天津第一中学高三数学总复习27平面向量的数量积

高三数学总复习27 平面向量的数量积一知识点归纳 1两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos叫做与的数量积（或内积） 规定2向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： 等于的长度与在方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：5乘法公式成立： ；6平面向量数量积的运算律：交换律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则=8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则AOB= （）叫做向量与的夹角cos=当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作10两个非零向量垂直的充要条件：O平面向量数量积的性质二典型例题：(一)夹角问题1.已知向量若，则与的夹角为( )A30B60 C120 D1502.已知是互相垂直的单位向量,，与夹角为锐角，则的取值范围是_（二）求数量积3.如图，在中，是边上 一点，求4.在中，则 5.若等边的边长为，平面内一点满足，则 6.如图在中，若为的外心，则_ ， （三）数量积的最值7.如图，半圆的直径AB6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若 P为半径OC上的动点，则的最小值为 （）A. B.9 C. D.98.设是单位向量，且，则的最小值为 ( )A B. C. D. 9.如图，是半径为1的圆的直径，ABC是边长为1的正三角形，则的最大值为 （四）系数和的最值10.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,求的最大值一.基础训练（A组）1.下列各题 若 ，则对任何一个向量 ，有; 若 ，则对任何一个非零向量 ，有 ; 若 ， ，则; 若 ，则 、 中至少有一个为; 若 ， ，则; 若 ，则 ，当且仅当 时成立.其中真命题的个数为 （ ）A.1 B.2 C.3 D.42是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ； 不与 垂直 中，是真命题的有 （ ）A. B. C. D.3.设是夹角为的单位向量，则 和的夹角为 （ ）A. B. C. D. 4.向量满足与的夹角为60，则 （ ）A.1B. C. D.5.设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则 （ ）A. B.2 C. D.46.若向量，则实数k的值为 （ ）A.6B.6 C.3D.37.已知向量，若与垂直，则 （ ）A.B.C. D.48.设非零向量、满足，则 （ ）A.150 B.120 C 60 D.309.平面上三点A、B、C满足则= 10.是平面上一点，是平面上不共线三点，动点满足，时， 则）的值为_ 11.如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 【答案】【解析】将矩形放入平面直角坐标系，如图因为,为的中点,所以，,设,则,所以，所以。所以,所以.考点：平面向量数量积的运算12.在平面直角坐标系xOy中，点A(1,2)、B(2,3)、C(2,1),（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;（2）设实数t满足()=0，求t的值二. 巩固提高（B组）13.已知是同以平面内的三个单位向量，它们两两之间的夹角均为，且，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. 或 D.14.已知，点在直线上的射影为点，则 的最大值 （ ）A. B. C. D.15.已知的夹角的取值范围是 ( ）A. B. C. D.16.已知是圆：上的两个点，是线段上的动点，当的面积最大时，则的最大值是（ ） A. B. 0 C. D.17.已知菱形的边长为2，点分别在边上，若，则 （ ） （A） （B） （C） （D）18. 如图所示，在平行四边形ABCD中，垂足为P，且，则= 19.已知O的半径为1，四边形ABCD为其内接正方形，EF为O的一条直径，M为正方形ABCD边界上一动点，则的最小值为_20.矩形,为矩形内一点，,若，则的最大值为 21.在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且,