四川绵阳高三数学第三次诊断性考试理

绵阳市高2013级第三次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分AADCD CBBAD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11212-5401311.514-m 15三、解答题：本大题共6小题，共75分 16解 ：（I）第四组的人数为1-(0.004+0.008+0.016+0.04)1050=16，中位数为40+0.5-(0.004+0.016)100.04=47.54分（II）据题意，第一组有0.0041050=2人，第五组有0.0081050=4人，于是=0，1，2， P(=0)=，P(=1)=，P(=2)=， 的分布列为012P 10分 E=0+1+2=1 12分17解：（I）在ABC中，由正弦定理有，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， 代入b=acosC+csinA中，即得2RsinB=2RsinAcosC+2RsinCsinA， sinB=sinAcosC+sinCsinA3分 sinB=sin-(A+C)=sin(A+C)， sin(A+C)=sinAcosC+sinCsinA，即sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinCsinA，整理得，cosAsinC=sinCsinA，由sinC0，可得cosA=sinA， A= 5分（II）在ABC中，sinB=，由即，解得AC=，7分又 cosC=cos-(A+B)=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-+=， AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC=32+25-25=49， AB=7， 10分 于是由可得BD=1， CD2=BD2+BC2-2BDBCcosB=1+25-215=20， CD=12分18解：（I）当n=1时，a1=S1=，整理得(a1-1)2=0，解得a1=1当n2时，an=Sn-=，整理得，即， an0， 0， ， an是首项为1，公差为2的等差数列， an=1+2(n-1)=2n-1 5分（II）， Tn=+ = = =， 8分由题知(2n+1)对nN*恒成立，即 对nN*恒成立， 9分令bn=，则， 对nN*，2n+13， -(2n+1)2+20，即，于是， bn是单调递减数列， 11分即数列bn的最大值为b1=， ，即的最小值为12分19（I）证明：由题意，AD/EF， EF面BEF，AD面BEF， AD/面BEF 2分又 AD面ABCD，面ABCD面BEF=l， AD/l， 3分由主视图可知，ADCD，由侧视图可知，DEAD， CDAD=D， AD面CDE l面CDE6分（II）如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，E(0，0，1)，F(1，0，1)，ABCDEFxyzM =(1，0，0)，=(0，-1，1)，7分设面BEF的一个法向量n=(x，y，z)，则由n=0，n=0可得 令y=1，则z=1， n=(0，1，1)， 9分设M(0，0，m)，则=(0，2，-m)， cos=，解得m=或m=6（舍），即存在满足点M，此时M的位置在线段DE的处（靠近E点）12分20解：（I）设焦点F(c，0)，则，从而a2=2c2，由题意有，即，解得b2=2，又由a2=b2+c2，于是2c2=2+c2，解得c2=2，a2=4， 椭圆E的方程为 4分（II）依题意可知BCAC，且BCO=ACO=45，于是直线BC的斜率为kBC=1，直线AC的斜率为kAC=-1， 6分xyCBAO设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(0，y0)，则， x1=y0-y1=-k(x1-1)+y0，x2=y2-y0=k(x2+1)-y0，相加得x1+x2=k(x2-x1) 8分联立 消去y，整理得(1+2k2)x2+4kx-2=0， x1+x2=，x1x2=10分把x1+x2=k(x2-x1)两边同时平方，可得(x1+x2)2=k2(x1+x2)2-4x1x2，代入可得()2=k2()2-4()，化简可得4k2+1=2，或k2=0，解得k=，或k=0，即存在满足条件的k值，k=，或k=013分21解：（I）， a0，1-0，0，x0， 当xa时，0；0xa时，0，x00，使得0时，ln(x+1)x，则， 故0 7分设=ln(x+1)+(m-1)x，m0，x0，则，当m1时，0，在(0，+)上单调递增， 对x00均有(x0) (0)=0恒成立，当0m0可得0x，由，于是在(0，)上是增函数，在(，+)是减函数， 对x0(0，)均有(x0) (0)=0恒成立综上，对任意正数m，都存在正数x0满足条件 10分（