天津第一中学高三数学总复习26平面向量的线性运算

高三数学总复习26 平面向量的线性运算一知识点归纳 1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用来表示，或用有向线段的起点与终点俄的大写字母表示，如：几何表示法 ，；坐标表示法 向量的大小即向量的模（长度），记作|即向量的大小，记作 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量0 由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件（注意与0的区别）单位向量：模为1个单位长度的向量向量为单位向量平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为大小相等，方向相同2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设，则+=（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”3向量的减法 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量记作,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）4实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）；（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=6平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点二典型例题：例1. 长度等于 1 个单位的向量叫单位向量，把平面上所有的单位向量平移到相同的起点，那么它们的终点所构成的图形是 （ ）A. 一条线段 B. 一段圆弧 C. 两个孤立点 D. 一个半径为1 的圆例2. 对于向量和实数，下列命题中真命题是 （ ）A.若则或B.若，则或C.若，则或 D.若，则例3. 如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量， 表示出来解：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可解：因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，所以，所以=，所以= =+，由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以=+=+=2+，同样在平行四边形 BCDO中，()2，点评：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 ，表示，且可用规定其中任两个向量为，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示例4.在平行四边形中,连接、相交于点,若,则实数与的乘积为（ ）ABCD例5已知点在内,设则_. 【答案】 【解析】因为所以向量,将放在平面直角坐标系中,如图,因为所以.因为,所以点在直线上,设,则.由,得,即,所以,即. 例6.已知向量，若向量满足，则 （ ）A. B. C. D.例7如图所示，已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且，则的值为 .例8.ABC中，|AB|10，|AC|15，BAC，点D是边AB的中点，点E在直线AC上，且，直线CD与BE相交于点P，则线段AP的长为( ) A.B.C.2D.2法二：因为B、P、E三点共线，有同理，因为C、P、D三点共线，有根据向量相等的充要条件，有，解得：x，y，于是，(下同解法一)例9.在四边形ABCD中，求四边形ABCD的面积三.基础训练（A组）1.在中，若点满足，则 （ ）A. B. C. D.2.设点是线段的中点，点在直线外， ,则 （ ）A. 8 B. 4 C. 2 D. 13.内有一点,满足,且则一定是A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 ( )4.已知向量，其中、均为非零向量，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D.5.在中，是边的中点，是的中点，若，则 的值是 （ ）A.1 B. C. D.6.在平行四边形中，与相交于点.若则 （ ）A. B. C. D.7.在ABC中，已知D是AB边上一点，若，则的值为 8.如图所示，在中，在线段上，设，则的最小值为( )A. B. 9 C. 9 D. 【答案】D【解析】因为D是AB中点，故且x0，y0因为C、F、D三点共线，故2xy1于是选D【考点】平面向量，基本不等式四巩固提高（B组）10. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) A. 重心 外心 垂心 B. 重心 外心 内心 C. 外心 重心 垂心 D. 外心 重心 内心11. 已知非零向量则ABC为 （ ）A等边三角形 B等腰非直角三角形 C非等腰三角形D等腰直角三角形12设四边形ABCD为平行四边形，.若点M，N满足，则（ ）（A）20 （B）15 （C