江苏高考数学备考笔记

1 高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系元素与集合的关系 , ,. . U xAxC A U xC AxA 2.2.德摩根公式德摩根公式 . . ();() UUUUUU CABC AC B CABC AC BIUUI 3.3.包含关系包含关系 ABAABBIU UU ABC BC A U AC B I 6 6 U C ABRU 4.4.容斥原理容斥原理 ()()card ABcardAcardBcard ABUI ()()card ABCcardAcardBcardCcard ABUUI . . ()()()()card ABcard BCcard CAcard ABCIIIII 5 5集合集合的子集个数共有的子集个数共有 个；真子集有个；真子集有1 1 个；非空子集有个；非空子集有 12 , n a aaL2n2n2n 1 1 个；非空的真子集有个；非空的真子集有2 2 个个. . 2n 6.6.二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式的三种形式 (1)(1)一般式一般式; ; 2 ( )(0)f xaxbxc a (2)(2)顶点式顶点式; ; 2 ( )()(0)f xa xhk a (3)(3)零点式零点式. . 12 ( )()()(0)f xa xxxxa 7.解连不等式解连不等式常有以下转化形式常有以下转化形式 ( )Nf xM ( )Nf xM ( ) ( )0f xMf xN |( )| 22 MNMN f x ( ) 0 ( ) f xN Mf x . . 11 ( )f xNMN 8.8.方程方程在在上有且只有一个实根上有且只有一个实根, ,与与不等价不等价, ,前者是后前者是后0)(xf),( 21 kk0)()( 21 kfkf 者的一个必要而不是充分条件者的一个必要而不是充分条件. .特别地特别地, , 方程方程有且只有一个实根在有且只有一个实根在)0(0 2 acbxax 内内, ,等价于等价于, ,或或且且, ,或或且且),( 21 kk0)()( 21 kfkf0)( 1 kf 22 21 1 kk a b k 0)( 2 kf . . 2 21 22 k a bkk 9.9.闭区间上的二次函数的最值闭区间上的二次函数的最值 二次函数二次函数在闭区间在闭区间上的最值只能在上的最值只能在处及区处及区)0()( 2 acbxaxxfqp, a b x 2 间的两端点处取得，具体如下：间的两端点处取得，具体如下： (1)(1)当当a0a0 时，若时，若，则，则qp a b x, 2 ； minmaxmax ( )(),( )( ),( ) 2 b f xff xf pf q a 2 ，. . qp a b x, 2 maxmax ( )( ),( )f xf pf q minmin ( )( ),( )f xf pf q (2)(2)当当a0) （1 1），则，则的周期的周期 T=aT=a； )()(axfxf)(xf （2 2）， 0)()(axfxf 5 或或， )0)( )( 1 )(xf xf axf 或或, , 1 () ( ) f xa f x ( ( )0)f x 或或, ,则则的周期的周期 T=2aT=2a； 2 1 ( )( )(),( ( )0,1 ) 2 f xfxf xaf x)(xf (3)(3)，则，则的周期的周期 T=3aT=3a； )0)( )( 1 1)( xf axf xf)(xf (4)(4)且且， 则， 则 )()(1 )()( )( 21 21 21 xfxf xfxf xxf 1212 ( )1( ()()1,0 | 2 )f af xf xxxa 的周期的周期 T=4aT=4a； )(xf (5)(5) ( )()(2 ) (3 )(4 )f xf xaf xa f xaf xa , ,则则的周期的周期 T=5aT=5a； ( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f xa f xa f xa f xa)(xf (6)(6)，则，则的周期的周期 T=6a.T=6a. )()()(axfxfaxf)(xf 30.30.分数指数幂分数指数幂 (1)(1)（，且，且）. . 1 m n nm a a 0,am nN 1n (2)(2)（，且，且）. . 1 m n m n a a 0,am nN 1n 3131根式的性质根式的性质 （1 1）. . ()n n aa （2 2）当）当为奇数时，为奇数时，； n nn aa 当当为偶数时，为偶数时，. . n ,0 | ,0 nn a a aa a a 3232有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质 (1)(1) . . (0, ,) rsr s aaaar sQ (2)(2) . . ()(0, ,) rsrs aaar sQ (3)(3). . ()(0,0,) rrr aba b abrQ 注：注： 若若a a0 0，p p是一个无理数，则是一个无理数，则a ap p表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性 质，对于无理数指数幂都适用质，对于无理数指数幂都适用. . 33.33.指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式 . . log b a NbaN(0,1,0)aaN 34.34.对数的换底公式对数的换底公式 ( (, ,且且, , ,且且, , ).). log log log m a m N N a 0a 1a 0m 1m 0N 推论推论 ( (, ,且且, , ,且且, , , ).). loglog m n a a n bb m 0a 1a ,0m n 1m 1n 0N 3535对数的四则运算法则对数的四则运算法则 若若 a a0 0，a a1 1，M M0 0，N N0 0，则，则 (1)(1); ; log ()loglog aaa MNMN (2)(2) ; ; logloglog aaa M MN N 6 (3)(3). . loglog() n aa MnM nR 36.36.设函数设函数, ,记记. .若若的定义域为的定义域为)0)(log)( 2 acbxaxxf m acb4 2 )(xf , ,则则，且，且; ;若若的值域为的值域为, ,则则，且，且. .对于对于的情形的情形, ,需要需要R0a0)(xfR0a00a 单独检验单独检验. . 37.37. 对数换底不等式及其推广对数换底不等式及其推广 若若, , , , ,则函数则函数 0a 0b 0 x 1 x a log () ax ybx (1)(1)当当时时, ,在在和和上上为增函数为增函数. . ab 1 (0,) a 1 (,) a log () ax ybx ， (2)(2)当当时时, ,在在和和上上为减函数为减函数. . ab 1 (0,) a 1 (,) a log () ax ybx 推论推论:设设，且，且，则，则 1nm0p 0a 1a （1）. . log()log mpm npn （2）. . 2 logloglog 2 aaa mn mn 38.38. 平均增长率的问题平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为如果原来产值的基础数为 N N，平均增长率为，平均增长率为，则对于时间，则对于时间的总产值的总产值，有，有pxy . . (1)xyNp 39.39.数列的同项公式与前数列的同项公式与前 n n 项的和的关系项的和的关系 ( ( 数列数列的前的前 n n 项的和为项的和为).). 1 1 ,1 ,2 n nn sn a ssn n a 12nn saaaL 40.40.等差数列的等差数列的通项公式通项公式 ； * 11 (1)() n aanddnad nN 其前其前 n n 项和公式为项和公式为 1 () 2 n n n aa s 1 (1) 2 n n nad . . 2 1 1 () 22 d nad n 41.41.等比数列的等比数列的通项公式通项公式 ； 1* 1 1 () nn n a aa qqnN q 其前其前 n n 项的和公式为项的和公式为 1 1 (1) ,1 1 ,1 n n aq q sq na q 或或. . 1 1 ,1 1 ,1 n n aa q q qs na q 42.42.等比差数列等比差数列: :的通项公式为的通项公式为 n a 11 ,(0) nn aqad ab q 7 ； 1 (1) ,1 () ,1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q 其前其前 n n 项和公式为项和公式为 . . (1) ,(1) 1 (),(1) 111 n n nbn ndq s dqd bn q qqq 43.分期付款分期付款(按揭贷款按揭贷款) 每次还款每次还款元元(贷款贷款元元,次还清次还清,每期利率为每期利率为). (1) (1)1 n n abb x b anb 44常见三角不等式常见三角不等式 （1）若）若，则，则. (0,) 2 x sintanxxx (2) 若若，则，则. (0,) 2 x 1sincos2xx (3) . |sin|cos| 1xx 45.45.同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 ，= =，. . 22 sincos1tan cos sin tan1cot 46.46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 2 1 2 ( 1) sin , sin() 2 ( 1)s , n n n co 2 1 2 ( 1)s , s() 2 ( 1)sin, n n co n co 47.47.和角与差角公式和角与差角公式 ; ; sin()sincoscossin ; ; cos()coscossinsinm . . tantan tan() 1tantan m ( (平方正弦公式平方正弦公式);); 22 sin()sin()sinsin . . 22 cos()cos()cossin = =( (辅助角辅助角所在象限由点所在象限由点的象限决定的象限决定, ,sincosab 22 sin()ab( , )a b ).). tan b a 48.48.二倍角公式二倍角公式 . . sin2sincos . . 2222 cos2cossin2cos11 2sin (n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数) 8 . . 2 2tan tan2 1tan 49.49. 三倍角公式三倍角公式 . . 3 sin33sin4sin4sinsin()sin() 33 . . 3 cos34cos3cos4coscos()cos() 33 . . 3 2 3tantan tan3tantan()tan() 1 3tan33 50.50.三角函数的周期公式三角函数的周期公式 函数函数，x xR R 及函数及函数，x xR(R(A,A, ,为常数，且为常数，且 A Asin()yxcos()yx 0 0，0 0) )的周期的周期；函数；函数，( (A,A, ,为常数，为常数， 2 T tan()yx, 2 xkkZ 且且 A A0 0，0 0) )的周期的周期. . T 51.51.正弦定理正弦定理 . . 2 sinsinsin abc R ABC 52.52.余弦定理余弦定理 ; ; 222 2cosabcbcA ; ; 222 2cosbcacaB . . 222 2coscababC 53.53.面积定理面积定理 （1 1）（分别表示分别表示 a a、b b、c c 边上的高）边上的高）. . 111 222 abc Sahbhch abc hhh、 、 （2 2）. . 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB (3)(3). . 22 1 (| |)() 2 OAB SOAOBOA OB uu u ruuu ruu u r uuu r 54.54.三角形内角和定理三角形内角和定理 在在ABCABC 中，有中，有 ()ABCCAB . . 222 CAB 222()CAB 55.55. 简单的三角方程的通解简单的三角方程的通解 . . sin( 1) arcsin (,| 1) k xaxka kZa . . s2arccos (,| 1)co xaxka kZa . . tanarctan (,)xaxka kZ aR 特别地特别地, ,有有 . . sinsin( 1)() k kkZ . . scos2()cokkZ . . tantan()kkZ 56.56.最简单的三角不等式及其解集最简单的三角不等式及其解集 . . sin(| 1)(2arcsin ,2arcsin ),xa axkaka kZ . . sin(| 1)(2arcsin ,2arcsin ),xa axkaka kZ 9 . . cos(| 1)(2arccos ,2arccos ),xa axkaka kZ . . cos(| 1)(2arccos ,22arccos ),xa axkaka kZ . . tan()(arctan ,), 2 xa aRxka kkZ . . tan()(,arctan ), 2 xa aRxkka kZ 57.57.实数与向量的积的运算律实数与向量的积的运算律 设、为实数，那么设、为实数，那么 (1)(1) 结合律：结合律：( (a)=(a)=()a;)a; (2)(2)第一分配律：第一分配律：( (+ +)a=)a=a+a+a;a; (3)(3)第二分配律：第二分配律：(a+b)=(a+b)=a+a+b.b. 58.58.向量的数量积的运算律：向量的数量积的运算律： (1)(1) a ab=b= b ba a （交换律）（交换律）; ; (2)(2)（a a）b=b= （a ab b）= =a ab=b= a a（b b）; ; (3)(3)（a a+b+b）c=c= a a c c +b+bc.c. 59.59.平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果e e1 1、e e 2 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且 只有一对实数只有一对实数1 1、2 2，使得，使得 a=a=1 1e e1 1+ +2 2e e2 2 不共线的向量不共线的向量 e e1 1、e e2 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 6060向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示 设设 a=a=,b=,b=，且，且 b b0 0，则，则 a a b(bb(b0)0). . 11 ( ,)x y 22 (,)xyP 1221 0 x yx y 53.53. a a与与 b b 的数量积的数量积( (或内积或内积) ) a ab=|b=|a a|b|cos|b|cos 61.61. ab 的几何意义的几何意义 数量积数量积 ab 等于等于 a 的长度的长度|a|与与 b 在在 a 的方向上的投影的方向上的投影|b|cos的乘积的乘积 62.62.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 (1)(1)设设 a=a=,b=,b=，则，则 a+b=a+b=. . 11 ( ,)x y 22 (,)xy 1212 (,)xxyy (2)(2)设设 a=a=,b=,b=，则，则 a-b=a-b=. . 11 ( ,)x y 22 (,)xy 1212 (,)xxyy (3)(3)设设 A A，B B, ,则则. . 11 ( ,)x y 22 (,)xy 2121 (,)ABOBOAxx yy uuu ruuu ruu u r (4)(4)设设 a=a=，则，则a=a=. . ( , ),x yR(,)xy (5)(5)设设 a=a=,b=,b=，则，则 a ab=b=. . 11 ( ,)x y 22 (,)xy 1212 ()x xy y 63.63.两向量的夹角公式两向量的夹角公式 ( (a a= =,b=,b=).). 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy 11 ( ,)x y 22 (,)xy 64.64.平面两点间的距离公式平面两点间的距离公式 = = ,A B d|ABAB AB uuu ruuu r uuu r (A(A，B B).). 22 2121 ()()xxyy 11 ( ,)x y 22 (,)xy 65.65.向量的平行与垂直向量的平行与垂直 设设 a=a=,b=,b=，且，且 b b0 0，则，则 11 ( ,)x y 22 (,)xy A|bA|bb=b=a a . . 1221 0 x yx y a ab(ab(a0)0)a ab=0b=0. . 1212 0 x xy y 66.66.线段的定比分公式线段的定比分公式 设设，是线段是线段的分点的分点, ,是实数，且是实数，且， 则则 111 ( ,)P x y 222 (,)P xy( , )P x y 12 PP 12 PPPP uuu ruuu r 10 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP uuu ruuu r uuu r （）. . 12 (1)OPtOPt OP uuu ruuu ruuu r 1 1 t 67.67.三角形的重心坐标公式三角形的重心坐标公式 ABCABC 三个顶点的坐标分别为三个顶点的坐标分别为、, ,则则ABCABC 的重心的坐的重心的坐 11 A(x ,y ) 22 B(x ,y ) 33 C(x ,y ) 标是标是. . 123123 (,) 33 xxxyyy G 68.68.点的平移公式点的平移公式 . . xxhxxh yykyyk OPOPPP uuu ruuu r uuu r 注注: :图形图形 F F 上的任意一点上的任意一点 P(xP(x，y)y)在平移后图形在平移后图形上的对应点为上的对应点为，且，且的的 F ( ,)P x y PP uuu r 坐标为坐标为. . ( , )h k 69.69.“按向量平移”的几个结论“按向量平移”的几个结论 （1 1）点）点按向量按向量 a=a=平移后得到点平移后得到点. . ( , )P x y( , )h k ( ,)P xh yk (2)(2) 函数函数的图象的图象按向量按向量 a=a=平移后得到图象平移后得到图象, ,则则的函数解析式为的函数解析式为( )yf xC( , )h k C C . . ()yf xhk (3)(3) 图象图象按向量按向量 a=a=平移后得到图象平移后得到图象, ,若若的解析式的解析式, ,则则的函数的函数 C( , )h kCC( )yf x C 解析式为解析式为. . ()yf xhk (4)(4)曲 线曲 线: :按 向 量按 向 量 a=a=平 移 后 得 到 图 象平 移 后 得 到 图 象, ,则则的 方 程 为的 方 程 为C( , )0f x y ( , )h k C C . . (,)0f xh yk (5)(5) 向量向量 m=m=按向量按向量 a=a=平移后得到的向量仍然为平移后得到的向量仍然为 m=m=. . ( , )x y( , )h k( , )x y 70.70. 三角形五“心”向量形式的充要条件三角形五“心”向量形式的充要条件 设设为为所在平面上一点，角所在平面上一点，角所对边长分别为所对边长分别为，则，则 OABC, ,A B C, ,a b c （1 1）为为的外心的外心. . OABC 222 OAOBOC uu u ruuu ruuu r （2 2）为为的重心的重心. . OABC0OAOBOC uu u ruuu ruuu rr （3 3）为为的垂心的垂心. . OABCOA OBOB OCOC OA uu u r uuu ruuu r uuu ruuu r uu u r （4 4）为为的内心的内心. . OABC0aOAbOBcOC uu u ruuu ruuu rr （5 5）为为的的的旁心的旁心. . OABCAaOAbOBcOC uu u ruuu ruuu r 71.71.常用不等式：常用不等式： （1 1）( (当且仅当当且仅当 a ab b 时取时取“=”“=”号号) ) , a bR 22 2abab （2 2）( (当且仅当当且仅当 a ab b 时取时取“=”“=”号号) ) , a bR 2 ab ab （3 3） 333 3(0,0,0).abcabc abc （4 4）柯西不等式）柯西不等式 22222 ()()() , , , ,.abcdacbda b c dR （5 5）. . bababa 72.72.极值定理极值定理 已知已知都是正数，则有都是正数，则有 yx, 11 （1 1）若积）若积是定值是定值，则当，则当时和时和有最小值有最小值； xypyx yx p2 （2 2）若和）若和是定值是定值，则当，则当时积时积有最大值有最大值. . yx syx xy 2 4 1 s 推广推广 已知已知，则有，则有 Ryx,xyyxyx2)()( 22 （1 1）若积）若积是定值是定值, ,则当则当最大时最大时, ,最大；最大； xy|yx |yx 当当最小时最小时, ,最小最小. . |yx |yx （2 2）若和）若和是定值是定值, ,则当则当最大时最大时, , 最小；最小； |yx |yx | xy 当当最小时最小时, , 最大最大. . |yx | xy 73.73.一 元 二 次 不 等 式一 元 二 次 不 等 式， 如 果， 如 果与与 2 0(0)axbxc或 2 (0,40)abac a 同号，则其解集在两根之外；如果同号，则其解集在两根之外；如果与与异号，则其解集在两异号，则其解集在两 2 axbxca 2 axbxc 根之间根之间. .简言之：同号两根之外，异号两根之间简言之：同号两根之外，异号两根之间. . ； 121212 ()()0()xxxxxxxxx . . 121212 ,()()0()xxxxxxxxxx或 74.74.含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式 当当 aa 0 0 时，有时，有 . . 2 2 xaxaaxa 或或. . 22 xaxaxaxa 75.75.无理不等式无理不等式 （1 1） . . ( )0 ( )( )( )0 ( )( ) f x f xg xg x f xg x （2 2）. . 2 ( )0 ( )0 ( )( )( )0 ( )0 ( ) ( ) f x f x f xg xg x g x f xg x 或 （3 3）. . 2 ( )0 ( )( )( )0 ( ) ( ) f x f xg xg x f xg x 76.76.指数不等式与对数不等式指数不等式与对数不等式 (1)(1)当当时时, , 1a ; ; ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x . . ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x (2)(2)当当时时, , 01a ; ; ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x 77.斜率公式斜率公式 12 （、）. 21 21 yy k xx 111 ( ,)P x y 222 (,)P xy 78.直线的五种方程直线的五种方程 （1）点斜式）点斜式 ( (直线直线 过点过点，且斜率为，且斜率为) 11 ()yyk xxl 111 ( ,)P x yk （2 2）斜截式）斜截式 (b(b 为直线为直线 在在 y y 轴上的截距轴上的截距).). ykxbl （3 3）两点式）两点式 ( ()()(、 ( ().). 11 2121 yyxx yyxx 12 yy 111 ( ,)P x y 222 (,)P xy 12 xx (4)(4)截距式截距式 ( (分别为直线的横、纵截距，分别为直线的横、纵截距，) ) 1 xy ab ab、0ab 、 （5 5）一般式）一般式 (其中其中 A、B 不同时为不同时为 0). 0AxByC 79.两条直线的平行和垂直两条直线的平行和垂直 (1)若若， 111 :lyk xb 222 :lyk xb ; 121212 |,llkk bb . 1212 1llk k (2)若若,且且 A1、A2、B1、B2都不为零都不为零, 1111 :0lAxB yC 2222 :0lA xB yC ； 111 12 222 | ABC ll ABC ； 121212 0llA AB B 80.夹角公式夹角公式 (1). 21 2 1 tan| 1 kk k k (，,) 111 :lyk xb 222 :lyk xb 12 1k k (2). 1221 1212 tan| ABA B A AB B (,). 1111 :0lAxB yC 2222 :0lA xB yC 1212 0A AB B 直线直线时，直线时，直线 l1与与 l2的夹角是的夹角是. 12 ll 2 81. 到到的角公式的角公式 1 l 2 l (1). 21 2 1 tan 1 kk k k (，,) 111 :lyk xb 222 :lyk xb 12 1k k (2). 1221 1212 tan ABA B A AB B (,). 1111 :0lAxB yC 2222 :0lA xB yC 1212 0A AB B 直线直线时，直线时，直线 l1到到 l2的角是的角是. 12 ll 2 8282四种常用直线系方程四种常用直线系方程 (1)(1)定点直线系方程：经过定点定点直线系方程：经过定点的直线系方程为的直线系方程为( (除直线除直线 000 (,)P xy 00 ()yyk xx ),),其 中其 中是 待 定 的 系 数是 待 定 的 系 数 ; ; 经 过 定 点经 过 定 点的 直 线 系 方 程 为的 直 线 系 方 程 为 0 xxk 000 (,)P xy , ,其中其中是待定的系数是待定的系数 00 ()()0A xxB yy,A B (2)(2)共点直线系方程：经过两直线共点直线系方程：经过两直线, ,的交的交 1111 :0lAxB yC 2222 :0lA xB yC 13 点的直线系方程为点的直线系方程为( (除除) )，其中是待定的系，其中是待定的系 111222 ()()0AxB yCA xB yC 2 l 数数 (3)(3)平行直线系方程：直线平行直线系方程：直线中当斜率中当斜率 k k 一定而一定而 b b 变动时，表示平行直线变动时，表示平行直线ykxb 系方程与直线系方程与直线平行的直线系方程是平行的直线系方程是( () )，是是0AxByC0AxBy0 参变量参变量 (4)(4)垂直直线系方程：与直线垂直直线系方程：与直线 (A(A0 0，B B0)0)垂直的直线系方程是垂直的直线系方程是0AxByC , ,是参变量是参变量 0BxAy 83.点到直线的距离点到直线的距离 (点点,直线直线 ：). 00 22 |AxByC d AB 00 (,)P xyl0AxByC 84.84. 或或所表示的平面区域所表示的平面区域 0AxByC0 设直线设直线，则，则或或所表示的平面区域是：所表示的平面区域是： :0l AxByC0AxByC0 若若， 当， 当与与同 号 时 ， 表 示 直 线同 号 时 ， 表 示 直 线的 上 方 的 区 域 ； 当的 上 方 的 区 域 ； 当与与0B BAxByClB 异号时，表示直线异号时，表示直线 的下方的区域的下方的区域.简言之简言之,同号在上同号在上,异号在下异号在下. AxByCl 若若， 当， 当与与同 号 时 ， 表 示 直 线同 号 时 ， 表 示 直 线的 右 方 的 区 域 ； 当的 右 方 的 区 域 ； 当与与0B AAxByClA 异号时，表示直线异号时，表示直线 的左方的区域的左方的区域. 简言之简言之,同号在右同号在右,异号在左异号在左. AxByCl 85.85. 或或所表示的平面区域所表示的平面区域 111222 ()()0AxB yCA xB yC0 设曲线设曲线（） ，则，则 111222 :()()0CAxB yCA xB yC 1212 0A A B B 或或所表示的平面区域是：所表示的平面区域是： 111222 ()()0AxB yCA xB yC0 所表示的平面区域上下两部分；所表示的平面区域上下两部分； 111222 ()()0AxB yCA xB yC 所表示的平面区域上下两部分所表示的平面区域上下两部分. . 111222 ()()0AxB yCA xB yC 86. 圆的四种方程圆的四种方程 （1 1）圆的标准方程）圆的标准方程 . . 222 ()()xaybr （2 2）圆的一般方程）圆的一般方程 ( (0).0). 22 0 xyDxEyF 22 4DEF （3 3）圆的参数方程）圆的参数方程 . . cos sin xar ybr （4 4）圆的直径式方程）圆的直径式方程 ( (圆的直径的端点是圆的直径的端点是 1212 ()()()()0 xxxxyyyy 、).). 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy 87.87. 圆系方程圆系方程 (1)(1)过点过点, ,的圆系方程是的圆系方程是 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy 1212112112 ()()()()()()()()0 xxxxyyyyxxyyyyxx , ,其 中其 中是 直 线是 直 线 1212 ()()()()()0 xxxxyyyyaxbyc0axbyc 的方程的方程, ,是待定的系数是待定的系数 AB (2)(2)过直线过直线 : :与圆与圆: :的交点的圆系方程的交点的圆系方程l0AxByCC 22 0 xyDxEyF 是是, ,是待定的系数是待定的系数 22 ()0 xyDxEyFAxByC (3)(3) 过圆过圆: :与圆与圆: :的交的交 1 C 22 111 0 xyD xE yF 2 C 22 222 0 xyD xE yF 点的圆系方程是点的圆系方程是, ,是待定的是待定的 2222 111222 ()0 xyD xE yFxyD xE yF 系数系数 88.88.点与圆的位置关系点与圆的位置关系 点点与圆与圆的位置关系有三种的位置关系有三种 00 (,)P xy 222 )()(rbyax 若若，则，则 22 00 ()()daxby 14 点点在圆外在圆外; ;点点在圆上在圆上; ;点点在圆内在圆内. . drPdrPdrP 89.89.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 直线直线与圆与圆的位置关系有三种的位置关系有三种: : 0CByAx 222 )()(rbyax ; ; 0相离rd ; ; 0相切rd . . 0相交rd 其中其中. . 22 BA CBbAa d 90.90.两圆位置关系的判定方法两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为设两圆圆心分别为 O O1 1，O O2 2，半径分别为，半径分别为 r r1 1，r r2 2， dOO 21 ; ; 条公切线外离4 21 rrd ; ; 条公切线外切3 21 rrd ; ; 条公切线相交2 2121 rrdrr ; ; 条公切线内切1 21 rrd . . 无公切线内含 21 0rrd 91.91.圆的切线方程圆的切线方程 (1)(1)已知圆已知圆 22 0 xyDxEyF 若已知切点若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是在圆上，则切线只有一条，其方程是 00 (,)xy . . 00 00 ()() 0 22 D xxE yy x xy yF 当当圆外时圆外时, , 表示过两个切点的表示过两个切点的 00 (,)xy 00 00 ()() 0 22 D xxE yy x xy yF 切点弦方程切点弦方程 过圆外一点的切线方程可设为过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求，再利用相切条件求 k k，这时，这时 必必 00 ()yyk xx 有两条切线，注意不要漏掉平行于有两条切线，注意不要漏掉平行于 y y 轴的切线轴的切线 斜率为斜率为 k k 的切线方程可设为的切线方程可设为，再利用相切条件求，再利用相切条件求 b b，必有两条切线，必有两条切线 ykxb (2)(2)已知圆已知圆 222 xyr 过圆上的过圆上的点的切线方程为点的切线方程为; ; 000 (,)P xy 2 00 x xy yr 斜率为斜率为的圆的切线方程为的圆的切线方程为. . k 2 1ykxrk 92.92.椭圆椭圆的参数方程是的参数方程是. . 22 22 1(0) xy ab ab cos sin xa yb 93.93.椭圆椭圆焦半径公式焦半径公式 22 22 1(0) xy ab ab ，. . )( 2 1 c a xePF)( 2 2 x c a ePF 9494椭圆的的内外部椭圆的的内外部 （1 1）点）点在椭圆在椭圆的内部的内部. . 00 (,)P xy 22 22 1(0) xy ab ab 22 00 22 1 xy ab （2 2）点）点在椭圆在椭圆的外部的外部. . 00 (,)P xy 22 22 1(0) xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 95.95. 椭圆的切线方程椭圆的切线方程 15 (1)(1)椭圆椭圆上一点上一点处的切线方程是处的切线方程是. . 22 22 1(0) xy ab ab 00 (,)P xy 00 22 1 x xy y ab （2 2）过椭圆）过椭圆外一点外一点所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是 22 22 1(0) xy ab ab 00 (,)P xy . . 00 22 1 x xy y ab （ 3 3） 椭 圆） 椭 圆与 直 线与 直 线相 切 的 条 件 是相 切 的 条 件 是 22 22 1(0) xy ab ab 0AxByC . . 22222 A aB bc 96.96.双曲线双曲线的焦半径公式的焦半径公式 22 22 1(0,0) xy ab ab ，. . 2 1 | ()| a PFe x c 2 2 | ()| a PFex c 97.97.双曲线的内外部双曲线的内外部 (1)(1)点点在双曲线在双曲线的内部的内部. . 00 (,)P xy 22 22 1(0,0) xy ab ab 22 00 22 1 xy ab (2)(2)点点在双曲线在双曲线的外部的外部. . 00 (,)P xy 22 22 1(0,0) xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 98.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1(1）若双曲线方程为）若双曲线方程为渐近线方程：渐近线方程：. . 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 0 xy ab x a b y (2)(2)若渐近线方程为若渐近线方程为双曲线可设为双曲线可设为. . x a b y0 b y a x 2 2 2 2 b y a x (3)(3)若双曲线与若双曲线与有公共渐近线，可设为有公共渐近线，可设为（，焦点在，焦点在 x x1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 0 轴上，轴上，焦点在，焦点在 y y 轴上）轴上）. . 0 99.99. 双曲线的切线方程双曲线的切线方程 (1)(1)双曲线双曲线上一点上一点处的切线方程是处的切线方程是. . 22 22 1(0,0) xy ab ab 00 (,)P xy 00 22 1 x xy y ab （2 2）过双曲线）过双曲线外一点外一点所引两条切线的切点弦方程所引两条切线的切点弦方程 22 22 1(0,0) xy ab ab 00 (,)P xy 是是 . . 00 22 1 x xy y ab （ 3 3） 双 曲 线） 双 曲 线与 直 线与 直 线相 切 的 条 件 是相 切 的 条 件 是 22 22 1(0,0) xy ab ab 0AxByC . . 22222 A aB bc 100.100. 抛物线抛物线的焦半径公式的焦半径公式 pxy2 2 抛物线抛物线焦半径焦半径. . 2 2(0)ypx p 0 2 p CFx 过焦点弦长过焦点弦长. . pxx p x p xCD 2121 22 16 101.101.抛物线抛物线上的动点可设为上的动点可设为 P P或或 P P，其中，其中 pxy2 2 ), 2 ( 2 y p y 或)2 ,2( 2 ptptP(,)x y oo . . 2 2ypx oo 102.102.二次函数二次函数的图象是抛