2013年华约自主招生数学试题及解析

2013年华约自主招生数学试题1设，且中元素满足：任意一个元素各数位的数字互不相同；任意一个元素的任意两个数字之和不等于9（1）求中的两位数和三位数的个数；（2）是否存在五位数，六位数？（3）将中的元素从小到大排列，求第1081个元素2已知，求，3点在上，点在上，其中，且，在轴同侧（1）求中点的轨迹的方程；（2）曲线与抛物线相切，求证：切点分别在两定直线上，并求切线方程47个红球，8个黑球，任取4个（1）求恰有1个红球的概率；（2）记取黑球个数为，求其分布列和期望；（3）取出4球同色，求全为黑球的概率5已知，（1）证明对任意的，存在正整数，使得对于，（2）设，记为前项和，证明有界，且时，存在正整数，时6设是两两不等且大于1的正整数，求所有使得整除的7设（1）证明当时，；（2）令，证明递减且2013年华约自主招生数学试题解析1设，且中元素满足：任意一个元素各数位的数字互不相同；任意一个元素的任意两个数字之和不等于9（1）求中的两位数和三位数的个数；（2）是否存在五位数，六位数？（3）将中的元素从小到大排列，求第1081个元素解析（1）所有的两位数共90个，其中数字相同的有9个，两数字之和为9的有9个，所以中的两位数有909972个； 所有的各数位的数字互不相同三位数共998648个，其中含有数字0和9的有4832个，含有数字1和8，2和7，3和6，4和5的各有482746个，所以中的三位数有64832464432个；另解（1）将10个数字分为5组：（0，9），（1，8），（2，7），（3，6），（4，5），每组中的两数不能同时出现在一个元素中对于两位数，若最高位为9，则共有248个，若最高位不为9，则共有244264个，所以中的两位数有72个；对于三位数，若最高位为9，则共有2248个，若最高位不为9，则共有222384个，所以中的三位数有48384432个；（2）对于五位数，若最高位为9，则共有2222384个，若最高位不为9，则共有222223072个，所以中的五位数有30723843456个； 显然中不存在六位数（3）中的两位数和三位数共有72432504个，在中的四位数中，千位上为1，2，3的各有192个，而50419231080个，所以第1081个元素应为四位数中，千位上为4的最小数，即4012 2已知，求，解析 由，得 由，得 两式相加，得，所以 又由，得 由，得 两式相除，得，所以 3点在上，点在上，其中，且，在轴同侧（1）求中点的轨迹的方程；（2）曲线与抛物线相切，求证：切点分别在两定直线上，并求切线方程解析 （1）设，由 ，得， 所以设点的坐标为，则，所以 ，即点的轨迹的方程为 （2）因为曲线与抛物线相切，得 ，由 ，得，此时，两切点坐标为， ，即切点分别在两定直线上切线方程分别为和47个红球，8个黑球，任取4个（1）求恰有1个红球的概率；（2）记取黑球个数为，求其分布列和期望；（3）取出4球同色，求全为黑球的概率解析 （1）恰有1个红球的概率为；（2）黑球个数为，黑球数为0的概率为；黑球数为1的概率为；黑球数为2的概率为；黑球数为3的概率为；黑球数为4的概率为；其分布列为01234的数学期望为01234（3）由（2）知4球同色的概率为 ，所以，取出4球同色，全为黑球的概率为 5已知，（1）证明对任意的，存在正整数，使得对于，（2）设，记为前项和，证明有界，且时，存在正整数，时解析 （1）由，知，于是所以 对任意的，要使，只需，取，于是，（2），所以 ，0，由（1）知，所以 ，即，所以有界； 令，得 ，取，则时6设是两两不等且大于1的正整数，求所有使得整除的解析 因为1， 而能被整除，于是只需1能被整除即可 又是两两不等且大于1的正整数，不妨设 1，即，于是只需1能被整除，当然，即，于是， ，进而， ，4检验知2、3、5能使1能被整除， 7设（1）证明当时，；（2）令，证明递减且解析 （1）因为，又当时，所以当时，；（2）由，得，又