四川眉山办学共同体学高二数学上学期考试理

眉山一中办学共同体2020届第三期12月月考试题数学（理科） 第I卷（选择题）一、选择题：（共60分，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1经过点(，2)，倾斜角为60的直线方程是（ C ）A B C D【解析】 由点斜式可知直线方程为 【答案】C2平面内动点到定点的距离之和为6，则动点的轨迹是（ C ）A. 双曲线 B. 椭圆 C.线段 D.不存在3方程yax表示的直线可能是(B)4已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，则实数的值为(D)A2 B C. D2【解析】由题意知a(ab)0，即a2ab0，所以1470，解得2. 答案D5已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ D ）A. B. C. D. 6设是三条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若，则；若，则；若是两条异面直线，且，则；若，则；其中正确命题的序号是( A )A B. C. D.7若动点分别在直线：和：上移动，则中点的轨迹方程为（ D ）A B C D 8 直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M、N分别是A1B1、A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为(C)A. B. C. D.解析方法一由于BCA90，三棱柱为直三棱柱，且BCCACC1，可将三棱柱补成正方体建立如图(1)所示空间直角坐标系设正方体棱长为2，则可得A(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,1,2)，N(0,1,2)，(1，1,2)，(0,1,2)cos，.方法二通过平行关系找出两异面直线的夹角，再根据余弦定理求解如图(2)，取BC的中点D，连接MN，ND，AD，由于MNB1C1BD，因此有NDBM，则ND与NA所成的角即为异面直线BM与AN所成的角设BC2，则BMND，AN，AD，因此cosAND.9已知圆，点是圆内的一点，过点的圆的最短弦在直线上，直线的方程为，那么直线满足（ ）A且与圆相交 B.且与圆相切C且与圆相离 D.且与圆相离10已知直线y=2x+1与椭圆交于A、B两点，且线段AB的中点在直线x4y=0上，则椭圆的离心率为（）A B C D【解答】设A（x1，y1），B（x2，y2），由A、B在椭圆上：+=1， +=1，两式相减，得： + =0，kAB = =， 由题意可知：，解得：，则线段AB的中点（，），则：x1+x2=，y1+y2=，kAB = =2， 即: =2， a2=2b2，椭圆的离心率e=，故选D11如图所示，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为3，底面边长A1C1B1C11，且A1C1B190，D点在棱AA1上且AD2DA1，P点在棱C1C上，则的最小值为(B)A. B C. D解析建立如图所示的空间直角坐标系，则D(1,0,2)，B1(0,1,3)，设P(0,0，z)，则(1,0,2z)，(0,1,3z)，00(2z)(3z)(z)2，故当z时，取得最小值为.12如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点若四边形为矩形，则的离心率是 ( D ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题）二、填空题（共20分，每小题5分）13过点 且平行于直线 的直线方程为_14若变量满足约束条件则的最大值是_7_15若直线ykx1与曲线x有两个不同的交点，则k的取值范围是_解析：由x，得x24y21(x0)，又直线ykx1过定点(0,1)，故问题转化为过定点(0,1)的直线与椭圆在y轴右侧的部分有两个公共点，当直线与椭圆(右侧部分)相切时，k，则相交时k.答案：(，)16如图所示，已知二面角l的平面角为 ，ABBC，BCCD，AB在平面内，BC在l上，CD在平面内，若ABBCCD1，则AD的长为_解析因为，_ 所以22222221112cos()32cos .所以|，即AD的长为.三、解答题：(共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本题满分10分）已知直角的顶点的坐标为，直角顶点的坐标为，顶点在x轴上（1）求边所在直线的方程； （2）求直线的斜边中线所在的直线的方程【答案】（1）； （2）直角的斜边中线的方程为 （2）lBC: ，点在坐标轴上，由，得：，即， 斜边的中点为，故直角的斜边中线为（为坐标原点），设直线，代入，得，直角的斜边中线的方程为18（本题满分12分）已知、分别是双曲线的左、右焦点，焦距为，渐近线方程为.(1)求双曲线的标准方程； (2)过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，求线段的长度.解：（1）由题意：；（2）由双曲线的方程得：，所以直线AB的方程为，将其代入双曲线方程消去y得，解之得. 将代入，得，故,，故.19（本小题满分12分）已知线段AB的端点B的坐标，端点A在圆上运动，C为圆心（1）求线段AB的中点M的轨迹；（2）过B点的直线l与圆有两个交点M、N. 当CMCN时，求l的斜率解：（1）设动点M，端点A，则有: 代入圆中得到：（2） 设直线l的方程为：，由CMCN知：点C到直线l的距离等于,即:，20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，动点到两点、的距离之和等于4设点的轨迹为(1)求曲线C的方程； (2)设直线与交于两点，若，求的值.解：（1）设P（x，y）,由椭圆定义可知:点P的轨迹C是以、为焦点，a=2，c=的椭圆.短半轴 故曲线C的方程为. 4分（2）设，其坐标满足， 消去y并整理得:3=0，(*) 6分 故 若即 则:， 10分 化简得所以 满足(*)中，故为所求. 12分21.（本题满分12分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E为棱AA1的中点(1)证明：B1C1CE；(2)求二面角B1CEC1的正弦值； (1)证明如图，以点A为原点，分别以AD，AA1，AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)易得(1,0，1)，(1,1，1)，于是0，所以B1C1CE.(2)解(1，2，1)设平面B1CE的法向量m(x，y，z)，则即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一个法向量为m(3，2,1)由(1)知，B1C1CE，又CC1B1C1，可得B1C1平面CEC1，故(1,0，1)为平面CEC1的一个法向量于是cosm，从而sinm，所以二面角B1CEC1的正弦值为.22.（本小题满分12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为E，过F1与x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M(，)（1）求椭圆C的方程；（2）设过定点（1，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，直线AE、BE的斜率为k1、k2（k10，k20），证明：k1k2为定值【解】（1）由已知中过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M