大学物理课件8气体动理论

第第 8 章章 气体动理论气体动理论 2018-4-171 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 第二篇第二篇 热学热学 1什么是热学什么是热学 宏观物体是由大量的微观粒子宏观物体是由大量的微观粒子分子、原子等组成的分子、原子等组成的 微观粒子的无规则的运动，称为微观粒子的无规则的运动，称为热运动热运动 热学是研究热运动的规律及其对物质宏观性质的影响，以热学是研究热运动的规律及其对物质宏观性质的影响，以 及与其他运动形态之间的转化的物理学分支及与其他运动形态之间的转化的物理学分支 2热学的分类热学的分类 按照研究方法的不同，热学分为按照研究方法的不同，热学分为 热力学热力学 宏观理论宏观理论 统计物理学统计物理学微观理论微观理论 2018-4-172 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 本章以气体为研究对象，从气体分子热运动的观点出发，运用本章以气体为研究对象，从气体分子热运动的观点出发，运用 统计方法来研究大量气体分子的热运动规律并对理想气体的热统计方法来研究大量气体分子的热运动规律并对理想气体的热 学性质给予微观说明学性质给予微观说明气体动理论气体动理论。 目的：了解一些气体性质的微观解释，学习一些统计物理的基目的：了解一些气体性质的微观解释，学习一些统计物理的基 本概念和方法。本概念和方法。 2018-4-173 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 描述系统整体特征和属性的物理量描述系统整体特征和属性的物理量 。 例如：气体质量、体积、压强、温度等。例如：气体质量、体积、压强、温度等。 气体平衡态可用压强气体平衡态可用压强 P 、体积、体积 V、温度、温度 T 描述，描述， P、V、T 称为气体的状态参量称为气体的状态参量 。 微观量：微观量： 描述单个微观粒子运动状态的物理量。描述单个微观粒子运动状态的物理量。 例如：分子质量、位置、速度、动量、能量等。例如：分子质量、位置、速度、动量、能量等。 宏观量：宏观量： 附、宏观量与微观量附、宏观量与微观量 2018-4-174 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 气体动理论的基本观点气体动理论的基本观点 分子的观点：分子的观点：宏观物体是由大量微粒宏观物体是由大量微粒分子（或原分子（或原 子）组成的。子）组成的。 分子运动的观点：分子运动的观点：物体中的分子处于永不停息的无规物体中的分子处于永不停息的无规 则运动中，其激烈程度与温度有关。则运动中，其激烈程度与温度有关。 分子力的观点：分子力的观点：分子之间存在着相互作用力。分子之间存在着相互作用力。 从上述气体动理论的基本观点出发，研究和说明宏从上述气体动理论的基本观点出发，研究和说明宏 观物体的各种现象和本质是统计物理学的任务。观物体的各种现象和本质是统计物理学的任务。 8.1 气体动理论的基本观点气体动理论的基本观点 2018-4-175 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 一、分子的数密度和线度一、分子的数密度和线度 实验表明：任何物质实验表明：任何物质1摩尔所含有的微观粒子摩尔所含有的微观粒子分子或原子分子或原子 的数目均相等，为阿伏加德罗常数，用的数目均相等，为阿伏加德罗常数，用NA表示表示 NA=6.022 136 7(36)1023mol-1 计算中，一般取计算中，一般取NA=6.021023mol-1 分子数密度分子数密度n： 单位体积内的分子数：单位体积内的分子数：n=N/V 分子的线度：分子的线度： 每个分子所占有的体积越为分子本身的体积的每个分子所占有的体积越为分子本身的体积的1000倍。倍。 因而气体分子可看成是大小可以忽略不计的质点因而气体分子可看成是大小可以忽略不计的质点。 2018-4-176 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 二、分子热运动的无序性及统计规律性二、分子热运动的无序性及统计规律性 单个分子的运动具有无序性单个分子的运动具有无序性 大量分子的运动具有规律性大量分子的运动具有规律性 所谓统计规律，是指大量偶然所谓统计规律，是指大量偶然 事件整体所遵循的规律。事件整体所遵循的规律。 方法方法求统计平均值求统计平均值 布朗运动布朗运动 掷骰子掷骰子 伽尔登板伽尔登板 统计规律有以下几个特点统计规律有以下几个特点: （1）只对大量偶然的事件才有意义）只对大量偶然的事件才有意义 （2）它是不同于个体规律的整体规律）它是不同于个体规律的整体规律 （3）总是伴随着涨落）总是伴随着涨落 2018-4-177 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 三、分子力三、分子力 分子力是指分子之间存在的吸引或排斥的相互作分子力是指分子之间存在的吸引或排斥的相互作 用力。用力。它们是造成固体、液体、和封闭气体等许多物理它们是造成固体、液体、和封闭气体等许多物理 性质的原因。性质的原因。 吸引力吸引力固体、液体聚集在一起；固体、液体聚集在一起； 排斥力排斥力固体、液体较难压缩。固体、液体较难压缩。 分子力分子力 f 与分子之间的距离与分子之间的距离r有关。有关。 存在一个存在一个r0平衡位置平衡位置 r= r0时，分子力为零时，分子力为零 r r0分子力表现在吸引力分子力表现在吸引力 r 10 r0分子力可以忽略不计分子力可以忽略不计 2018-4-178 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 【概率】微观量为【概率】微观量为 I的分子数占总分子数的比例的分子数占总分子数的比例 归一化条件归一化条件 且有且有 1 i i i P N N P 四、【统计平均值】定义四、【统计平均值】定义 i i i ii N N NNN NNN 321 332211 2018-4-179 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 u 气体分子的速度沿各个方向分量的各种平均值相等。气体分子的速度沿各个方向分量的各种平均值相等。 速度各速度各分量大小的平均分量大小的平均值相等值相等 速度速度分量平方的平均值分量平方的平均值相等相等 速度分量平方的平均值定义为：速度分量平方的平均值定义为： N i ixx N 1 22 1 vv 速度的平方速度的平方： 222 2 zyx vvvvvv 速度的平方的平均值和速度分量平方的平均值的关系：速度的平方的平均值和速度分量平方的平均值的关系： 2222 1 222 1 2 2 3)( 11 xzyx N i iziyix N i i NN vvvvvvvvv zyx vvv 222 zyx vvv 2018-4-1710 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 m K 273 P 3 a VtTp体积体积温度温度压强压强 四、理想气体及状态方程：在压强不太高、温度不太低的实四、理想气体及状态方程：在压强不太高、温度不太低的实 际气体都可视为理想气体，遵守际气体都可视为理想气体，遵守 123 1038. 131. 8 KJkR Mm nkTpRT M m pV -1-1 KmolJ kg kg 气体摩尔质量，气体摩尔质量，气体质量，气体质量， 或或 2018-4-1711 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 设一个分子的质量为设一个分子的质量为，质量为，质量为m的理想气体的分子数为的理想气体的分子数为N， 1摩尔气体的质量为摩尔气体的质量为M，则，则m=N, M=NA。代入理想气体的。代入理想气体的 物态方程物态方程 RT M m pV RT N N RT N N pV AA T N R V N P A nkTp 分子数分子数 密度密度 k=R/NA=1.3810-23JK-1 称为玻耳斯曼常量称为玻耳斯曼常量 2018-4-1712 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 *实际气体的范德瓦耳斯方程实际气体的范德瓦耳斯方程 RT M m b M m V V a M m p 22 2 *8.2.3 道尔顿分压定律道尔顿分压定律 i nnnn 21 i i i ppp kTnkTnkTn kTnnnnkTp 21 21 21 即容器中混合气体的压强等于在同样温度、体积条件下组成即容器中混合气体的压强等于在同样温度、体积条件下组成 混合气体的各成分单独存在时的分压强之和。这就是混合气体的各成分单独存在时的分压强之和。这就是Dalton 分压定律。分压定律。 2018-4-1713 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 例：有例：有10个粒子，其速率分别是个粒子，其速率分别是1，3，5，7， 8，9，10，11， 13，15ms-1，计算它们的平均速率和方均根速率。，计算它们的平均速率和方均根速率。 解：平均速率：解：平均速率： 1 10 1 2 . 8 )15131110987531( 10 1 1 sm v N v i i 方均根速率：方均根速率： 1 2222222222 10 1 22 19. 9 )15131110987531( 10 1 1 sm v N v i i 2018-4-1714 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 同类气体分子的大小和质量完全相同，每个分子可同类气体分子的大小和质量完全相同，每个分子可 以看作一个粒子，以看作一个粒子，分子本身的体积与它们运动所能到达分子本身的体积与它们运动所能到达 的空间相比可以忽略的空间相比可以忽略。 分子不停地作无规则运动，分子不停地作无规则运动，分子的运动遵从牛顿运动分子的运动遵从牛顿运动 定律，定律，除碰撞的瞬间外，分子之间的相互作用可忽略不除碰撞的瞬间外，分子之间的相互作用可忽略不 计计。重力的影响也可忽略不计。重力的影响也可忽略不计。 分子之间、分子与器壁之间的碰撞是完全弹性碰撞分子之间、分子与器壁之间的碰撞是完全弹性碰撞， 碰撞时占据的时间与两次碰撞之间的平均时间间隔相比碰撞时占据的时间与两次碰撞之间的平均时间间隔相比 非常短，可以忽略不计。非常短，可以忽略不计。 8.3.1 理想气体的微观模型理想气体的微观模型 8.3 理想气体的压强和温度公式理想气体的压强和温度公式 2018-4-1715 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 8.3.2 理想气体的压强公式理想气体的压强公式 对单个分子的力学性质的假设对单个分子的力学性质的假设 分子可看作是质点分子可看作是质点 分子作匀速直线运动分子作匀速直线运动 碰撞是完全弹性碰撞碰撞是完全弹性碰撞 对分子集体的统计假设对分子集体的统计假设 分子数密度处处相等；分子数密度处处相等； 分子沿各个方向运动的几率均等分子沿各个方向运动的几率均等。 2018-4-1716 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 1 1、压强的产生、压强的产生 单个分子碰撞器壁的作用力是不连续的、偶然的、不均匀单个分子碰撞器壁的作用力是不连续的、偶然的、不均匀 的。从总的效果上来看，一个持续的平均作用力。的。从总的效果上来看，一个持续的平均作用力。 单个分子单个分子 多个分子多个分子 平均效果平均效果 密集雨点对雨密集雨点对雨 伞的冲击力伞的冲击力 大量气体分子对器壁持大量气体分子对器壁持 续不断的碰撞产生压力续不断的碰撞产生压力 气体分子气体分子 器器 壁壁 2018-4-1717 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 x y z A1 A2 vi vix viy viz 2 2、理想气体压强公式的简单推导、理想气体压强公式的简单推导 单个分子对器壁的作用力单个分子对器壁的作用力 边长为边长为x,y,z的长方形容器，其中含有的长方形容器，其中含有N 个同类气体分子，每个分子质量均为个同类气体分子，每个分子质量均为。 单个分子的运动遵循牛顿力学的运动单个分子的运动遵循牛顿力学的运动 定律，考虑第定律，考虑第i 个分子，速度个分子，速度 kvjvivv iziyixi 它与器壁碰撞时受到器壁的作用力。它与器壁碰撞时受到器壁的作用力。 在此力的作用下，在此力的作用下，i 分子在分子在x 轴上轴上 的动量由的动量由vix变为变为-vix，x轴上的动轴上的动 量的增量为：量的增量为： ixixix vvv 2 2018-4-1718 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 所需的时间为所需的时间为2l1/vix，在单位时间内在单位时间内，i分子作用在分子作用在A1面的总冲量为面的总冲量为 1 2 1 /2/2lvvlv ixixix 由牛顿第二定律知道由牛顿第二定律知道 i 分子对容器壁的作用力为分子对容器壁的作用力为 1 2 /lvf ixi 大量分子对器壁的作用力大量分子对器壁的作用力 1 2 l v fF ix i 压强压强 2 32132 ix v lllll F p N v n N v V N N v lll N p ixixix 222 321 2018-4-1719 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 222 zyx vvv 利用统计平均的概念利用统计平均的概念 平均值的定义平均值的定义 N v N vvv v ix Nxxx x 2 22 2 2 12 2 x vnp 等概率原理等概率原理：分子沿各个方向运动的机会均相等分子沿各个方向运动的机会均相等 因为因为2222 iziyixi vvvv 2222 iziyixi vvvv N v N v N v N v iziyixi 2222 2222 zyx vvvv v vx vy vz 2018-4-1720 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 所以所以 t nvnp vnp 3 2 2 2 1 3 2 2 3 1 )( 理想气体的压强正比于气体分子的数密度和分子的平均平理想气体的压强正比于气体分子的数密度和分子的平均平 动动能；动动能； 理想气体的压强公式理想气体的压强公式揭示了宏观量与微观量统计平均值之揭示了宏观量与微观量统计平均值之 间的关系；间的关系； 理想气体的压强公式理想气体的压强公式是力学原理与统计方法相结合得出的是力学原理与统计方法相结合得出的 统计规律统计规律。 2 3 1 222 vvvv zyx 2 2 1 v t 分子平均动能分子平均动能 2 3 1 vp n 2018-4-1721 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 nkTnP t 3 2 kTv t 2 3 2 1 2 kTv 2 3 2 1 2 M RTkT v 33 2 8.3.3 温度的统计解释温度的统计解释 2018-4-1722 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 在相同温度下，由两种不同分子组成的混合气体，它们的方均在相同温度下，由两种不同分子组成的混合气体，它们的方均 根速率与其质量的平方根成反比根速率与其质量的平方根成反比 2 22 2 11 2 1 2 1 vv 1 2 2 2 2 1 v v 当温度当温度T=0时，气体的平均平动动能为零，这时气体分子的热时，气体的平均平动动能为零，这时气体分子的热 运动将停止。然而事实上是绝对零度是不可到达的运动将停止。然而事实上是绝对零度是不可到达的(热力学第热力学第 三定律三定律)，因而分子的运动是用不停息的。，因而分子的运动是用不停息的。 2018-4-1723 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 【例例8.1】计算在】计算在27.0C时，（时，（1）氧分子的方均根速率；（）氧分子的方均根速率；（2） 一个氧分子的平均平动动能；（一个氧分子的平均平动动能；（3）一克氧分子的平动动能。）一克氧分子的平动动能。 解：解： m/s483 1032 )27273(31. 833 )1( 3 2 M RT v J1021. 63001038. 1 2 3 2 3 2 1 )2( 21232 kTv t J1017. 11021. 61002. 6 1032 10 2 1 2 1 )3( 22123 3 3 2 0 2 vN M m vNEt 2018-4-1724 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 理想气体分子作为一个弹性质点，分子的运动只有理想气体分子作为一个弹性质点，分子的运动只有 平动。平动。实际上分子具有比较复杂的内部结构，还有转动实际上分子具有比较复杂的内部结构，还有转动 及振动，气体分子热运动的能量应包括这些运动所具有及振动，气体分子热运动的能量应包括这些运动所具有 的所有能量的所有能量。 确定物体的空间位置所需的独确定物体的空间位置所需的独 立坐标数，称为该物体的立坐标数，称为该物体的自由度自由度i。 单原子分子单原子分子：可以看作一个自由质点，可以看作一个自由质点， 需要三个独立的坐标来确定它的位置，需要三个独立的坐标来确定它的位置， 因此具有因此具有3个平动自由度个平动自由度。 一一、自由度、自由度 i = t = 3 o y x z C(x,y,z) 8.4 能量均分定理能量均分定理 理想气体的理想气体的内内能能 2018-4-1725 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 刚性双原子分子刚性双原子分子：质心位置需三个坐质心位置需三个坐 标，连接键的方位需三个方向角，因标，连接键的方位需三个方向角，因 总有总有cos2 +cos2 +cos2 =1，所以只有，所以只有 两个方向角是独立的，这两个角坐标两个方向角是独立的，这两个角坐标 实际给出了分子的转动状态。实际给出了分子的转动状态。 非刚性双原子分子非刚性双原子分子：在温度较高时在温度较高时 ，两个原子之间的距离还会发生变，两个原子之间的距离还会发生变 化，还必须考虑原子之间的振动，化，还必须考虑原子之间的振动， 有有6个自由度。个自由度。 双原子分子双原子分子 o y x z C(x,y,z) o y x z C(x,y,z) i = t+r =3+2= 5 i = t+r +v=3+2+1= 6 2018-4-1726 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 再增加一个确定分子绕通过再增加一个确定分子绕通过 质心轴转动的角度坐标质心轴转动的角度坐标 。 在常温下（在常温下（T500K），把分子看作刚体所），把分子看作刚体所 得结果与实验基本相符，可以忽略分子内部的振得结果与实验基本相符，可以忽略分子内部的振 动。动。 刚性多原子分子刚性多原子分子 i = t+r =3+3= 6 2018-4-1727 o x z y C(x,y,z) 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 l 一个分子的平均平动能为一个分子的平均平动能为 二、能量均分定理：二、能量均分定理： kT kt 2 3 2222 2 1 2 1 2 1 2 1 zyxk vvvv 2222 3 1 vvvv zyx kTvvv zyx 2 1 2 1 2 1 2 1 222 结论：结论：分子的每一个平动自由度上具有相同的平均平动动分子的每一个平动自由度上具有相同的平均平动动 能，都是能，都是kT/2 ，或者说分子的平均平动动能，或者说分子的平均平动动能3kT/2是均匀地是均匀地 分配在分子的每一个自由度上分配在分子的每一个自由度上 平方项的平均值平方项的平均值 平动自由度平动自由度 2018-4-1728 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 能量按自由度均分定理：能量按自由度均分定理： 说明：说明： 是统计规律，只适用于大量分是统计规律，只适用于大量分 子组成的系统。子组成的系统。 气体分子无规则碰撞的结果。气体分子无规则碰撞的结果。 统计物理可给出严格证明。统计物理可给出严格证明。 推广：推广：在温度为在温度为T 的平衡态下，分子的每一个转动自由度的平衡态下，分子的每一个转动自由度 上也具有相同的平均动能，大小也为上也具有相同的平均动能，大小也为kT/2。 在温度为在温度为T的平衡态下，气体分子每个自由度的平衡态下，气体分子每个自由度 的平均动能都相等，都等于的平均动能都相等，都等于kT/2。这就是这就是能量能量 按自由度均分定理按自由度均分定理，简称，简称能量均分定理。能量均分定理。 单原子分子单原子分子 i=3 k=3kT/2 双原子分子双原子分子 i=5 k=5kT/2 多原子分子多原子分子 i=6 k=6kT/2 kT i k 2 2018-4-1729 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 l热力学系统的内能热力学系统的内能 热力学系统的内能是指气体分子各种形态的动能与势能的总热力学系统的内能是指气体分子各种形态的动能与势能的总 和。即系统所包含的全部分子的能量总和称为系统的内能。和。即系统所包含的全部分子的能量总和称为系统的内能。 三、理想气体的内能三、理想气体的内能 1 1、理想气体的内能：、理想气体的内能： l理想气体内能公式理想气体内能公式 理想气体内能是分子平动动能与转动动能之和，势能为零。理想气体内能是分子平动动能与转动动能之和，势能为零。 分子的自由度为分子的自由度为i，则一个，则一个 分子能量为分子能量为ikT/2， 1摩尔理摩尔理 想气体，有个想气体，有个NA分子，内分子，内 能能 RT i NkT i E A 22 m/M摩尔理想气体，内能摩尔理想气体，内能 RT i M m E 2 l说明：说明： 理想气体的内能与温度和分子的理想气体的内能与温度和分子的 自由度有关。自由度有关。 内能仅是温度的函数，即内能仅是温度的函数，即E=E(T)， 与与P，V无关。无关。 状态从状态从T1T2,不论经过什么过程，不论经过什么过程， 内能变化为内能变化为 )( 2 1212 TTR i M m EEE 2018-4-1730 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 【例例】1mol的氧气（视为刚性双原子分子的理想气体）贮的氧气（视为刚性双原子分子的理想气体）贮 于一氧气瓶中，温度为于一氧气瓶中，温度为27，求这瓶，求这瓶氧气的内能；氧气的内能；分子的分子的平平 均平动动能；均平动动能；分子的分子的平均总动能平均总动能。 解解 内能内能 J623330031. 8 2 5 1 2 RT i E 分子的平均平动动能分子的平均平动动能 J1021. 63001038. 1 2 3 2 3 2123 kT t 分子的平均总动能分子的平均总动能 J10035. 13001038. 1 2 5 2 2023 kT i 2018-4-1731 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 *8.5 麦克斯韦和玻耳兹曼统计分布律麦克斯韦和玻耳兹曼统计分布律 引言：引言： 气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分 子的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分 子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大 量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守 一定的统计规律一定的统计规律气体速率分布律气体速率分布律。 气体分子按速率分布的统计规律最早是有气体分子按速率分布的统计规律最早是有麦克斯韦麦克斯韦于于1859年年 在概率论的基础上导出的，在概率论的基础上导出的，1877年年玻耳兹曼玻耳兹曼由经典统计力学由经典统计力学 中导出，中导出，1920年年斯特恩斯特恩从实验中证实了麦克斯韦分子按速率从实验中证实了麦克斯韦分子按速率 分布的统计规律。分布的统计规律。 2018-4-1732 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 麦克斯韦（麦克斯韦（James Clerk Maxwell 18311879) 19世纪伟大的英世纪伟大的英 国物理学家、数国物理学家、数 学家。经典电磁学家。经典电磁 理论的奠基人，理论的奠基人， 气体动理论的创气体动理论的创 始人之一。始人之一。 他提出了有旋电场和位移电流概念，建他提出了有旋电场和位移电流概念，建 立了经典电磁理论，预言了以光速传播立了经典电磁理论，预言了以光速传播 的电磁波的存在。的电磁波的存在。 1873年，他的年，他的电磁学通论电磁学通论问世，这问世，这 是一本划时代巨著，它与牛顿时代的是一本划时代巨著，它与牛顿时代的 自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理并驾齐驱，它并驾齐驱，它 是人类探索电磁规律的一个里程碑。是人类探索电磁规律的一个里程碑。 在气体动理论方面，他还提出气体分子在气体动理论方面，他还提出气体分子 按速率分布的统计规律。按速率分布的统计规律。 2018-4-1733 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 一、测定气体分子速率的实验一、测定气体分子速率的实验 1、实验装置、实验装置O蒸汽源蒸汽源 S 分子束射出方向孔分子束射出方向孔 R 长为长为 l 、刻有螺旋形细槽、刻有螺旋形细槽 的铝钢滚筒的铝钢滚筒 D 检测器，测定通过细槽的检测器，测定通过细槽的 分子射线强度分子射线强度 2、实验原理、实验原理 当圆盘以角速度当圆盘以角速度转动时，转动时， 每转动一周，分子射线每转动一周，分子射线 通过圆盘一次，由于分通过圆盘一次，由于分 子的速率不一样，分子子的速率不一样，分子 通过圆盘的时间不一样，通过圆盘的时间不一样， 只有速率满足下式的分只有速率满足下式的分 子才能通过子才能通过S达到达到D v l lv 2018-4-1734 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 3、实验结果、实验结果 分子数在总分子数中所占的比分子数在总分子数中所占的比 率与速率和速率间隔的大小有率与速率和速率间隔的大小有 关；关； 速率特别大和特别小的分子数速率特别大和特别小的分子数 的比率非常小；的比率非常小； 在某一速率附近的分子数的比在某一速率附近的分子数的比 率最大；率最大； 改变气体的种类或气体的温度改变气体的种类或气体的温度 时，上述分布情况有所差别，时，上述分布情况有所差别， 但都具有上述特点。但都具有上述特点。 2018-4-1735 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 二、麦克斯韦气体分子速率分布律二、麦克斯韦气体分子速率分布律 l速率分布函数的定义：速率分布函数的定义： 一定量的气体分子总数为一定量的气体分子总数为N，dN表示速率分布在某区表示速率分布在某区 间间 vv+dv内的分子数，内的分子数， dN/N表示分布在此区间内表示分布在此区间内 的分子数占总分子数的比率。的分子数占总分子数的比率。 实验规律：实验规律： dN/N 是是 v 的函数；的函数； 当速率区间足够小时（宏观小，微观大）当速率区间足够小时（宏观小，微观大）， ， dN/N还应与区间大小成正比。还应与区间大小成正比。 1、速率分布函数、速率分布函数 dvvf N dN )( Ndv dN vf )( 速率分布函数速率分布函数 2018-4-1736 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 l物理意义：物理意义： 速率在速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数附近，单位速率区间的分子数占总分子数 的概率，或概率密度。的概率，或概率密度。 1 00 dvvf N dN N N dN dvvf )( 表示速率分布在表示速率分布在vv+dv内的内的 分子数占总分子数的概率分子数占总分子数的概率 2 1 )( v v dvvf N dN 表示速率分布在表示速率分布在v1v2内的分内的分 子数占总分子数的概率子数占总分子数的概率 l速率分布曲线速率分布曲线 归一化条件归一化条件 2018-4-1737 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 2、麦克斯韦速率分布律、麦克斯韦速率分布律 在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布 在任一速率区间在任一速率区间 vv+dv 的分子数占总分子数的比率为的分子数占总分子数的比率为 dvve kTN dN kT v v2 2 2 3 2 2 4 2 2 2 3 2 2 4ve kT vf kT v 麦克斯韦麦克斯韦 速率分布函数速率分布函数 分子的质量分子的质量 T热力学温度热力学温度 k玻耳兹曼常量玻耳兹曼常量 vPv v+dvv 面积面积= dN/N f(v) f(vP) 曲线下面宽度为曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于的小窄条面积等于 分布在此速率区间分布在此速率区间 内的分子数占总分内的分子数占总分 子数的概率子数的概率dN/N 。 2018-4-1738 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 定义：定义：与与 f( (v) )极大值相对应的速率，称为最概然速率。极大值相对应的速率，称为最概然速率。 物理意义：物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的小区间，若把整个速率范围划分为许多相等的小区间， 则分布在则分布在vP所在所在区间的分子数比率最大。区间的分子数比率最大。 vP的值：的值： 0 dv vdf M RT M RTkT vp41. 1 22 三、三种统计速率三、三种统计速率 1、最可几速率、最可几速率 2018-4-1739 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 2、平均速率、平均速率 定义：定义： 大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率。大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率。 N vN N vN v ii i ii 计算：计算： N vdN v dvvNfdN)( dvvvf N dvvvNf N vdN v)( )( M RT M RTkT v60. 1 8 8 2018-4-1740 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 0 0 0 0 0 d)( d d)( d d vvvf vNf(v) vvNvf N Nv N vN v i ii 平均速率：平均速率： 这种速率在研究分子碰撞时要用到。这种速率在研究分子碰撞时要用到。 在一般情况下有：在一般情况下有： 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 d d)( )( )(N d dN v v v v v v v v v v v v vf(v) vvvf dvvNf dvvfv N v v vN N vf d d )( 2018-4-1741 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 3、方均根速率、方均根速率 定义：定义： 大量气体分子速率的平方平均值的平方根叫做方均根速率。大量气体分子速率的平方平均值的平方根叫做方均根速率。 N vN N vN v ii i ii 22 2 计算：计算： dvvfv N dvvNfv N dNv v)( )( 2 22 2 M RT M RTkT vvrms 73. 1 3 3 2 2018-4-1742 第第 8 章章 气体动理论气体动理论4、讨论、讨论 vp 随随 T 升高而增大升高而增大，随，随m 增大而减小。增大而减小。 三种速率的大小顺序为三种速率的大小顺序为 rmsp vvv M RT M RTkT vp41. 1 22 三种速率的意义三种速率的意义 讨论速率分布时讨论速率分布时用最概然速率用最概然速率 讨论分子碰撞时讨论分子碰撞时用平均速率用平均速率 讨论分子平均平动动能时讨论分子平均平动动能时用方均根用方均根 速率速率 都含有统计的平均意义，反映大量分子作都含有统计的平均意义，反映大量分子作 热运动的统计规律。热运动的统计规律。 21 mm o v )(vf 1P v 2P v m 2 m 1 T 1 12 TT o v )(vf 1P v 2P v T 2 2018-4-1743 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数 zyx kTvvv vvv dvdvdve kTN dN zyx zyx 2 2 3 222 2 *8.5.3 玻尔兹曼能量分布律玻尔兹曼能量分布律 等温气压公式等温气压公式 一、玻尔兹曼能量分布律一、玻尔兹曼能量分布律 kzyx vvvv 2222 2 1 2 问题：对于更一般的情形，如在外力场中问题：对于更一般的情形，如在外力场中 的气体分子的分布将如何？的气体分子的分布将如何？ 其指数仅包含分子运动动能其指数仅包含分子运动动能 分子按速度的分布不受分子按速度的分布不受 力场的影响，按空间位力场的影响，按空间位 置的分布却是不均匀的，置的分布却是不均匀的， 依赖于分子所在力场的依赖于分子所在力场的 性质。性质。 玻尔兹曼的推广玻尔兹曼的推广 用用k+p 代替代替k，用，用x、y、 z、 vx、 vy、 vz 为轴构为轴构 成的六维空间中的体积元成的六维空间中的体积元 dxdydzdvxdvydvz 代替速度代替速度 空间的体积元空间的体积元dvxdvydvz 2018-4-1744 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 玻尔兹曼能量分布律玻尔兹曼能量分布律 当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间 xx+dx、yy+dy、zz+dz内，内，同时速度介于同时速度介于 vxvx+dvx，vyvy+dvy，vzvz+dvz内的分子数为内的分子数为 zyx kT vvvzyx dvdvdxdydzdve kT ndN PK zyx 2 3 0 2 , 单位体积分子数单位体积分子数n dxdydzen dvdvdve kT dxdydzendN kT zyx kTkT zyx P KP 0 2 3 0 2 , kTzyx P en dxdydz dN n 0 , n0为在为在p=0处，单位体积内具有各种速度的分子总数。处，单位体积内具有各种速度的分子总数。 2018-4-1745 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 RTMghkTgh enenn 00 重力场中粒子按高度的分布重力场中粒子按高度的分布( (p=mgh) ) 重力场中，一方面是无规则的热运动使重力场中，一方面是无规则的热运动使 气体分子均匀分布于它们所能够到达的气体分子均匀分布于它们所能够到达的 空间。另一方面是重力要使气体分子聚空间。另一方面是重力要使气体分子聚 集到地面上。这两种作用平衡时，气体集到地面上。这两种作用平衡时，气体 分子则在空间作非均匀分布，即气体分分子则在空间作非均匀分布，即气体分 子数密度随高度的增加按指数规律减小；子数密度随高度的增加按指数规律减小； 分子质量越大，受重力的作用越大，分分子质量越大，受重力的作用越大，分 子数密度减小得越迅速；子数密度减小得越迅速； 对于温度较高的气体，分子的无规则运对于温度较高的气体，分子的无规则运 动剧烈。分子数密度随高度减小比较缓动剧烈。分子数密度随高度减小比较缓 慢。慢。 法国物理学家佩兰据法国物理学家佩兰据 此测量了玻耳兹曼常此测量了玻耳兹曼常 数进而得到了阿伏伽数进而得到了阿伏伽 德罗常数，于德罗常数，于19221922年年 获得了诺贝尔物理奖。获得了诺贝尔物理奖。 2018-4-1746 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 假设：假设：大气为理想气体大气为理想气体 不同高度处温度相等不同高度处温度相等 利用：利用：p = nkT 可得可得: : RTMghkTgh enenn 00 kTghRTMgh epepp 00 每升高每升高1010米，大气压强降低米，大气压强降低133133Pa。近似符合实际，可近似符合实际，可 粗略估计高度变化。粗略估计高度变化。 二、重力场中等温气压公式二、重力场中等温气压公式 p p Mg RT p p g kT h 00 lnln 近似估计高度近似估计高度 2018-4-1747 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 *8.6 分子平均碰撞次数和平均自由程分子平均碰撞次数和平均自由程 分子碰撞的引入：分子碰撞的引入： 分子热运动速率很大，平均速分子热运动速率很大，平均速 率可达几百米率可达几百米/秒，而扩散运动秒，而扩散运动 却进行得很慢。却进行得很慢。 克劳修斯克劳修斯为了说明这个问题，提出了为了说明这个问题，提出了分子碰撞次数分子碰撞次数与与自由自由 程程的概念。的概念。 分子碰撞的概念不仅解决了上述问题，气体动理论在分子碰撞的概念不仅解决了上述问题，气体动理论在 更加坚实的基础上向前推动了一步。更加坚实的基础上向前推动了一步。 研究碰撞的意义：研究碰撞的意义： 分子间通过碰撞，实现分子间通过碰撞，实现动量与动能动量与动能的交换；的交换； 分子间通过碰撞交换能量达到分子间通过碰撞交换能量达到能量按自由度均分能量按自由度均分； 分子间通过碰撞，由分子间通过碰撞，由非平衡状态向平衡状态过渡非平衡状态向平衡状态过渡； 分子间通过碰撞交换速度，使分子间通过碰撞交换速度，使速度速度分布达到稳定。分布达到稳定。 2018-4-1748 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 一、平均自由程一、平均自由程 和和平均碰撞次数的定义平均碰撞次数的定义 Z v Z 2 2、平均碰撞频率、平均碰撞频率 在单位时间内一个分子与其它分子碰撞的平均次数，叫在单位时间内一个分子与其它分子碰撞的平均次数，叫 做分子的做分子的平均碰撞次数平均碰撞次数或或平均碰撞频率平均碰撞频率。 3 3、二者关系、二者关系 1 1、平均自由程、平均自由程 分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程，分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程， 叫做叫做自由程自由程；分子在连续两次碰撞之间；分子在连续两次碰撞之间 所经过的路程的平均值叫做所经过的路程的平均值叫做平均自由程平均自由程。 2018-4-1749 第第 8 章章 气体动理论气体动理论 假设只有一个分子以平均假设只有一个分子以平均 速度运动，其余分子看成速度运动，其余分子看成 不动。分子不动。分子A A的运动轨迹为的运动轨迹为 一折线，以一折线，以A A的中心运动轨的中心运动轨 迹为轴线，以分子有效直迹为轴线，以分子有效直 径径d d 为半径，作一曲折圆为半径，作一曲折圆 柱体。凡中心在此圆柱体柱体。凡中心在此圆柱体 内的分子都会与内的分子都会与A A相碰。相碰。 二、平均自由程二、平均自由程和和平均碰撞次数的计算平均碰撞次数的计算 1 1、分子碰撞模型、分子碰撞模型 （1）分子可看作具有一定体积的刚球；）分子可看作具有一定体积的刚球； （2）分子间的碰撞是弹性碰撞；）分子间的碰撞是弹性碰撞