考研数学历年真题2008-2017年数学一

1 20172017 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学( (一一) )试卷试卷 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 （1）若函数 1 cos ,0 ( ) ,0 x x f x ax b x 在0 x 处连续，则（ ） (A) 1 2 ab (B) 1 2 ab (C)0ab (D)2ab （2）设函数 fx可导，且 0f x fx则（ ） (A) 11ff(B) 11ff (C) 11ff(D) 11ff （3）函数 22 , ,f x y zx yz在点1,2,0处沿向量1,2,2n的方向导数为（ ） (A)12(B)6(C)4(D)2 （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位:m）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线 1 vv t（单 位:m/s）虚线表示乙的速度曲线 2 vvt，三块阴影部分面积的数值依次为 10，20，3，计时开始后乙追上甲的时 刻记为 0 t（单位:s）,则（ ） (A) 0 10t (B) 0 1520t(C) 0 25t (D) 0 25t （5）设为 n 维单位列向量，E 为 n 阶单位矩阵，则（） (A) T E不可逆(B) T E不可逆 (C)2 T E不可逆(D)2 T E不可逆 （6）已知矩阵 200 021 001 A 210 020 001 B 100 020 002 C ，则（） 2 (A) A 与 C 相似，B 与 C 相似(B) A 与 C 相似，B 与 C 不相似 (C) A 与 C 不相似，B 与 C 相似(D) A 与 C 不相似，B 与 C 不相似 （7）设,A B为随机事件，若0( )1,0( )1P AP B,则 P A BP A B的充分必要条件是（） A. P B AP B AB P B AP B A C. PPB AB AD. PPB AB A （8） 设 12 ,.(2) n XXXn 来自总体( ,1)N的简单随机样本， 记 1 1 n i i XX n 则下列结论中不正确的是： （） (A) 2 () i X服从 2 分布(B) 2 1 2() n XX服从 2 分布 (C) 2 1 () n i i XX 服从 2 分布(D) 2 ()n X服从 2 分布 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分。 （9） 已知函数 2 1 ( ) 1 f x x ,则 (3)(0) f _ （10）微分方程230yyy的通解为y _ （11）若曲线积分 L yx dydyxdx 1 22 在区域 22 D,1x y xy内与路径无关，则a （12）幂级数 1 1 1 1 n n n nx 在区间（-1,1）内的和函数( )S x （13）设矩阵 101 112 011 A ， 123 , 为线性无关的 3 维列向量组，则向量组 123 ,AAA的秩为 （14）设随机变量 X 的分布函数为 4 0.50.5 2 x F xx ，其中 x为标准正态分布函数，则 EX= 三、解答题：1523 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分 10 分） 设函数,f u v具有 2 阶连续偏导数， , x yf e cosx,求 0 dy d x x ， 2 2 0 d d x y x 3 （16）（本题满分 10 分） 求 2 1 limln 1 n nk k kk nn （17）（本题满分 10 分） 已知函数 y x由方程 33 3320 xyxy确定，求 y x得极值 （18）（本题满分 10 分） 设函数 ( )f x在0,1上具有 2 阶导数， 0 ( ) (1)0, lim0 x f x f x 证（1） 方程( )0f x 在区间(0,1)至少存在一个根； （2） 方程0)()()( 2 xfxfxf在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根. （19）（本题满分 10 分） 设薄片型物体S是圆锥面 22 Zxy被 柱 面 2 2Zx割 下 的 有 限 部 分 ， 其 上 任 一 点 弧 度 为 222 ( , , )9u x y zxyz。记圆锥与柱面的交线为C （1）求C在xOy平面上的投影曲线的方程 （2）求S的质量M （20）（本题满分 11 分） 设三阶行列式 123 (,)A 有 3 个不同的特征值，且 312 2 （1）证明 ( )2r A （2）如果 123 求方程组Ax的通解 4 （21）（本题满分 11 分） 设二次型 13 222 1232121323 ( ,)2282f x x xxxaxx xx xx x ，在正交变换 xQy下的标准型为 22 1122 yy求 a的值及一个正交矩阵Q. （22）（本题满分 11 分） 设随机变量 X，Y 互独立，且 的概率分布为 1 P0P2 2 XX，Y 概率密度为 2 ,01 0, yy fy 其他 (1)求P YEY(2)求ZXY的概率密度 （23）（本题满分 11 分） 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 n 次测量，该物体的质量是已知的，设 n 次测量结 果 12 , n x xx相 互 独 立 ， 且 均 服 从 正 态 分 布 2 ,N ， 该 工 程 师 记 录 的 是 n 次 测 量 的 绝 对 误 差 ,1,2, ii zxin，利用 12 , n z zz估计 (I)求 1 z 的概率密度 (II)利用一阶矩求的矩估计量 (III)求的最大似然估计量 5 20162016 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学( (一一) )试卷试卷 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将 所选项前的字母填在所选项前的字母填在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. （1）若反常积分 0 1 1 b a dx xx 收敛，则（） 11111111A abB abC aabD aab且且且且 （2）已知函数 21 ,1 ln ,1 xx f x x x ，则 f x的一个原函数是（） 22 22 1,11,1 ln1 ,1ln11,1 1,11,1 ln11,1ln11,1 xxxx A F xB F x xxxxxx xxxx C F xD F x xxxxxx （3）若 22 2222 11,11yxxyxx是微分方程 yp x yq x 的两个解，则 q x （） 22 22 3131 11 xx AxxBxxCD xx （4）已知函数 ,0 111 ,1,2, 1 x x f x xn n nn ，则（） （A）0 x 是 f x的第一类间断点（B）0 x 是 f x的第二类间断点 （C） f x在0 x 处连续但不可导（D） f x在0 x 处可导 （5）设 A，B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是（） （A） T A与 T B相似（B） 1 A与 1 B相似 （C） T AA与 T BB相似（D） 1 AA与 1 BB相似 （6）设二次型 222 123123121323 ,444f x x xxxxx xx xx x，则 123 ,2f x x x在空间直角坐标下表示的 二次曲面为（） （A）单叶双曲面 （B）双叶双曲（C）椭球面（D）柱面 （7）设随机变量0, 2 NX，记 2 XPp，则（） （A）p随着的增加而增加（B）p随着的增加而增加 （C）p随着的增加而减少（D）p随着的增加而减少 6 （8）随机试验E有三种两两不相容的结果 321 ,AAA，且三种结果发生的概率均为 3 1 ，将试验E独立重复做 2 次， X表示 2 次试验中结果 1 A发生的次数，Y表示 2 次试验中结果 2 A发生的次数，则X与Y的相关系数为（） （A） 2 1 （B） 3 1 （C） 2 1 （D） 3 1 二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. （9） _ cos1 sin1ln lim 2 0 0 x dtttt x x （10）向量场zkxyjizyxzyxA,的旋度_rotA （11）设函数vuf,可微，yxzz,由方程yzxfxyzx,1 22 确定，则 _ 1 , 0 dz （12）设函数 2 1 arctan ax x xxf ，且1)0( f ，则_a （13）行列式 100 010 001 4321 _. （14）设 12 ,., n x xx为来自总体 2 ,N 的简单随机样本，样本均值9.5x ，参数的置信度为 0.95 的双侧置 信区间的置信上限为 10.8，则的置信度为 0.95 的双侧置信区间为_. 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分）已知平面区域,22 1 cos, 22 Drr ，计算二重积分 D xdxdy . （16）（本题满分 10 分）设函数( )y x满足方程02 kyyy其中01k. 证明：反常积分 0 ( )y x dx 收敛； 若1)0(, 1)0( yy，求 0 ( )y x dx 的值. 7 （17）（本题满分 10 分）设函数( , )f x y满足 2 ( , ) (21), x y f x y xe x 且(0, )1, t fyyL是从点(0,0)到点(1, ) t 的光滑曲线，计算曲线积分 ( , )( , ) ( ) t L f x yf x y I tdxdy xy ，并求( )I t的最小值 （18）设有界区域由平面222zyx与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分 zdxdyydzdxdydzxI321 2 （19）（本题满分 10 分） 已知函数( )f x可导， 且(0)1f， 1 0( ) 2 fx， 设数列 n x满足 1 ()(1,2.) nn xf xn ， 证明： （I）级数 1 1 () nn n xx 绝对收敛； （II）lim n n x 存在，且0lim2 n n x . （20）（本题满分 11 分）设矩阵 11122 21,1 1112 AaBa aa 当a为何值时，方程AXB无解、有唯一解、有无穷多解？ （21）（本题满分 11 分）已知矩阵 011 230 000 A （I）求 99 A 8 （II）设 3 阶矩阵 23 ( ,)B 满足 2 BBA，记 100 123 (,)B 将 123 , 分别表示为 123 , 的线性组 合。 （22）（本题满分 11 分）设二维随机变量(, )X Y在区域 2 ,01,Dx yxxyx上服从均匀分布，令 1, 0, XY U XY （I）写出(, )X Y的概率密度； （II）问U与X是否相互独立？并说明理由； （III）求ZUX的分布函数( )F z. （23） 设总体X的概率密度为 其他, 0 0 , 3 , 3 2 x x xf， 其中，0为未知参数， 321 ,XXX为来自总体X 的简单随机样本，令 321 ,maxXXXT 。 （1）求T的概率密度 （2）确定a，使得aT为的无偏估计 9 20152015 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学( (一一) )试卷试卷 一、选择题一、选择题 （1） 设函数( )f x在（- ,+ ）连续， 其 2 阶导函数( )fx的图形如下图所示， 则曲线( )yf x的拐点个数为 （） （A）0（B）1(C) 2(D) 3 2 11 23 xxx yexeyaybyce （2）设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解， 则： （） (A)3,1,1. (B)3,2,1. (C)3,2,1. (D)3,2,1. abc abc abc abc 11 (3)331 (A) (B) (C). (D) n nn nn axxnax 若级数条件收敛，则与依次为幂级数的： 收敛点，收敛点. 收敛点，发散点. 发散点，收敛点 发散点，发散点. （） （4）设 D 是第一象限中曲线21,41xyxy与直线,3yx yx围成的平面区域，函数( , )f x y在 D 上连续，则 ( , ) D f x y dxdy （） （A） 1 3sin2 1 42sin2 ( cos , sin )df rrrdr （B） 1 sin23 1 42sin2 ( cos , sin )df rrrdr (C) 1 3sin2 1 42sin2 ( cos , sin )df rrdr ( D) 1 sin23 1 42sin2 ( cos , sin )df rrdr 10 （5）设矩阵 2 111 12 14 Aa a ， 2 1 bd d ，若集合1,2 ，则线性方程组Axb有无穷多个解的充分必要条件 为（） （A）,ad（B）,ad （C）,ad（D）,ad （6） 设二次型 123 ( ,)f x x x在正交变换xPy下的标准形为 222 123 2yyy， 其中 123 ( ,)Pe e e， 若 132 ( ,)Qee e， 则 123 ( ,)f x x x在正交变换xQy下的标准形为（） （A） 222 123 2yyy（B） 222 123 2yyy （C） 222 123 2yyy（D） 222 123 2yyy （7）若,A B为任意两个随机事件，则（） （A）()( ) ( )P ABP A P B（B）()( ) ( )P ABP A P B （C） ( )( ) () 2 P AP B P AB （D） ( )( ) () 2 P AP B P AB (8)X,Y2,1,3,2EXEYDXE X XY 设随机变量不相关，且则（） (A)3(B)3(C)5(D)5 二、填空题二、填空题 （9 9） 2 0 lncos lim_. x x x （1010） dxx x x 2 2 | cos1 sin _._. （1111）若函数由方程+cos2 x exyz xx确定，则 (0,1) dz. （1212）设是由平面 1xyz 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 (23 )xyz dxdydz （1313）n阶行列式 2002 -1202 0022 00-12 11 （1414）设二维随机变量服从正态分布，则 三、解答题三、解答题 （1515）设函数， 3 ( )g xkx，若( )f x与( )g x在0 x 是等价无穷小，求a，b， k值。 （1616）设函数 ( )f x在定义域I上的导数大于零，若对任意的 0 xI，曲线( )yf x 在点 00 (,()xf x 处的切线与 直线 0 xx 及x轴所围成的区域的面积为 4，且 (0)2,f 求求 ( )f x 的表达式。的表达式。 （17）已知函数xyyxyxf),(，曲线3: 22 xyyxC，求),(yxf在曲线C上的最大方向导数. （1818）（本题满分）（本题满分 1010 分）分） （）设函数( ), ( )u x v x可导，利用导数定义证明 （）设函数 12 ( ),( ).( ) n u x uxux可导， 12 ( )( )( ).( ), n f xu x u xux写出( )f x的求导公式. （1919）（本题满分）（本题满分 1010 分）分） 已 知 曲 线L的 方 程 为 22 2, , zxy zx 起 点 为(0, 2,0)A， 终 点 为(0,2,0)B， 计 算 曲 线 积 分 2222 ()()() L Iyz dxzxy dyxydz 12 （2020）（本题满分）（本题满分 1111 分）分） 设向量组 123 , 是 3 维向量空间 3 的一个基， 113 22k， 22 2， 313 (1)k。 （）证明向量组 123 , 是 3 的一个基； （）当 k 为何值时，存在非零向量在基 123 , 与基 123 , 下的坐标相同，并求出所有的。 （2121）（本题满分）（本题满分 1111 分）分） 设矩阵 02-3 -133 1-2 A a 相似于矩阵 1-20 00 031 Bb . （）求, a b的值. （）求可逆矩阵P，使得 1 P AP 为对角阵. （2222）（本题满分）（本题满分 1111 分）分） 设随机变量X的概率密度为 - 2 ln20 ( )= 00 x x f x x 对X进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记Y为观测次数. （）求Y的概率分布； （）求EY. （2323）（本题满分）（本题满分 1111 分）分） 设总体X的概率密度为 1 1 ( ; )= 1 0 x f x 其他 其中为未知参数， 12.n XXX，为来自该总体的简单随机样本. （）求的矩估计. （）求的最大似然估计. 13 20142014 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学( (一一) )试卷试卷 一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分 下列曲线有渐近线的是（） （A）xxysin （B）xxysin 2 （C） x xy 1 sin （D） x xy 1 2 sin 2设函数)(xf具有二阶导数，xfxfxg)()()(110 ，则在, 10上（） （A）当0 )( xf时，)()(xgxf （B）当0 )( xf时，)()(xgxf （C）当0 )(xf时，)()(xgxf （D）当0 )(xf时，)()(xgxf 3设)(xf是连续函数，则 y y dyyxfdy 1 1 1 0 2 ),(（） （A） 2 1 0 0 1 1 0 1 0 xx dyyxfdxdyyxfdx),(),( （B） 0 1 0 1 11 0 1 0 2 x x dyyxfdxdyyxfdx),(),( （C） sincossincos )sin,cos()sin,cos( 1 0 2 1 0 2 0 drrrfddrrrfd （D） sincossincos )sin,cos()sin,cos( 1 0 2 1 0 2 0 rdrrrfdrdrrrfd 4若函数 dxxbxaxdxxbxax Rba 22 11 )sincos(min)sincos( , ，则 xbxasincos 11 （） （A）xsin2（B）xcos2（C）xsin 2（D）xcos 2 5行列式 dc dc ba ba 00 00 00 00 等于（） （A） 2 )(bcad （B） 2 )(bcad （C） 2222 cbda （D） 2222 cbda 6设 321 ,是三维向量，则对任意的常数lk,，向量 31 k ， 32 l 线性无关是向量 321 ,线性无关的 （A）必要而非充分条件（B）充分而非必要条件 （C）充分必要条件（D）非充分非必要条件 7设事件 A 与 B 想到独立，3050.)(,.)( BAPBP则 )(ABP（） （A）0.1（B）0.2（C）0.3（D）0.4 8设连续型随机变量 21 XX ,相互独立，且方差均存在， 21 XX ,的概率密度分别为)(),(xfxf 21 ，随机变量 1 Y的概率 密度为 )()()(yfyfyfY 21 2 1 1 ，随机变量 )( 212 2 1 XXY ，则（） （A） 2121 DYDYEYEY ,（B） 2121 DYDYEYEY , （C） 2121 DYDYEYEY ,（D） 2121 DYDYEYEY , 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分分. 把答案填在题中横线上）把答案填在题中横线上） 14 9曲面)sin()sin(xyyxz 11 22 在点),(101处的切平面方程为 10设)(xf为周期为 4 的可导奇函数，且 2012,),()( xxxf，则 )(7f 11微分方程0 )ln(lnyxyxy满足 3 1ey )(的解为 12设L是柱面1 22 yx和平面0 zy的交线，从z轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分 L ydzzdx 13设二次型 3231 2 2 2 1321 42xxxaxxxxxxf ),(的负惯性指数是 1，则a的取值范围是 14 设总体 X 的概率密度为 其它其它, , ),( 0 2 3 2 2 x x xf ， 其中 是未知参数， n XXX, 21 是来自总体的简单样本， 若 n i i XC 1 2 是 2 的无偏估计，则常数C= 三、解答题三、解答题 15（本题满分（本题满分 10 分）分） 求极限 )ln( )( lim x x dttet x t x1 1 1 2 1 1 2 16（本题满分（本题满分 10 分）分） 设函数)(xfy 由方程06 223 yxxyy确定，求)(xf的极值 17（本题满分（本题满分 10 分）分） 设函数)(uf具有二阶连续导数，)cos(yefz x 满足 xx eyez y z x z 2 2 2 2 2 4)cos( 若0000 )( ,)(ff，求)(uf 的表达式 15 18（本题满分（本题满分 10 分）分） 设为曲面) 1( 22 zyxz的上侧，计算曲面积分：dxdyzdzdxydydzx)()()(111 33 19（本题满分（本题满分 10 分）分） 设数列 nn ba,满足 2 0 2 0 nn ba,， nnn baacoscos 且级数 1n n b 收敛 （1）证明0 n n alim； （2）证明级数 1n n n b a 收敛 20（本题满分（本题满分 11 分）分） 设 3021 1110 4321 A ，E 为三阶单位矩阵 （1）求方程组0 AX的一个基础解系； （2）求满足EAB 的所有矩阵B 21（本题满分（本题满分 11 分）分） 证明n阶矩阵 111 111 111 与 n00 200 100 相似 22（本题满分（本题满分 11 分）分） 设随机变量 X 的分布为 2 1 21 )()(XPXP ，在给定iX 的条件下，随机变量Y服从均匀分布210,),( iiU 16 （1）求Y的分布函数； （2）求期望).(YE 23（本题满分（本题满分 11 分）分） 设总体 X 的分布函数为 00 01 2 x xe xF x , , ),( ，其中 为未知的大于零的参数， n XXX, 21 是来自总体的简单 随机样本， （1）求)(),( 2 XEXE； （2）求的极大似然估计量 （3）是否存在常数a，使得对任意的0 ，都有 0 aP n n lim ？ 17 20132013 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学( (一一) )试卷试卷 一、选择题（一、选择题（1818 题，每题题，每题 4 4 分分） 1.已知极限 0 arctan lim k x xx c x ，其中 k，c 为常数，且0c ，则（） A. 1 2, 2 kc B. 1 2, 2 kc . 1 3, 3 kc D. 1 3, 3 kc 2.曲面 2 cos()0 xxyyzx在点(0,1, 1)处的切平面方程为（） A.2xyz B.0 xyz C.23xyz D.0 xyz 3.设 1 ( ) 2 f xx， 1 0 2( )sin(1,2,) n bf xn xdx n ，令 1 ( )sin n n S xbn x ，则 9 () 4 S（） A . 3 4 B. 1 4 C. 1 4 D. 3 4 4.设 22 1: 1Lxy， 22 2: 2Lxy， 22 3: 22Lxy， 22 4:2 2Lxy为四条逆时针方向的平面曲线，记 )4 , 3 , 2 , 1( 3 2 6 33 idy x xdx y yI i i ，则 1234 max,I III A. 1 IB. 2 IC. 3 ID 4 I 5.设 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若 AB=C，且 B 可逆，则（） A.矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 B 矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 C 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 D 矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价 6.矩阵 11 11 a aba a 与 200 00 000 b 相似的充分必要条件为（） A.0,2abB.0,ab为任意常数 C.2,0abD.2,ab为任意常数 7.设 123 ,XXX是随机变量，且 1 (0,1)XN， 2 2 (0,2 )XN， 2 3 (5,3 )XN，22 (1,2,3) ii PPXi， 则（） A. 123 PPPB. 213 PPP C. 322 PPPD 132 PPP 18 8.设随机变量( )Xt n,(1, )YFn，给定(00.5)aa，常数 c 满足P Xca，则 2 P Yc() A.aB.a1C.a2Da21 二、填空题（二、填空题（9-149-14 小题，每小题小题，每小题 4 4 分分） 9.设函数y=f(x)由方程y-x=e x(1-y) 确定，则 0 1 lim ( ) 1 n n f n 。 10.已知y1=e 3x xe 2x，y 2=e x xe 2x，y 3= xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解 y=。 11.设 2 2 4 sin () sincos t xt d y t ytttdx 为参数 ，则。 12. 2 1 ln (1) x dx x 。 13.设 A=(aij)是 3 阶非零矩阵，A为 A 的行列式， Aij为 aij的代数余子式.若 aij+Aij=0(i， j=1,2,3） ， 则A。 14.设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布，a 为常数且大于零，则 PYa+1|Ya= 三解答题：三解答题： （15）（本题满分 10 分） 计算dx x xf)( 1 0 ，其中f(x). ) 1ln( 1 dt t t x (16)(本题 10 分) 设数列an满足条件： 012 3,1(1)0(2). nn aaan nan ， S（x）是幂级数 0 . n n n a x 的和函数 （1）证明：( )( )0;SxS x （2）求( ).S x 的表达式 19 （17）（本题满分 10 分） 求函数的极值 yx e x yyxf ) 3 (),( 3 . (18)(本题满分 10 分) 设奇函数f(x)在1,1上具有二阶导数，且f(1)=1，证明： （I）存在. 1)(1 , 0f），使得（ （）存在1,1( )1.ff （），使得（ ） 19.(本题满分 10 分) 设直线 L 过 A（1,0,0），B（0,1,1）两点将 L 绕 z 轴旋转一周得到曲面，与平面0,2zz所围成的立体为。 （1）求曲面的方程； （2）求的形心坐标。 20.（本题满分 11 分） 设 101 , 101 a AB b ，当 a,b 为何值时，存在矩阵 C 使得 AC-CA=B,并求所有矩阵 C。 20 21.（本题满分 11 分） 设二次型 22 1231 122331 12233 ( ,)2()()f x xxa xa xa xb xb xb x，记 1 2 3 a a a ， 1 2 3 b b b 。 （1）证明二次型 f 对应的矩阵为2 TT ； （2）若, 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 22 12 2yy。 22.（本题满分 11 分） 设随机变量 X 的概率密度为令随机变量 2,1, ,12, 1,2 x Yxx x （1）求 Y 的分布函数； （2）求概率P XY. 23.(本题满分 11 分) 设总体 X 的概率密度为 2 3 ,0, ( ; ) 0, x ex f x x 其他 其中为未知参数且大于零， 12 , n XXX，为来自总体 X 的简单 随机样本。 （1）求的矩估计量； （2）求的最大似然估计量。 21 20122012 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学( (一一) )试卷试卷 一、选择题：一、选择题：1 18 8 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 3232 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的， 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. . （1）曲线 2 2 1 xx y x 渐近线的条数为（） （A）0（B）1（C）2（D）3 （2）设函数 2 ( )(1)(2)() xxnx f xeeen，其中n为正整数，则 (0) f （A） 1 ( 1)(1)! n n （B）( 1) (1)! n n（C） 1 ( 1)! n n （D）( 1)! nn （3）如果函数( , )f x y在0,0处连续，那么下列命题正确的是（） （A）若极限 0 0 ( , ) lim x y f x y xy 存在，则( , )f x y在(0,0)处可微 （B）若极限 22 0 0 ( , ) lim x y f x y xy 存在，则( , )f x y在(0,0)处可微 （C）若( , )f x y在(0,0)处可微，则极限 0 0 ( , ) lim x y f x y xy 存在 （D）若( , )f x y在(0,0)处可微，则极限 22 0 0 ( , ) lim x y f x y xy 存在 （4）设 2k x k e Iesinxdx(k=1,2,3),则有 D （A）I1I2I3.(B)I2I2I3.(C)I1I3I1,(D)I1I2I3. （5） 设 1234 1234 0011 0 ,1 ,1 ,1 cccc 其中 1234 ,c c c c为任意常数， 则下列向量组线性相关的是 （） （A） 123 , （B） 124 , （C） 134 , （D） 234 , （6）设A为 3 阶矩阵，P为 3 阶可逆矩阵，且， 123 ,P ， 1223 ,Q 则 1 Q AQ （） (A).(B). 22 (C).(D). （7）设随机变量 x 与 y 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则 yxp（） 1124 ( ) ( ) ( ) () 5355 ABCD （8）将长度为 1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（） 1)( 2 1 )( 2 1 )(1)(DCBA 二、填空题：二、填空题：9 9 1414 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. . （9）若函数)(xf满足方程0)(2)()( xfxfxf及 x exfxf2)()( ，则)(xf=_。 （10） 2 2 0 2xxx dx _。 （11） (2,1,1) grad z xy y _。 （12）设,0, 0, 0, 1, zyxzyxzyx则 dsy2_。 （13）设 X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 T xxE 的秩为_。 （14）设, ,A B C是随机事件，,A C互不相容， 1 () 2 P AB , 1 ( ) 3 P C ,则_。 三三、解答题解答题：15152323 小题小题，共共 9494 分分. .请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. .解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. . （15）（本题满分 10 分） 证明： 2 1 lncos1, 11 12 xx xxx x （16）（本题满分 10 分） 求函数 22 , 2 xy f x yxe 的极值。 23 （17）（本题满分 10 分） 求幂级数 0n 2 443 21 nn n x 2n 的收敛域及和函数 （18）（本题满分 10 分） 已知曲线 ，其中函数)(tf具有连续导数，且0)0(f，。若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离 恒为 1，求函数)(tf的表达式，并求此曲线 L 与 x 轴与 y 轴无边界的区域的面积。 （19）（本题满分 10 分） 已知L是第一象限中从点0,0沿圆周 22 2xyx到点2,0，再沿圆周 22 4xy到点0,2的曲线段，计算曲 线积分. （20）（本题满分 10 分） 设（）求A （）当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解 （21）（本题满分 10 分） 三阶矩阵 101 011 10 A a ， T A为矩阵A的转置， 已知()2 T r A A ， 且二次型 TT fx A Ax。 24 1）求a2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。 （22）（本题满分 10 分） 已知随机变量,X Y以及XY的分布律如下表所示， 求：(1)2P XY；(2)cov,XY Y与 XY . （23）（本题满分 11 分） 设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布 2 ,N 与 2 ,2N，其中是未知参数且0,设 ZXY, （1）求z的概率密度 2 ,f z； （2）设 12 , n z zz为来自总体Z的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量 2 ； （3）证明为的无偏估计量。 25 20112011 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学( (一一) )试卷试卷 一、选择题：一、选择题：1 18 8 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 3232 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求， 请将所选项前的字母填在请将所选项前的字母填在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上 (1) 曲线 234 (1)(2) (3) (4)yxxxx的拐点是() (A)(1,0)(B)(2,0)(C)(3,0)(D)(4,0) (2) 设数列 n a单调减少，lim0 n n a ， 1 (1,2,) n nk k San 无界， 则幂级数 1 (1)n n n ax 的收敛域为