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2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学 自主招生（三校联招）试题 数学部分1（仅文科做），求证：2为边长为的正五边形边上的点证明：最长为（25分）3为上在轴两侧的点，求过的切线与轴围成面积的最小值（25分）4向量与已知夹角，在时取得最小值，问当时，夹角的取值范围（25分）5（仅理科做）存不存在，使得为等差数列（25分）2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学 自主招生（三校联招）试题 数学部分解析1（仅文科做），求证：【解析】 不妨设，则，且当时，于是在上单调增即有同理可证，当时，于是在上单调增。在上有。即。注记：也可用三角函数线的方法求解2为边长为的正五边形边上的点证明：最长为（25分）【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系当中有一点位于点时，知另一点位于或者时有最大值为；当有一点位于点时，；当均不在轴上时，知必在轴的异侧方可能取到最大值（否则取点关于轴的对称点，有）不妨设位于线段上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使最大的点必位于线段上且当从向移动时，先减小后增大，于是；对于线段上任意一点，都有于是由，知不妨设为下面研究正五边形对角线的长如右图做的角平分线交于易知于是四边形为平行四边形由角平分线定理知解得3为上在轴两侧的点，求过的切线与轴围成面积的最小值（25分）【解析】 不妨设过点的切线交轴于点，过点的切线交轴于点，直线与直线相交于点如图设，且有由于，于是的方程为；的方程为 联立的方程，解得对于，令，得；对于，令，得于是不妨设，则 不妨设，则有 6个 9个 又由当时，处的等号均可取到注记：不妨设，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解由知当时；当时则在上单调减，在上单调增于是当时取得最小值4向量与已知夹角，在时取得最小值，问当时，夹角的取值范围（25分）【解析】 不妨设，夹角为，则，令其对称轴为而在上单调增，故当时，解得当时，在上单调增，于是不合题意于是夹角的范围为5（仅理科做）存不存在，使得为等差数列
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