中质点 A 对质 M 点的引力所做的功. 解：解：0,1MAxy 2 分 22 (1) .rxy 因引力f 的方向与MA 一致， 故 3 ,1 k fxy r . 4 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 4 页 从而 3 (1) BO k Wxdxy dy r 6 分 1 (1) 5 k. 9 分 七、七、(本题满分本题满分 6 分分) 已知PBAP ,其中 112 012 001 , 100 000 001 PB求 A 及 5 A. 解：解：先求出 1 100 210 411 P . 2 分 因PBAP ，故 1 100100100 210000210 211001411 APBP 100100100 200210200 201411611 . 4 分 从而 5 5 5111511 AAAAAAPBPPBPPBPPB PPBPA 个 个 （）() ()=. 6 分 八、八、(本题满分本题满分 8 分分) 已知矩阵 x A 10 100 002 与 100 00 002 yB相似， (1) 求 x 与 y； (2) 求一个满足BAPP 1 的可逆矩阵P. 解：解：(1) 因A与B相似，故| |EAEB，即 1 分 200200 0100 01001 y x ， 亦即 22 (2)(1)(2)(1)xyy. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 5 页 比较两边的系数得0,1xy.此时 200 001 010 A ， 200 010 001 B . 3 分 (2) 从B可以看出A的特征值2,1, 1. 4 分 对2，可求得A的特征向量为 1 1 0 0 p . 对1，可求得A的特征向量为 2 0 1 1 p . 对1 ，可求得A的特征向量为 3 0 1 1 p . 7 分 因上述 123 ,ppp是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关. 令 123 100 (,)011 011 p pp P，则P可逆，且有BAPP 1 . 8 分 九、九、(本题满分本题满分 9 分分) 设函数)(xf在区间ba,上连续， 且在),(ba内有0)( x f.证明： 在),(ba内存在唯一 的， 使曲线)(xfy 与两直线axy),(所围平面图形面积 1 s是曲线)(xfy 与两直 线axy),(所围平面图形面积 2 s的 3 倍. 证：证：存在性存在性 在 , a b上任取一点t，令 b t t a dxtfxfdxxftftF)()(3)()()( ( )()( )3( )( )() tb at f t taf t dxf x dxf t b t 3 分 则( )F t在 , a b上连续. 又因0)( x f,故( )f x在 , a b上是单调增加的. 于是在( , )a b内取定点c，有 ( )3 ( )( )3 ( )( )3 ( )( ) bcb aac F af xf a dxf xf a dxf xf a dx 11 3 ( )( )3( )( ) ()0, b c f xf a dxff abccb . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 6 页 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) bcb aac F bf bf x dxf bf x dxf bf x dx ( )( ) c a f bf x dx 22 ( )() ()0,f bfcaac. 5 分 所以由介值定理知，在( , )a b内存在 ,使0)(F，即.3 21 SS 6 分 唯一性唯一性 因( )( )()3()0F tf ttabt， 8 分 故)(tF在( , )a b内是单调增加的.因此，在( , )a b内只有一个 , 使.3 21 SS 9 分 十、填空题十、填空题(共共 6 分，每个分，每个 2 分分) (1) 设三次独立实验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率等于 27 19 ，则 事件A在一次试验中出现的概率为 1 3 . (2) 在区间) 1 , 0(中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 5 6 ”的概率为 17 25 . (3) 设随机变量X服从均值为 10，均方差为 0.02 的正态分布.已知)(x=due u x 2 2 2 1 ， 9938. 0)5 . 2(，则X落在区间(9.95，10.05)内的概率为0.9876. 十一、十一、(本题满分本题满分 6 分分) 设随机变量X的概率密度函数为 )1 ( 1 )( 2 x xfx ，求随机变量 3 1XY的概率密 度函数)(yfY. 解：解：因Y的分布函数 ( )() Y FyP Yy 1 分 333 11(1) PXyPXyP Xy 2 分 33 3 (1)(1) 2 11 arctanar ( ctan(1 1) ) 2 yy dx xy x . 4 分 故Y的概率密度函数为)(yfY 3 6 3(1) ( ) 1 (1) Y dy Fy dyy . 6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 7 页 数数 学（试卷二）学（试卷二） 一一(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 5 分分) (1) 【 同数学一 第一、(1) 题 】 (2) 【 同数学一 第一、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第一、(3) 题 】 二、填空题：二、填空题：(本题满分本题满分 12 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 【 同数学一 第二、(1) 题 】 (2) 【 同数学一 第二、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第二、(3) 题 】 (4) 【 同数学一 第二、(4) 题 】 三、选择题三、选择题(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 【 同数学一 第三、(1) 题 】 (2) 【 同数学一 第三、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第三、(3) 题 】 (4) 【 同数学一 第三、(4) 题 】 (5) 【 同数学一 第三、(5) 题 】 四四(本题满分本题满分 18 分，每小题分，每小题 6 分分) (1) 【 同数学一 第四题 】 (2) 计算dy y x dxdy y x dx x x x 4 2 22 1 2 sin 2 sin . 解：解：dy y x dxdy y x dx x x x 4 2 22 1 2 sin 2 sin 2 2 1 sin 2 y y x dydx y 3 分 2 1 2 coscos 22 y y dy . 4 分 33 2 84 cos()(2) 2 y ttdtt 令. 6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 8 页 (3) 求椭球面2132 222 zyx上某点 M 处的切平面的方程， 使平面过已知直线 2 12 1 3 2 6 : zyx l. 解：解：令 222 ( , , )2321,F x y zxyz则2 ,4 ,6 . xyz Fx Fy Fz 椭球面在点 000 (,)M x y z处的切平面的方程为 000000 2 ()4()6 ()0 x xxy yyz zz,即 000 2321x xy yz z. 2 分 因为平面过直线 L，故 L 上的任两点，比如点 17 (6,3, )(0,0, ) 22 A、B应满足的方程， 代入有 000 3 6621 2 xyz (1) 0 2z (2) 又因 222 000 2321,xyz (3) 于是有 000000 3,0,21,2,2xyzxyz及. 4 分 故所求切平面的方程为274 +621xzxyz和. 6 分 五、五、 （本（本题满分题满分 8 分）分） 【 同数学一 第五题 】 六、六、 （本题满分（本题满分 9 分）分） 【 同数学一 第六题 】 七、七、 （本题满分（本题满分 6 分）分） 【 同数学一 第七题 】 八、八、 （本题满分（本题满分 8 分）分） 【 同数学一 第八题 】 九、九、 （本题满分（本题满分 9 分）分） 【 同数学一 第九题 】 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 9 页 数数 学（试卷三）学（试卷三） 一、填空题一、填空题 (本题满分本题满分 20 分，每小题分，每小题 4 分分) (1) 若 0,2 0),cos(sin )( 2 xx xxxe xf 是),(上的连续函数，则1. (2) 【 同数学一 第二、 （1）题 】 (3) 【 同数学一 第二、 （3）题 】 (4) 0 1 lim()tgx x x 1. (5) 4 0 x e dx 2 2(1)e 二、选择题二、选择题 (本题满分本题满分 20 分，每小题分，每小题 4 分分) (1) 16 2 1 3 1 )( 23 xxxxf的图形在点 （0， 1） 处切线与x轴交点的坐标是 (A) (A) 1 (,0) 6 (B) ( 1,0) (C) 1 (,0) 6 (D) (1,0) (2) 若)(xf与)(xg在),(上皆可导，且)(xf)(xg，则必有 (C) (A) ()()fxgx (B) ( )( )fxg x (C) 00 lim( )lim ( ) xxxx f xg x (D) 00 ( )( ) Xx f t dtg t dt (3) 【 同数学一 第二（1）题 】 (4) 曲线)0(sin2 3 xxy与x轴围成的图形绕x轴旋转所形成的旋转 (B) (A) 4 3 (B) 4 3 (C) 2 2 3 (D) 2 3 【B 】 (5) 【 同数学一 第三（5）题 】 三、三、(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 5 分分) (1) 【 同数学一第一、 （2）题 】 (2) 已知 xy xey1，求0 x y及0 x y. 解：解： 显然0 x 时，1y . 1 分 2 ()(1) xyxyxy yxexyyeex yxy. 2 分 因此 0 0 1 x ye ； 3 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 10 页 而 22 (2)(1)(1) xyxy yex yxyxyyex yxyxy， 4 分 即得 00 0 |2 x yee . 5 分 (3) 求微分方程 ) 1( 11 2 xx y x y的通解（一般解）. 解：解： 11 2 1 (1) dxdx xx yeedxC x x 3 分 2 11 1 dxC xx 4 分 1 arctanxC x ，其中 C 是任意常数. 5 分 四、四、(本题满分本题满分 12 分分) 作函数 42 6 2 xx y的图形，并填写下表 单调增加区间 单调减少区间 极值点 极 值 凹)( 区间 凸)( 区间 拐 点 渐近线 解：解： 单调增加区间 (,1) （1 分） 单调减少区间 (1,) （2 分） 极值点 1 （3 分） 极值 2 （4 分） 凹区间 (,0)(2,)及 （6 分） 凸区间 (0,2) （7 分） 拐点 33 (0, )(2, ) 22 及 （9 分） 渐进线 0y （10 分） 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 11 页 其图形为： 五、五、(本题满分本题满分 8 分分) 将长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形.问这两段铁丝各长为多 少时，正方形与圆形的面积之和为最小？ 解：解： 设圆形的周长为x，则正方形的周长为ax，而两面积之和为 22 2 2 4 4216816 axxaa Axx ， 3 分 4 0 88 a Ax （令） ，得 4 a x . 5 分 4 0 8 A . 7 分 故当圆的周长为 4 a x 时，正方形的周长为 4 4 a ax 时，A 之值最小. 8 分 六、六、(本题满分本题满分 10 分分)【 同数学一 第五题（分值不同） 】 七、七、(本题满分本题满分 7 分分) 设1x，求 dtt x )1 ( 1 . 解：解：当10 x 时， 11 (1 | |)(1) xx t dtt dt 1 分 2 1 1 (1) 2 x t 2 分 2 1 (1) 2 x. 3 分 当0 x 时， 0 110 (1 | |)(1)(1) xx t dtt dtt dt 5 分 2 1 1(1) 2 x . 7 分 八、八、(本题满分本题满分 8 分分) 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 12 页 设)(xf在),(上有连续导数，且Mxfm)(. (1) 求dtatfatf a a aa )()( 4 1 lim 2 0 ； (2) 证mMxfdttf a a a )()( 2 1 )0( a. 解：解：(1) 由积分中值定理和微分中值定理有 2 0 1 lim ()() 4 a a a f taf ta dt a 0 1 lim ()() 2 a fafa a ()aa 2 分 * * 00 lim()lim()( 22 ) a ffaaaa =(0) f . 4 分 (2) 证：证：由( )f x的有界性及积分估值定理有 5 分 1 ( ) 2 a a mf t dtM a , 6 分 又 ( )Mf xm ， 7 分 故有 1 ()( )( ) 2 a a Mmf t dtf xMm a ， 即 1 ( )( ) 2 a a f t dtf xMm a . 8 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 13 页 数数 学（试卷四）学（试卷四） 一、填空题（本题满分一、填空题（本题满分 12 分，每空分，每空 1 分）分） (一一) 已知函数 xdtexf xt ,)( 0 2 12 . （1）)(xf 2 2 1t e . （2）)(xf的单调性： 单调增加 . （3）)(xf的奇偶性： 奇函数 . （4）)(xf图形的拐点： （0，0） （5）)(xf图形的凹凸性：0 x 时上凹（下凸）,0 x 时下凹（上凸）. （6）)(xf图形的水平渐近线近线： , 22 yy (二二) 1110 1101 1011 0111 3. (三三) 1 0001 0010 0100 1000 0001 0010 0100 1000 . (四) 假设( )0.4()0.7P AP AB，那么 （1）若 A 与 B 互不相容，则 P（B）=0.3. （2）若 A 与 B 相互独立，则 P（B）=0.5. 二、 （本题满分二、 （本题满分 10 分） （每小题，回答正确得分） （每小题，回答正确得 2 分，回答错误得分，回答错误得-1 分，不回答得分，不回答得 0 分；分； 全题最低得全题最低得 0 分）分） （1）若极限)(lim 0 xf xx 与)(lim 0 xf xx )(xg都存在，则极限)(lim 0 xg xx 必存在. （） （2）若 0 x是函数)(xf的极值点，则必有0)( 0 x f. （） （3）等式 aa dxxafdxxf 00 ,)()(对任何实数a都成立. （） （4）若 A 和 B 都是n阶非零方阵，且 AB=0，则 A 的秩必小于n. （） 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 14 页 （5）若事件 A，B，C 满足等式,ACBC 则 A=B. （） 三、 （本题满分三、 （本题满分 16 分，每小题分，每小题 4 分分.） (1) 求极限 1 1 lim ln x x x xx 解一：解一： 此极限为 0 0 型未定式，由罗必塔法则，则 11 (ln1) =limlim1 ln1 x x xx xx x x 原式. 4 分 解二：解二： 令lntxx，则 xt xe.由于当1x 时，0t ，可见 00 1 =limlim1 t t tt e e t 原式. 4 分 (2) 已知xyeu，求 yx u 2 . 解：解：由于 11 uu uyux xeye ， 2 分 可见 2 2 1 (1) uu u u eye uuy x yyxe 3 分 3 1 1(1) u uu xye ee . 4 分 (3) 求定积分 )1 ( 3 0 xx dx . 解一：解一： 由于2 () dx dx x ，可见 原式 3 0 2 = 1 dx x 2 分 2 3 . 4 分 解二：解二： 令 2, 2xtxt dxtdt，；当0 x 时，0t ；当3x 时，3t ； 1 分 于是， 3 2 0 2 = 1 dt t 原式 2 分 3 0 2arctanx 3 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 15 页 2 3 . 4 分 (4) 求二重积分 66 0 cos y x dydx x . 解：解： 在原式中交换积分次序，得 原式 6 00 cos x x dxdy x 2 分 6 0 =cosxdx 6 0 1 =sin 2 x 4 分 . 四、四、 （本题满分分，每小题分本题满分分，每小题分） (1) 讨论级数 1 1 )!1( n n n n 的敛散性 解：解：由 11 1 21 1 (2)!(2)21 1 (1)(1)11(1)! (1) nn n nn n n unnnnn unnnnn n ，有 1 1 limlim 211 1 1 (1 1 ) n n n n n n e u un n ， 2 分 故由级数收敛的比值判别法，知 1 1 )!1( n n n n 收敛. 3 分 (2) 已知级数 1 2 n a和 2 i i n b 都收敛，试证明级数 1n nnb a绝对收敛. 证：证： 由于级数 1 2 n a和 2 i i n b 都收敛，所以 22 1 1 () 2 ii n ab 收敛. 2 分 而 22 1 () 2 n nnn a bab， 故由比较判别法，知级数 1 | nn n a b 收敛，即 1n nnb a绝对收敛. 3 分 五、五、 （本题满分本题满分 8 分分） 已知某商品的需求量和供给量都是价的函数： 2 ( ) a DD p p ，( )SS pbp， 其中a0和b0是常数： 价格p是时间t的函数且满足方程(),()(pspdk dt dp k是常数） ， 假设当 t=0 时价格为 1.试求： （1）需求量等于供给量时的均衡价格 e P； （2）价格函数)(tp； （3）极限)(limtp t . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 16 页 解：解：(1) 当需求量等于供给量时，有 2 a bp p ，即 3 a p b . 故 1 3 ( ) e a p b . 1 分 (2) 由条件知 3 22 ( )( ) dpaba k D pS pkbpkp dtppb . 因此有 33 2 e dpb kpp dtp ，即 2 33 e p dp kbdt pp . 3 分 在该式两边同时积分得 333kbt e ppce. 5 分 故由条件(0)1P，可得 3 1 e cp .于是价格函数为 1 333 3 ( )(1) kbt ee p tpp e. 6 分 (3) 1 333 3 lim ( )lim(1) kbt eee tt p tpp ep 8 分 六、六、 （本题满分本题满分 8 分分） 在曲线 2( 0)yx x上某点 A 处作一切线，使之与曲线以及x轴所围图形的面积为 1 12 ，试求： (1) 切点 A 的坐标； (2) 过切点 A 的切线方程； (3) 由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积. 解：解：设切点 A 的坐标为 2 ( ,)a a， 则过点 A 的切线方程的斜率为 |2 x a ya ，切线方程为 2 2 ()yaa xa，即 2 2yaxa. 2 分 可见，切线与x轴的交点为 2 (,0) 2 a . 故曲线、x轴以上及切线这三者所围图形的面积为 3333 2 0 43412 a aaaa Sx dx . 4 分 而由题设知 1 12 S ，因此1a . 5 分 于是，切点 A 的坐标为(1,1)，过切点(1,1)的切线方程为21yx. 6 分 旋转体的体积为 11 2 22 1 0 2 ()(21) 30 Vxdxxdx . 8 分 七、七、 （本题满分本题满分 8 分分） 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 17 页 已给线性方程组 1234 1234 1234 1234 231 231 231 231 xxxx xxxx xxxx xxxx ，问 1 k和 2 k各取何值时，方程组无解？有唯一 解？有无穷解？在方程组有无穷解的情景下，试求出一般解. 解：解： 以A表示方程组的系数矩阵，以(|)A B表示增广矩阵， 因 1 2 11123 31361 (|) 33115 1510 12 k k A B 1 2 11123 10121 40022 50003 k k 2 分 故当 1 2k 时，( )(|)4RRAA B，方程组有唯一解； 3 分 当 1 2k 时，有 22 1111231123 1101210121 (|) 4200020001 5100030000kk A B 4 分 这时，若 2 1k ，则( )3(|)4RRAA B，故方程组无解； 若 2 1k ，则( )(|)34RRAA B，故方程组有无穷多组解，此时有 6 分 1123 11004 010008 01211012110120 3 (|) 0001 20001 20001 2 0000 00000 00000 0 A B 7 分 相应的方程组为 1 23 4 8; 32 2. x xx x ，取 3 xc（c为任意常数） ，得方程组的一般解： 1234 8,3 2 ,2xxc xc x . 8 分 综上所述：当 1 2k 时，方程组有唯一解；当 1 2k 而 2 1k 时，方程组无解； 当 1 2k 且 2 1k 时，方程组有无穷多组解，其一般解为 1234 8,3 2 ,2xxc xc x ，其中c为任意常数. 八、八、 （本题满分本题满分 7 分分） 已知向量组 1,2, , s a aa（S2） 线性无关， 设 11222311 , ssss aaaaaaa ， 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 18 页 讨论向量组 12 , s 的线性相关性. 解：解：假设 12 , s k kk是一数组，满足条件 1122 0 ss kkk 1 分 那么，有 111221 ()()()0 ssss kkkkkk . 由于, 2, 1s aaa 线性无关，故有 1 12 23 1 0 0 0 0 s ss kk kk kk kk （*） 3 分 此方程组的系数行列式为s阶行列式： 1 10001 11000 2, 1 ( 1)01100 0, 00011 s D 若s为奇数 若s为偶数 5 分 若s为奇数，则20D ，故方程组（*）只有零解，即 12 , s k kk必全为 0. 这时，向量组 12 , s 线性无关. 若s为偶数，则0D ，故方程组（*）有非零解，即存在不全为 0 的数组 12 , s k kk ， 使 1122 0 ss kkk.这时，向量组 12 , s 线性相关, 7 分 九、九、 （本题满分本题满分 6 分分） 设 A 是三阶方阵， A是 A 的伴随矩阵， A 的行列式 . 2 1 A求行列式 AA2)3 ( 1 的值. 解：解： 因 11 1 (3 ) 3 AA， 2 分 故 *11 1 | 2 AA AA， 3 分 所以 3 11111 122 (3 )2| 333 AA AAAA 5 分 16 27 . 6 分 十、十、 （本题满分本题满分 7 分分） 玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假设各箱含 0，1，2 只残次品的概率是8 . 0，0.1 和 0.1， 一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机观察 4 只，若无 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 19 页 残次品，则购买下该玻璃杯，否则退回.试求： (1) 顾客买下该箱的概率； (2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率. 解：解：设 i B箱中恰有 i 件残品次品 （0,1,2i ） ，A顾客买下所察看的一箱. 1 分 由题意知 012 ()0.8, ()0.1, ()0.1P BP BP B； 4 19 01 4 20 4 (|)1, (|) 5 C P A BP A B C ； 4 18 2 4 20 12 (|) 19 C P A B C . 3 分 (1) 由全概率公式 2 0 0.41.2 ( )() (|)0.80.94 519 ii i P AP B P A B ； 5 分 (2) 由贝叶斯公式 00 0 () (|)0.8 (|)0.85 ( )0.94 P B P A B P BA P A . 7 分 十一、十一、 （本题满分本题满分 6 分分） 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20%，以 X 表示在随意抽 查的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数. (1) 写出 X 的概率分布； (2) 利用棣莫佛拉普拉斯定理， 求出索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值. 解：解：(1) X服从二项分布，参数100,0.2np，其概率分布为 100 100 0.2 0.8(0,1,100) kkk P XkCk . 2 分 (2) 由( , )XB n p知，20,(1)16EXnpDXnpp, 4 分 故根据棣莫佛拉普拉斯定理，有 1420203020 1430 161616 X PXP 20 1.52.5 4 X P 5 分 (2.5)( 1.5)(2.5)1(1.5) 0.9941 0.9330.927. 6 分 十二、十二、 （本题满分本题满分 6 分分） 假设随机变量 X 在区间（1，2）上服从均匀分布.试求随机变量 x eY 2 的概率密度 f(y). 解：解：由条件知，X的密度函数为 1,12 ( ) 0, x p x 若 其他 1 分 记( )F yP Yy为Y的分布函数，则有 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 20 页 2 1ln 24 2 1 4 0,2 ( ),3 1,4 y ye F ydxeye ye 若 分 若 分 若 分 因此 2 24 4 0, 1 ( )( ), 2 0, ye f yF yeye y ye 若 若 若 于是（当 24 ,ye e时，补充定义( )0f y ） ，得 24 4 1 , 2( ) 0 eye yf y ye 若 若 . 6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 21 页 数数 学（试卷五）学（试卷五） 一、一、 【 同数学四 第一题 】 二、二、 【 同数学四 第二题 】 三、 （本题满分三、 （本题满分 16 分，每小题分，每小题 4 分分.） (1) 求极限xtgx