logistic模型和最小二乘

背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,如何预报人口的增长,指数增长模型马尔萨斯提出(1798),常用的计算公式,x(t)时刻t的人口,基本假设:人口(相对)增长率r是常数,今年人口x0,年增长率r,k年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,阻滞增长模型(Logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,x(t)S形曲线,x增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型),参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,专家估计,阻滞增长模型(Logistic模型),模型检验,用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较,实际为281.4(百万),模型应用预报美国2010年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),阻滞增长模型(Logistic模型),最小二乘拟合,问题：给定拟合一个函数y=f(x,t)，其中x为待定的参数向量,记误差,确定x的方法：求x使得误差平方和,最小,MATLAB最小二乘拟合,命令lsqcurvefit基本用法x,resnorm，res=lsqcurvefit(f,x0,t,y,lb,ub)输入：f=f(x,t)x0=参数初值t=自变量向量y=函数值向量lbub=参数的上下界输出x=参数估计值resnom=(误差平方和）res=r(误差向量),例子,已知美国人口数据如下（单位百万）,用指数增长模型作人口预报,估计模型参数r的MATLAB方法1.建立M文件myexp.mfunctionf=myexp(x,t)f=x(1)*exp(x(2)*t);,2.建立M文件myexpexec.mt=0:21y=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4x0=4,0.3;x,norm,res=lsqcurvefit(myexp,x0,t,y),3.利用MATLAB作图,比较结果plot(t,y,+);holdon;y1=myexp(x,t);%理论数据plot(t,y1,*);,指数模型结果,如果用LOGISTIC模型作拟合，步骤相同1.建立m文件mylogistic.mfunctionf=mylogistic(x,t)f=x(1)/(1+(x(1)/3.9-1)*exp(-x(2)*t);2.和前面相同，只要将myexp换为mylogistic,LOGSTIC模型结果,两个模型结果比较,线性化后再参数估计,对指数模型,MATLAB线性回归命令,b=regress(y,X)返回回归系数向量b,线性模型y=Xb,X是np矩阵,y是观察值向量,使用线性回归的M文件,t=0:21y=3.9,5.3,7.2,9.6,251.4,281.4;logy=log(y);logy=logy;X=ones(22,1)t;b=regress(logy,X);x(1)=exp(b(1);x(2)=b(2);y1=myexp(x,t);plot(t,y,+,t,y1,*);,结果,对logistic模型,MATLABM文件,y=3.9,5.3,7.2,251.4,281.4;dy=diff(y);dyy=dy./y(1:21);dyy=dyy;tt=y(1:21);X=ones(21,1)tt;b=regress(