反证法(优秀)

.,2.2直接证明与间接证明,2.2.2反证法,.,1.直接证明的两种基本证法：,综合法和分析法,2.这两种基本证法的推证过程和特点：,由因导果,执果索因,3、在实际解题时，两种方法如何运用？,通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程,综合法,已知条件,结论,分析法,结论,已知条件,一、复习回顾,.,二、引入思考？,A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？,分析:假设C没有撒谎,则C真.那么A假且B假;,由A假,知B真.这与B假矛盾.,那么假设C没有撒谎不成立;,则C必定是在撒谎.,.,（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？,（2）将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？,二、引入思考？,正难则反!,假设有某种染法使同色的球数都不超过4个，则球的总数不超过4+4=8，这与球的总数是9矛盾。因此，假设不成立，无论怎样染，至少有5个球是同色的,我们可以把这种说理方法应用到数学问题上,.,把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明,注：反证法是最常见的间接证法,一般地，假设原命题不成立（即假设在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法。,三、基本概念,反证法的思维方法：正难则反,.,反证法的证明步骤：,假设假设命题的结论不成立，即假设命题结论的否定成立；,下结论由矛盾结果，断定假设不成立，从而肯定原命题的结论成立。,找矛盾从假设出发，经过一系列正确的逻辑推理，推出矛盾（与已知矛盾，与已知定义，公理，定理事实等矛盾，与出现的临时假设矛盾，在证明过程中出现自相矛盾等等），从而否定假设；,简单记为：否定结论推出矛盾肯定结论，（其中推出矛盾是反证法证明的关键。）反证法是制造矛盾的专家。,.,例1.求证：在个三角形中，至少有一个内角不小于60,注：结论中含“至多、至少”形式出现；直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考。,四、例题选讲,分析：从条件出发很难入手去证，可以考虑从反面入手,证明：假设三角开有三个内角A、B、C都小于60则有A+B+C180，这与三角形内角和等于180相矛盾。所以假设不成立，所以原结论成立，即在个三角形中，至少有一个内角不小于60,.,例2.已知a0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。,证：由于a0，因此方程至少有一个根x=b/a，,注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,是唯一性问题,常用反证法,如果方程不只一个根，不妨设x1,x2（x1x2)是方程的两个根.,四、例题选讲,.,.,（1）直接证明有困难的一些命题（如有些基本定理的证明如平行线的传递性的证明）,即正难则反!,小结：1、哪些命题适宜用反证法加以证明？,（3）以否定性判断作为结论的命题,（2）关于唯一性结论的命题（即结论中有有且只有，有且仅有等关键字眼）,（4）以至多，至少，不多于等形式陈述的命题,（5）一些不等量命题的证明,.,2.常用的正面叙述词语及其否定：,不等于,不大于（小于或等于)（）,不小于（大于或等于）（）,不是,不都是,至少有两个,一个也没有,某个,某些,至少有n1个,某两个,至少有一个是,.,五.课堂练习：,1、求证：不可能成等差数列,证明：假设成等差数列,则有,这显然不成立所以假设不成立，不可能成等差数列,.,2、证明：在ABC中，若C是直角，则B一定是锐角。,证明：假设B不是锐角，则B90，又因为A0，C=90所以A+B+C180，这与三角形内角和等于180相矛盾。所以假设不成立，B一定是锐角。,五.课堂练习：,.,六.课堂小结,与已知条件矛盾；与假设矛盾。与已有公理、定理、定义矛盾。,1、基本概念：间接证明；反