2009年全国高考文科数学试题及答案-全国1卷

20092009 年普通高等学校招生全国统一年普通高等学校招生全国统一 1 1 卷考试卷考试 文科数学（必修文科数学（必修+ +选修选修） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至至 2 页，第卷页，第卷 3 至至 4 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号、填写清楚证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后，用每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效 3本卷共本卷共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 参考公式：参考公式： 如果事件互斥，那么球的表面积公式AB， ()( )( )P ABP AP B 2 4SR 如果事件相互独立，那么其中表示球的半径AB，R 球的体积公式()( )( )P A BP A P BAA 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么AP 3 4 3 VR 次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径nkR ( )(1)(01,2) kkn k nn P kC PPkn ， 一、选择题一、选择题 （1）的值为 o 585sin (A) (B) (C) (D) 2 2 2 2 3 2 3 2 (2)设集合 A=4，5，7，9 ，B=3，4，7，8，9 ，全集，则集合UAB 中的元素共有() U AB (A) 3 个 （B） 4 个 （C）5 个 （D）6 个 （3）不等式的解集为1 1 1 x x （A） （B）011xxx x 01xx （C） （D）10 xx 0 x x （4）已知 tan=4,cot=,则 tan(a+)=a 1 3 (A) (B) (C) (D) 7 11 7 11 7 13 7 13 （5）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线 22 22 00 xy ab ab 1 ， 2 1yx 的离心率等于 （A） （B）2 （C） （D）356 （6）已知函数的反函数为，则( )f x( ) 10g xx2l gx )1()1(gf （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 （7）甲组有 5 名男同学、3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学，若从甲、乙两组 中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 （A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 （D）345 种 （8）设非零向量、满足，则abccbacba |,| ba, （A）150 （B）120 （C）60 （D）30 （9）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为 111 ABCABC 1 AABC 的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为BCAB 1 CC (A) (B) (C) (D) 3 4 5 4 7 4 3 4 (10) 如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为3cos(2)yx 4 (,0) 3 (A) (B) (C) (D) 6 4 3 2 （11）已知二面角为 600 ，动点 P、Q 分别在面内，P 到的距离为，l , 3 Q 到的距离为，则 P、Q 两点之间距离的最小值为2 3 （12）已知椭圆的右焦点为 F,右准线 ，点，线段 AF 交 C 于点 B。 2 2 :1 2 x CylAl 若,则=3FAFB AF (A) (B) 2 (C) (D) 323 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1答题前，考生先在答题卡上用直径答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填 写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2第第卷共卷共 7 页，请用直径页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效 3本卷共本卷共 10 小题，共小题，共 90 分分 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中横线上分把答案填在题中横线上 （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） （13）的展开式中，的系数与的系数之和等于_. 10 ()xy 73 x y 37 x y （14）设等差数列的前项和为。若，则_. n an n S 9 72S 249 aaa 。 (15)已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若OAOOAMOAM 圆的面积为，则球的表面积等于_.M3O （16）若直线被两平行线所截得的线段的长为，m 12 :10:30lxylxy 与22 则的倾斜角可以是m 1530456075 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 10 分)(注意注意:在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效) 设等差数列的前项和为，公比是正数的等比数列的前项和为，已 n an n s n bn n T 知的通项公式. 113333 1,3,17,12, nn ababTSb求a (18)(本小题满分 12 分)（注意：在试用题卷上作答无效）（注意：在试用题卷上作答无效） 在中，内角的对边长分别为.已知，且ABCABC、abc、 22 2acb ，求.sin4cossinBACb (19)(本小题满分 12 分)（注决：在试题卷上作答无效）（注决：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面SABCDABCDSD ，点在侧棱上，ABCD2AD 2DCSDMSC 60ABM （）证明：是侧棱的中点；MSC （）求二面角的大小。 （同理 18）SAMB (20)（本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假 设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立。已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。 （）求再赛 2 局结束这次比赛的概率； （）求甲获得这次比赛胜利的概率。 （21） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数. 42 ( )36f xxx （）讨论的单调性；( )f x （）设点 P 在曲线上，若该曲线在点 P 处的切线 通过坐标原点，求 的( )yf xll 方程 (22)（本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，已知抛物线与圆 2 :E yx 相交于 A、B、C、D 四个点。 222 :(4)(0)Mxyrr （）求的取值范围r （）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC、BD 的交点 P 的坐标。 1【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。 解：，故选择 A。 2 2 45sin)45180sin()225360sin(585sin oooooo 2【解析】本小题考查集合的运算，基础题。 （同理 1） 解：，故选故选 A A。也可用摩根。也可用摩根3,4,5,7,8,9AB 4,7,9()3,5,8 U ABAB 定律：定律：()()() UUU ABAB 3【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式，基础题。 解：，0040)1()1(|1|1|1 1 1 22 xxxxxx x x 故选择 D。 4【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。 解：由题，故选择 B。3tan 11 7 121 34 tantan1 tantan )tan( 5【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率， 基础题。 解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方 22 22 00 xy ab ab 1 ， a bx y 程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即0 2 abxax04 22 ab ，故选择 C。55 22 eac （6） 【解析】本小题考查反函数，基础题。 解：由题令得，即，又，所以，1lg21 x1 x1)1( f1)1( g2)1()1( gf 故选择 C。 （7） 【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。 解：由题共有，故选择 D。345 2 6 1 3 1 5 1 2 1 6 2 5 CCCCCC （8） 【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。 解：由向量加法的平行四边形法则，知、可构成菱形的两条相邻边，且、为起点abab 处的对角线长等于菱形的边长，故选择 B。 （9） 【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。 （同理 7） 解：设的中点为 D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成BC 1 A 1 A AB AB 1 CC 的角,由三角余弦定理，易知.故选 D 1 1 3 cocs 4 oscos AD AD A ADDAB A A AB (10) 【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。 解: 函数的图像关于点中心对称cos 2yx3 4 3 ，0 由此易得.故选 A 4 2 32 k 13 () 6 kkZ min | 6 （11） 【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题，综合题。 （同理 10） 解:如图分别作 ,QAA AClC PBB于于于 ，连 PDlD 于,60 ,CQ BDACQPBD 则 ，2 3,3AQBP2ACPD 又 222 122 3PQAQAPAP 当且仅当，即重合时取最小值。故答案选 C。0AP AP点与点 （12） 【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。 解：过点 B 作于 M,并设右准线 与 X 轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意,故.BMll3FAFB 2 | 3 BM 又由椭圆的第二定义,得.故选 A 2 22 | 233 BF |2AF （13） 【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。 （同理 13） 解: 因所以有 rrrr r yxCT 10 101 )1( 373 101010 ()2240CCC （14） 【解析】本小题考查等差数列的性质、前项和，基础题。 （同理 14）n 解: 是等差数列,由,得 n a 9 72S 59 9,Sa 5 8a 。 2492945645 ()()324aaaaaaaaaa (15)【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。 解：设球半径为，圆 M 的半径为，则，即由题得，Rr 3 2 r3 2 r3) 2 ( 22 R R 所以。 1644 22 RR （16） 【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结 合的思想。 解：两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜2 11 |13| dm 1 l o 30 1 l 角为，所以直线的倾斜角等于或。故填写或 o 45m 00 754530 o00 153045 o (17)【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前项和，基础题。n 解：设的公差为，数列的公比为， n ad n b0 q 由得 33 17ab 2 12317dq 得 33 12TS 2 4qqd 由及解得0q 2 , 2 dq 故所求的通项公式为。 1 12(1)21,3 2n nn annb (18)【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。 解：由余弦定理得，Abcbcacos2 222 又 ，0,2 22 bbca ，bAbcb2cos2 2 即 2cos2 Acb 由正弦定理得 sin sin bB cC 又由已知得 sin4cossinBAC ， sin 4cos sin B A C 所以 4 cosbcA 故由解得 4 b (19) 解法一：解法一： （I） 作交于点 E，则，平面 SADMECDSDMEABME 连接 AE，则四边形 ABME 为直角梯形 作，垂足为 F，则 AFME 为矩形MFAB 设，则，MExSEx 222 (2)2AEEDADx 2 (2)2,2MFAExFBx 由 2 tan60 ,(2)23(2)MFFBxx 。得 解得1x 即，从而1ME 1 2 MEDC 所以为侧棱的中点MSC （），又,所以为等边三角形， 22 2MBBCMC60 ,2ABMAB ABM 又由（）知 M 为 SC 中点 ，故2,6,2SMSAAM 222, 90SASMAMSMA 取 AM 中点 G，连结 BG，取 SA 中点 H，连结 GH，则,由此知,BGAM GHAM 为二面角的平面角BGHSAMB 连接，在中，BHBGH 22 31222 3, 2222 BGAMGHSMBHABAH 所以 222 6 cos 23 BGGHBH BGH BG GH 二面角的大小为SAMB 6 arccos() 3 解法二解法二: : 以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 D-xyz 设，则( 2,0,0)A( 2,2,0),(0,2,0), (0,0,2)BCS （）设,则(0)SMMC 2222 (0,),( 2,) 1111 MMB 又(0,2,0),60ABMB AB 故| |cos60MBABMBAB 即 222 422 ( 2)()() 111 解得，即1SMMC 所以 M 为侧棱 SC 的中点 （II） 由，得 AM 的中点(0,1,1), ( 2,0,0)MA 2 1 1 (, ) 22 2 G 又 2 31 (,),(0, 1,1),(2,1,1) 222 GBMSAM 0,0GBAMMSAM 所以,GBAM MSAM 因此等于二面角的平面角,GB MSSAMB 6 cos, 3| | GB MS GB MS GBMS 所以二面角的大小为SAMB 6 arccos() 3 (20)【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率， 综合题。 解：记“第 局甲获胜”为事件， “第局乙获胜”为事件i)5 , 4 , 3( iAij 。(3,4,5) j Bj （）设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A，则 ，由于各局比赛结果相互独立，故 4343 BBAAA 34343434 ( )()()()P AP AABBP AAP BB 3434 () ()() ()P A P AP B P B 52 . 0 4 . 04 . 06 . 06 . 0 （）记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B，因前两局中，甲、乙各胜 1 局，故甲获 得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2 局，从而 ，由于各局比赛结果相互独立，故 54354343 ABAAABAAB )()( 54354343 ABAAABAAPBP 648 . 0 6 . 04 . 06 . 06 . 06 . 04 . 06 . 06 . 0 )()()()()()()()( )()()( 54354343 54354343 APBPAPAPAPBPAPAP ABAPAABPAAP （21） 【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。 解：（） 3 66 ( )464 ()() 22 fxxxx xx 令得或；( )0fx 0 2 6 x 2 6 x 令得或( )0fx 2 6 x 2 6 0 x 因此，在区间和为增函数；在区间和 xf) 0 , 2 6 ( ), 2 6 ( ) 2 6 ,( 为减函数。) 2 6 , 0 ( （）设点，由 过原点知， 的方程为，)(,( 00 xfxPll 0 ()yfx x 因此， 000 ()()f xx fx 即，0)64(63 0 3 00 2 0 4 0 xxxxx 整理得，0)2)(1( 2 0 2 0 xx 解得或2 0 x2 0 x 因此切线 的方程为或lxy2 2 2yx (22)解：解：（）将抛物线代入圆的方程，消 2 :E yx 222 :(4)(0)Mxyrr 去， 2 y 整理得 22 7160 xxr 与有四个交点的充要条件是：方程有两个不相等的正根EM 12 xx、 由此得 22 12 2 12 ( 7)4(16)0 70 160 r xx xxr A 解得 2 15 16 4 r 又0r 所以的取值范围是r 15 (,4) 2 （II） 设四个交点的坐标分别为、 11 ( ,)A xx 、。 11 ( ,)B xx 22 (,)C xx 22 (,)D xx 则由