四川成都高三数学摸底考试理

四川省成都市2020届高三数学摸底考试试题 理（含解析）第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数满足（是虚数单位），则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由得,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数,从而可得的虚部.【详解】因为,所以,所以复数的虚部为.故选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.2.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】,选.3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）A. 甲所得分数的极差为22B. 乙所得分数的中位数为18C. 两人所得分数的众数相等D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.【详解】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A正确；乙所得分数的中位数为18，B正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C正确；甲的平均分为，乙的平均分为 ，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D错误，故选D.【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型.4.若实数满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出的最大值【详解】作出实数，满足约束条件表示的平面区域，如图所示由可得，则表示直线在轴上的截距，纵截距越大，越小作直线，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点时，最大，最小由可得，此时，故选：【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键5.已知等比数列的各项均为正数，若，则（ ）A. 1B. 3C. 6D. 9【答案】D【解析】分析】首先根据对数运算法则，可知，再根据等比数列的性质可知，最后计算的值.【详解】由 ，可得，进而可得 ， .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.6.已知函数则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可【详解】解：，（1），故选：【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用代入法是解决本题的关键属于基础题7.中，角，的对边分别为若向量，且，则角的大小为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用数量积结合正弦定理转化为三角函数问题，通过两角和的公式化简得到角的方程，得解【详解】由得，由正弦定理得，化为，即，由于，又，故选：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积和正弦定理，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算的值并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】模拟程序的运行，可得开始故选：【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题9.若矩形的对角线交点为，周长为，四个顶点都在球的表面上，且，则球的表面积的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先利用矩形求出外接圆的小圆半径，进一步利用基本不等式求出球的半径，进一步求出球的表面积的最小值【详解】如图，设矩形的两邻边分别为，则，且外接圆的半径由球的性质得，平面，所以球的半径由均值不等式得，所以，所以，当且仅当时，等号成立所以球的表面积的最小值为，故选：点睛】本题考查的知识要点：球的表面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型10.已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出原函数导函数，分析函数在处取得极小值时的的范围，再由充分必要条件的判定得答案【详解】解：若在取得极小值，令，得或当时，故在上单调递增，无最小值；当时，故当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增故在处取得极小值综上，函数在处取得极小值 “”是“函数在处取得极小值”的充分不必要条件故选：【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查充分必要条件的判定，属于中档题11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点的坐标为若双曲线左支上的任意一点均满足，则双曲线的离心率的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据双曲线的定义，转化为，即，根据数形结合可知，当点三点共线时，最小，转化为不等式，最后求离心率的范围.【详解】由已知可得，若，即，左支上的点均满足，如图所示，当点位于点时，最小，故，即,或或或或双曲线的离心率的取值范围为 .【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关键是根据几何关系分析的最小值，转化为的代数关系，最后求的范围.12.若关于的不等式在内恒成立，则满足条件的整数的最大值为( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】由题意知分离参数得到，通过研究的虚设零点，利用零点存在性定理得并回带零点得到的范围，进而得到对应整数的最大值【详解】解：根据题意，对于恒成立令，只需即可令 在递增， ，故存在，使得，即 ，而在递减，递增，由， 故整数的最大值为2，故选：【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了零点存在性定理，属于中档题第卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡上13.某公司一种新产品的销售额与宣传费用之间的关系如表：（单位：万元）（单位：万元）已知销售额与宣传费用具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为，则的值为_【答案】【解析】【分析】由表中数据计算平均数，代入回归直线方程中求得回归系数【详解】由表中数据，计算，又归直线方程为过样本中心点得，解得故答案为：6.5【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题14.已知曲线：（为参数）若点在曲线上运动，点为直线：上的动点，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】先表示出曲线C上的点到直线距离，再利用三角函数的图像和性质求|PQ|的最小值.【详解】表示曲线为参数）上任意点到直线的距离，当时，故答案为：【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型15.已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且当 时，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】首先根据已知构造函数， ，根据导数可知函数单调递增，即，再结合奇偶性得到不等式的解集.【详解】令，则当 时， 单调递增，且 .因为等价于，即g(x)g()，又为偶函数，所以，故，故不等式的解集为 .【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数与方程，函数与不等式，导数的应用，涉及函数与方程思想，数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力，等价转化能力，运算求解能力，综合性较强，本题的关键是构造函数，根据导数分析函数的单调性，并且判断是偶函数.16.已知抛物线的焦点为，准线为。若位于轴上方的动点在准线上，线段与抛物线相交于点，且，则抛物线的标准方程为_。【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用抛物线的定义和性质，根据直角三角形的边角关系求出的值，即可写出抛物线的标准方程【详解】解：如图所示，设，过点作于点，由抛物线的定义知，；在中，从而；又，所以，即，所以；在中，所以，所以抛物线的标准方程为故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知函数，其导函数图象关于轴对称，（）求实数的值；（）若函数的图象与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围【答案】（），（）【解析】【分析】（）根据导函数的图象关于轴对称求出m的值，再根据求出n的值；（）问题等价于方程有三个不相等的实根，再求出函数f(x)的单调性和极值，分析得解.【详解】解：（）.函数的图象关于轴对称，.又，解得.，.（）问题等价于方程有三个不相等的实根时，求的取值范围.由（），得.令，解得.当或时，在，上分别单调递增.又当时，在上单调递减.的极大值为，极小值为.实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，数形结合思想是数学中的一种重要的思想，通过数形结合将本题转化为函数图象的交点，可以直观形象的解决问题18.为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内，三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：类行业：85，82，77，78，83，87；类行业：76，67，80，85，79，81；类行业：87，89，76，86，75，84，90，82（）计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数；（）若从抽取的类行业这6个单位中，再随机选取3个单位进行某项调查，求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率【答案】（），三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.（）【解析】【分析】第一问利用分层抽样的概念直接计算即可；第二问是古典概率模型，先列出所有的基本事件，然后再找出3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位所包含基本事件的个数，即可求出3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率。【详解】（）由题意，得抽取的，三类行业单位个数之比为.由分层抽样的定义，有类行业的单位个数为，类行业的单位个数为，类行业的单位个数为，故该城区，三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.（）记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件.这3个单位的考核数据情形有，共20种.这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有，共4种，没有都是“非星级”环保单位的情形，故这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种，故所求概率.【点睛】本题主要考查分层抽样及古典概型问题，属基础题。19.如图，在四棱锥中，平面平面，分别为的中点（）证明：平面平面；（）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（）证明见解析；（）【解析】【分析】（）要证明面面平行，根据判断定理需证明平面内的两条直线与另一个平面平行，即证明；（）以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量，求.【详解】（I）连接 为正三角形. 为的中点， .平面，又平面平面，平面.分别为的中点， 又平面，平面，平面.又平面，平面平面.（）连接. 平面平面，平面平面，平面， 平面又两两垂直以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则， 设平面的法向量，平面 的法向量 ， 得 ， 平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了面面平行的判断定理，以及二面角的求法，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.20.已知椭圆的左、右焦点分别为，且该椭圆过点（）求椭圆的标准方程；（）过点作一条斜率不为0的直线，直线与椭圆相交于两点，记点关于轴对称的点为点，若直线与轴相交于点，求面积的最大值【答案】（）;（）【解析】【分析】（）根据，和计算椭圆的标准方程；（）题意可设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到，根据坐标设出的方程，并得到的面积，代入根与系数的关系，并求最大值.【详解】（）由椭圆的定义可得，解得 .又， 所以椭圆的标准方程为（）由题意可设直线的方程为 .设，则 .由，消去可得 ， 直线的方程为 .令，可得， 令，则当且仅当，即时等号成立，面积的最大值为【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.21.已知函数，其中（）当时，求曲线在点处切线方程；（）若函数有唯一零点，求的值【答案】（）;（）【解析】【分析】()时,求出导函数,求出,将代入到中得到曲线在点处的切线的斜率,求出,然后利用点斜式求出曲线在点处的切线方程.（）先利用导数证明函数在R上有唯一零点,且函数在上递,在上递增,所以函数 在 处取得最小值,再根据函数有唯一零点可得,然后根据以及联立消去,得到,然后构造函数,通过导数的方法可得有唯一零点,且,最后将代入到可以解得的值.【详