19872014年考研数学试题答案及评分参考1987

郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 1 页 1987 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答数学试题参考解答 数数 学（试卷学（试卷） 一、一、填空题（每小题填空题（每小题 3 分，满分分，满分 15 分分. 只写只写答案答案不写解题过程不写解题过程） (1) 与两直线 1 1 2 x yt zt 及 121 121 xyz 都平行，且过原点的平面方程是 50 xy (2) 当x 1/ln2；时，函数2xyx取得极小值. (3) 由lnyx与两直线(1)yex及0y 围成图形的面积= 3 / 2 (4) 设 L 为取正向的圆周9 22 yx，则曲线积分dyxxdxyxy L )4()22( 2 的值是 18 . (5) 已知三维线性空间的一组基底 )1 , 1 ,0(, )1 ,0, 1(, )0, 1 , 1( 321 ，则向量 (2, 0, 0)在上述基底下的坐标是 ( 1 , 1 , -1 ) 二、 （本题满分二、 （本题满分 8 分）分） 求正的常数a与b，使式1 sin 1 lim 02 2 0 dt ta t xbx x x 成立. 解：解：假若1b ，则根据洛必达法则有 22 22000 11 limlim()01 sincos x xx tx dt bxxbx atax ， 与题设矛盾， 于是1b . 此时 222 2 1 2220000 2 1112 limlim()lim() sin1 cos x xxx txx dt bxxxxa ataxax ， 即 2 1 a ，因此4a . 三、 （本题满分三、 （本题满分 7 分）分） (1) 设函数, f g连续可微，( ,),()uf x xy vg xxy，求 ,. uv xx 解：解： 1212 ()uxxy fffy f xxx ； () (1) vxxy gyg xx . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 2 页 (2) 设矩阵A和B满足2ABAB，其中A 301 110 014 ，求矩阵B. 解：解：因2ABAB，故2ABBA，即(2 )AE BA， 故 1 (2 )BAEA 522 432 223 . 四、 （本题满分四、 （本题满分 8 分）分） 求微分方程 2 6(9)1yyay的通解.其中常数0a . 解：解：由特征方程 322 2(9)0rra r，知其特征根根为 12,3 0,3rrai . 故对应齐次方程的通解为 33 123 cossin xx yCC exC ex ，其中 123 ,C C C为任意常数. 设原方程的特解为 *( ) y xAx，代入原方程可得A 2 1 9a . 因此，原方程的通解为 *33 123 ( )cossin xx y xyyCC exC ex 2 1 9a x. 五、五、选择题（每小题选择题（每小题 3 分，满分分，满分 12 分）分） (1) 设常数0k ， 则级数 2 1 ) 1( n nk n n （C） (A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛与发散与k的值有关. (2) 设)(xf为已知连续函数， t s dxtxftI 0 )(，0,0st， 则I的值 （D） (A) 依赖于s和t (B) 依赖于s、t、x (C) 依赖于t和x, 不依赖于s (D) 依赖于s, 不依赖于t (3) 设 1 )( )()( lim 2 ax afxf ax ， 则在点xa处 (B) (A) ( )f x导数存在,0)( a f (B) ( )f x取得极大值 (C) ( )f x取得极小值 (D) ( )f x的导数不存在. (4) 设 A 为 n 阶方阵, 且0aA, 而 * A是 A 的伴随矩阵， 则 * A= (C) (A) a (B) a/1 (C) 1n a (D) n a 六、 （本题满分六、 （本题满分 10 分）分） 求幂级数 1 1 2 1 n n n x n 的收敛域，并求其和函数. 解：解：记 1 1 2 n n n ux n ，有 1 1 1 2 limlim (1)22 nn n nn nn n xuxn unx ， 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 3 页 令 1 2 x ，知原级数在开区间( 2,2)内每一点都收敛. 又当2x 时，原级数= 11 11 11 ( 2)2( 1) 2 nn n nn nn ，故由莱布尼兹判别法知其收敛； 而当2x 时， 原级数= 11 11 11 22( 1) 2 nn n nn nn ， 显然发散， 故幂级数的收敛域为)2 , 2. 又记 1 1 11 11 ( )( )( ) 22 nn n nn x S xxxxS x nn ，其中 1 1 1 ( )( ) 2 n n x S x n ， 有 1 1 1 1 ( )( ) 21/2 n n x S x x ，于是 1 0 2 ( )2ln() 1/22 x dx S x xx ， 因此幂级数的和函数为 2 ( )2 ln 2 S xx x ， 2,2)x . 七、 （本题满分七、 （本题满分 10 分）分） 计算曲面积分 2 (81)2(1)4 S Ixydydzy dzdxyzdxdy ， 其中 s 是曲线 )31 ( 0 1 y x yz 绕 Y 轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与 Y 轴 正向的夹角恒大于/2 解解：S的方程为 22 1yxz，记 1 S： 22 3,()yxz，知 1 SS为封闭曲面，设其 方向取外侧，所围区域为，则由高斯公式，有 1 2 (81)2(1)4 S S Ixydydzy dzdxyzdxdy 1 2 (81)2(1)4 S xydydzy dzdxyzdxdy 1 2 102(1)0 S dvy dydz = 3 2 1 2(1 3 ) yz x DD dydzdxdzdx 3 1 (1)16234ydy . 八、 （本题满分八、 （本题满分 10 分）分） 设函数)(xf在闭区间0,1上可微，对于0,1上的每个x，函数的值都在开区间(0,1) 内，且1)( x f.证明 在(0,1)内有且仅有一个x，使( )f xx 证证：令( )( )h tf tt，知( )h t在闭区间0,1上连续，又由题设知0( )1f x，于是 有(0)(0)00, (1)(1) 10hfhf . 故由零点定理，在(0,1)内有x，使( )f xx. 假若)(xf在开区间(0,1)内有两个不同的点 1 x和 2 x，使得 11 ()f xx， 22 ()f xx， 不妨设 12 xx，则易见)(xf在闭区间0,1上连续，在(0,1)内可导， 故由拉格朗日定理知， 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 4 页 (0,1) ，使得 21 21 ()( ) ( ) f xf x f xx ，即( )1f.此与1)( x f矛盾！故在(0,1)内使 ( )f xx的x只能有一个. 九、 （本题满分九、 （本题满分 8 分）分） 问, a b为何值时，线性方程组 1234 234 234 1234 0 221 (3)2 321 xxxx xxx xaxxb xxxax 有唯一解？无解？有无穷多解？ 并求出无穷多解时的通解. 解：解：对方程组的增广矩阵进行初等变换，得 1111011110 0122101221 () 013200101 321100010 AA b abab aa 1 当1a时，系数行列式 2 (1)0Aa，故由克拉姆法则，原方程组有唯一解； 2 当1a ，且1b 时， ( )3, ( )2r Ar A， ( )( )r Ar A，故原方程组无解； 3 当1a ，且1b 时， ( )( )24r Ar A，故原方程组有无穷的解. 此时显然有 1111010111 0122101221 () 0000000000 0000000000 AA b 可见其通解为： 12 ( 1,1,0,0)(1, 2,1,0)(1, 2,0,1) TTT xcc ，其中 12 ,c c为任意常数. 十、填空题（每小题十、填空题（每小题 2 分，满分分，满分 6 分）分） (1) 在一次试验中事件 A 发生的概率为p，现进行 n 次独立试验，则 A 至少发生一次的概率 为 n p)1 (1；而事件 A 至多发生一次的概率为 1 )1() 1(1 n ppn. (2) 三个箱子，第一个箱子有 4 个黑球 1 个白球，第二个箱子中有 3 个白球 3 个黑球，第三 个箱子中有 3 个黑球 5 五个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取一个球，这个 球为白球的概率为 53/120 ， 已知取出的是白球， 此球属于第二箱的概率是20/53. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 5 页 (3) 已知连续随机变量 X 的密度为 12 21 )( xx exf ，则 X 的数学期望为 1 ；X 的 方差为 1/2 . 十一、 （本题满分十一、 （本题满分 6 分）分） 设随机变量 X，Y 相互独立，其概率密度函数分别为 它其0 101 )( x xfX ； 00 0 )( y ye yf y Y ， 求随机变量 Z=2X+Y 的概率密度函数( ) z f z. 解：解：由题设，(, )X Y的联合密度为 01,0 ( , )( )( ) 0 y XY exy f x yfx fy 其 它 ， 故Z的分布函数 2 ( )()(2)( , ) z x y z F zP ZzPXYzf x y dxdy ， 1 当0z 时， 2 ( )00 z x y z F zdxdy ，此时( )00 z f z； 2 当02z时， 2 0000 1 ( ) 22 z y zzz yyy z z F zdye dxe dyye dy ，此时 0 11 ( )( )(1) 22 z yz zz fzF ze dye ； 3 当2z 时， 121 22 000 1 ( )(1)1(1) 2 zx yx zz z F zdxe dyedxee ，此时 2 1 ( )( )(1) 2 z zz f zF zee 综上所述，Z=2X+Y 的概率密度函数为( ) z fz 1 2 2 1 2 00 (1)02 (1)2 z z z ez eez 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 6 页 数数 学（试卷学（试卷） 一、一、 （本题满分（本题满分 15 分）分） 【 同数学、第一题 】 二、 （本题满分二、 （本题满分 14 分）分） (1)（6 分）分）计算定积分 2 | | 2(| |). x xx edx 解：解： 因 | | x xe是奇函数， | | | x x e是偶函数， 故 原式= 22 | |2 00 2|226. xx x edxxe dxe (2)（8 分）分） 【 同数学、第二题 】 三、 （本题满分三、 （本题满分 7 分）分） 设函数( , , ), y zf u x y uxe，其中f有二阶连续偏导数，求 2 . z x y 解：解： 121 y zu fff ef xx ， 2 111312123 () yyyy z fxefeeffxef x y . 四、四、 （本题满分（本题满分 8 分）分） 【 同数学、第四题 】 五、五、 （本题满分（本题满分 12 分）分） 【 同数学、第五题 】 六、六、 （本题满分（本题满分 10 分）分） 【 同数学、第六题 】 七、七、 （本题满分（本题满分 10 分）分） 【 同数学、第七题 】 八、八、 （本题满分（本题满分 10 分）分） 【 同数学、第八题 】 九、九、 （本题满分（本题满分 8 分）分） 【 同数学、第九题 】 十、 （本题满分十、 （本题满分 6 分）分） 设 12 , 为 n 阶方阵A的特征值， 12 ，而 21, x x分别为对应的特征向量，试证明： 21 xx 不是A的特征向量. 证：证： 假若 21 xx 是A的特征向量， 设其对应的特征值为 3 ， 则有 12312 ()()A xxxx， 即 123 13 2 AxAxxx. 又由题设条件知 11 1 Axx， 222 Axx，故有 131232 ()()0 xx.因 21, x x是属于不同特征值的特征向量， 所以 21, x x线性无关， 从而 13 ，且 13 ，此与 12 矛盾！因此 21 xx 不是A的特征向量. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 7 页 数数 学（试卷学（试卷） 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 2 分，满分分，满分 10 分分. 把答案填在题中横线上）把答案填在题中横线上） (1) 设)1ln(axy, 其中a为非零常数，则 2 2 )1 ( , 1ax a y ax a y . (2) 曲线yarctgx在横坐标为 1 点处的切线方程是 4 2 2 1 xy； 法线方程是 4/ )8(2xy. (3) 积分中值定理的条件是( ) , f xa b在闭区间上连续，结论是 , ,( )( )() b a a bf x dxfba 使得 (4) 3 2 () 1 n n n line n . (5) dxxf)(cxf)(； b a dxxf)2()2( 2 1 )2( 2 1 afbf. 二、 （本题满分二、 （本题满分 6 分）分） 求极限 0 11 lim() 1 x x xe 解：解： 2 00000 111111 lim()limlimlimlim 1(1)222 xxx xx xxxxx exexex xex exxx . 三、 （本题满分三、 （本题满分 7 分）分） 设 )cos1 (5 )sin(5 ty ttx ，求 2 2 ,. dy d y dx dx 解：解：因5sin ,5 5cos dydx tt dtdt ， 5sin )sin 5(1 cos1 cos dytt dxtt （0+ ） ，故 t t dx dy cos1 sin ， 且 2 22 sin1 () 1 cos5(1 cos ) d ydtdt dxdttdxt 四、 （本题满分四、 （本题满分 8 分）分） 计算定积分 1 0 arcsinxdxx. 解：解： 22 111 21 0 22000 111 arcsinarcsin 2242 11 xx xxdxxxdxdx xx ， 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 8 页 令sinxt， 有 22 1 2 200 sin cos cos4 1 xt dxtdt t x ， 因此 1 0 1 arcsin 42 48 xxdx . 五、五、 （本题满分（本题满分 8 分）分） 设D是曲线sin1yx与三条直线0 x ,x,0y 围成的曲边梯形.求D绕x轴旋 转一周所生成的旋转体的体积. 解：解： 2 2 0 3 (sin1)4 2 Vxdx . 六、六、证明题证明题（本题满分（本题满分 10 分）分） (1)（5 分）分）若( )f x在( , )a b内可导，且导数)(x f 恒大于零，则( )f x在( , )a b内单调增加. 证：证： 12 ,( , )x xa b，不妨设 12 xx，则( )f x在 12 ,x x上连续，在 12 ( ,)x x内可导， 故由拉格朗日中值定理， 12 ( ,)( , )x xa b ，使得 2121 ()( )( )()f xf xfxx. 由于)(x f 在( , )a b内恒大于零，所以( )0f，又 21 0 xx，因此 21 ()()0f xf x， 即 21 ()( )f xf x，表明( )f x在( , )a b内单调增加. (2)（5 分）分）若( )g x在xc处二阶导数存在，且0)( c g,0)( c g，则( )g c为( )g x 的一个极大值. 证：证： 因 ( )( ) ( )lim0 xc g xg c g c xc ， 而0)( c g， 故 ( ) lim0 xc g x xc .由极限的保号性， 0，当(, )xcc时，有 ( ) 0 g x xc ，即( )0g x，从而( )g x在(, )cc单增； 当( ,)xc c时，有 ( ) 0 g x xc ，即( )0g x，从而( )g x在(, )cc单减. 又由0)( c g知，xc是( )g x的驻点，因此( )g c为( )g x的一个极大值. 七、 （本题满分七、 （本题满分 10 分）分） 计算不定积分 xbxa dx 2222 cossin ( 其中, a b为不全为零的非负数 ) 解：解： 当0a 时，原式= 2 22 11 sectanxdxxc bb ； 当0b 时， 原式= 2 22 11 ccotcsxdxxc aa ； 当0ab 时，原式= 2 222 2 (tan ) sec11 arctan(tan ) tan (tan )1 a dx xdxa b xc a axbababb x b . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 9 页 八、 （本题满分八、 （本题满分 15 分）分） (1)（7 分）分）求微分方程yx dx dy x，满足条件0| 2x y的解 解：解：原方程即 1 1 dy y dxx ，故其通解为 11 2 1 1 ()() 2 dxdx xx yeedxcxc x . 因0| 2x y，所以1c .于是所求初值问题的解为 x x y 1 2 . (2)（8 分）分）求微分方程 x exyyy 2 的通解. 解：解：由特征方程 2 210rr ，知其特征根根为 1,2 1r. 故对应齐次方程的通解为 12 () x yCC x e ，其中 12 ,C C为任意常数. 设原方程的特解为 *( ) () x y xe axb，代入原方程可得a 1 4 ，b 1 4 . 因此，原方程的通解为 *2 12 ( )() x y xyyCC x e 1 4 (1) x xe. 九、九、选择题（每小题选择题（每小题 4 分，满分分，满分 16 分）分） (1).xexxxf x -,sin)( cos 是 （D） （A）有界函数 （B）单调函数 （C）周期函数 （D）偶函数 (2). 函数( )sinf xxx (D) （A）当x时为无穷大 （B）当x时有极限 （C）在),(内有界 （D）在),(内无界 (3) 设( )f x在xa处可导，则 x xafxaf x )()( lim 0 等于 (B) （A）)(a f （B）)(2a f （C）0 （D）)2( a f (4) 【 同数学、第五（2）题 】 十、十、 （本题满分（本题满分 10 分）分） 在第一象限内，求曲线1 2 xy上的一点，使该点处切线与所给曲线及两坐标围成 的面积为最小，并求此最小面积. 解：解： 设切点的横坐标为a， 则切线方程为 2 (1)2 ()yaa x a， 即 2 21yaxa 故所围面积 23 1 22 0 1112 (1)(1) 224243 aaa saxdx aa . 令0s得驻点a 3 3 . 由于 3/3 0 a s ，故所求点的坐标为 3 2 (, ) 33 ，其最小值为 3/3a s 42 3 93 . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 10 页 数数 学（试卷学（试卷） 一、判断题（每小题答对得一、判断题（每小题答对得 2 分，答错得分，答错得-1 分，不答得分，不答得 0 分，全题最低分，全题最低 0 分）分） (1) 1 0 lim x x e （ ） (2) 4 sin0 xxdx （ ） (3) 若级数 1 n n a 与 1 n n b 均发散， 则级数 1 () nn n ab 必发散 （ ） (4) 假设D是矩阵A的r阶子式，且含D的一切1r 阶子式都等于 0， 那么矩阵A的一切1r 阶子式都等于 0 （ ） (5) 连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于 0 （ ） 二、选择题（每小题二、选择题（每小题 2 分，满分分，满分 10 分分.） (1) 下列函数在其定义域内连续的是 (A) （A） ( )lnsinf xxx （B） 0cos 0sin )( xx xx xf （C） 01 00 01 )( xx x xx xf （D） 00 0 1 )( x x x xf (2) 若函数 f(x)在区间( , )a b内可导， 21,x x是区间内任意两点， 且 21 xx ， 则至少存一点， 使得 （C） (A) ( )( )( )(),f bf afbaab. (B) 111 ( )( )( )(),f bf xfbxxb. (C) 212112 ()( )( )(),f xf xfxxxx. (D) 222 ()( )( )(),f xf afxaax. (3) 下列广义积分收敛的是 （C） （A）dx x x e ln （B） e xx dx ln （C） e xx dx 2 )(ln （D） e xx dx ln (4) 设 A 是 n 阶方阵， 其秩 r n ， 那么在 A 的 n 个行向量中 (A) (A) 必有 r 个行向量线性无关 (B) 任意 r 个行向量线性无关 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 11 页 (C) 任意 r 个行向量都构成极大线性无关向量组 (D) 任意一个行向量都可以由其它 r 个行向量线性表示 (5) 若二事件A和B同时出现的概率P( A B ) = 0 , 则 (C) (A) A 和 B 互不相容（互斥） (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件 (D) P(A)=0 或 P(B)=0 三、计算下列各题（每小题三、计算下列各题（每小题 4 分，满分分，满分 16 分）分） (1) 求极限 x x x xe 1 0 )1 (lim . 解：解：因 1ln(1) (1) x xe x xx xee ， 而 ln(1) x x xe xe x （当0 x ） ， 故 000 ln(1) limlimlim1 xx x xxx xexe e xx ， 从而 1 0 lim(1) x x x xee . (2) 已知 11 11 ln 2 2 x x y， 求 y . 解：解： 22 ln( 11)ln( 11)yxx， 22 22 22 2 12 1 ln 1111 xx xx y xx 2 1 2 xx . (3) 已知 yx yx arctgz ，求dz. 解：解： 2 22 ()()()() () () 1()1() xyxy dxdyxy dxdy d xyxy dz xyxy xyxy 22 ydxxdy xy (4) 求不定积分dxe x 12 . 解：解：令21xt ，有 2121 ( 21 1) xtttttx edxe tdttee dtteecxec 四、 （本题满分四、 （本题满分 10 分）分） 考虑函数sinyx )2/0( x，问： (1) t 取何值时，图中阴影部分的面积 1 s与 2 s之和 21 sss最小？ (2 ) t 取何值时， 21 sss最大？ 解：解：因 1 0 sinsinsincos1 t sttxdxttt ， 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 12 页 2 2 sin()sincossinsin 22 t sxdxtttttt ， 故 12 2 sin2cossin1 2 ssstttt ,(0) 2 t . 令0s，得s在(0,) 2 内的驻点 4 t . 而( )21 4 s ，( )1 22 s ，(0)1s， 因此 4 t 时，s最小；0t 时，s最大. 五、 （本题满分五、 （本题满分 6 分）分） 将函数 23 1 )( 2 xx xf 展成x的级数，并指出收敛区间. 解：解：因 111111 ( ) (2)(1)1212 1 2 f x x xxxxx ， 而 0 1 1 n n x x ，( 1,1)x ， 且 00 11 ( ) 22 1 2 nn n nn x x x ，( 2,2)x ， 故 1 100 111 ( )(1) 222 nnn nn nnn f xxxx ，其收敛区间为( 1,1). 六、 （本题满分六、 （本题满分 5 分）分） 计算二重积分 2 x De dxdy ， 其中D是第一象限中由直线yx和 3 xy 围成的封闭区域. 解：解：联立yx和 3 xy ，可解得两曲线交点的横坐标 0 x 和1x ，于是 222 3 11 3 00 ()1 2 x xxx Dx e e dxdydxe dyxx e dx 七、 （本题满分七、 （本题满分 6 分）分） 已知某商品的需求量 x 对价格 P 的弹性为 3 3p， 而市场对商品的最大需求量为 1 （万件） ，求需求函数. 解：解：由弹性的定义，有 3 3 p dx p x dp ，即 2 3 dx p dp x ， 于是有 3 p xce，c为待定常数. 由题意 0p 时，1x ，故1c ，因此 3 p xe. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 13 页 八、 （本题满分八、 （本题满分 8 分）分） 解线性方程组 3377 13 3 4342 431 321 431 4321 xxx xxx xxx xxxx 【 1 2 3 4 31 82 01 60 x x k x x ，k 为任意常数】 解：解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，有 2143410103 1011301208 3110100016 7073300000 故原方程组与下方程组同解： 13 23 4 3 82 6 xx xx x ，令 3 0 x ，可得原方程组的特解(3, 8,0,6)T. 又显然原方程组的导出组与下方程组同解： 13 23 4 2 0 xx xx x ，令 3 1x ，可得导出组的基础解系( 1,2,1,0)T . 因此原方程组的通解为： 1234 ( ,)(3, 8,0,6)( 1,2,1,0) TT x x x xk，其中k为任意常数. 九、 （本题满分九、 （本题满分 7 分）分） 设矩阵A和B满足2ABAB，求矩阵B，其中A 423 110 123 . 解：解：因2ABAB，故2ABBA，即(2 )AE BA， 故 1 (2 )BAEA 386 296 2129 十、 （本题满分十、 （本题满分 6 分）分） 求矩阵A 312 014 101 的实特征值及对应的特征向量. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 14 页 解：解： 令 0EA， 即 2 (1 ) (45 ) 0,可见矩阵A只有一个实特征值1. 易见，线性方程组()0EA X的基础解系为(0,2,1)T，故A对应于实特征值1的特 征向量为(0,2,1)Tk， （其中k为非零任意常数）. 十一、 （每小题十一、 （每小题 4 分，满分分，满分 8 分）分） (1) 已知随机变量 X 的概率分布为(1)0.2, (2)0.3, (3)0.5P XP XP X，试写 出X的分布函数( )F x. 解：解：X的分布函数为( )F x 0, 0.2, 0.5, 1, 3 32 21 1 x x x x . (2) 已知随机变量 Y 的概率密度为 0 0 0 )( 2 2 2 2 y y e yf a y a y , 求随机变量 Y Z 1 的数学 期望EZ. 解：解： 22 22 22 2 2 00 11112 ( )( )2 22 yy aa y EZEf y dyedyedy Yyy aaa . 十二、 （本题满分十二、 （本题满分 8 分）分） 设有两箱同种零件.第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品；第二箱内装有 30 件，其中 18 件一等品.现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件 均不放回） ，试求: (1) 先取出的零件是一等品的概率p； (2) 在先取出的零件是一等品的条件下， 第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q. 解：解：设 i B 取出的零件为第i箱中的， j A 第j次取出的是一等品，,1,2i j ， 显然 12 ,B B为正概完备事件组，故全概公式得 (1) 1111212 1 101 182 ()() ()() () 2 502 305 pP AP B P A BP B P A B； (2) 1211212122 1 10 91 18 17276 ()() ()() () 2 50 492 30 291421 P AAP B P AA BP B P AA B ， 于是，由贝叶斯公式得q 12 21 1 ()690 ()0.48557 ()1421 P A A qP A A P A . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 15 页 数数 学（试卷学（试卷） 一、判断题（每小题答对得一、判断题（每小题答对得 2 分，答错得分，答错得-1 分，不答得分，不答得 0 分，全题最低分，全题最低 0 分）分） (1) 【 同数学 第一（1）题 】 (2) 【 同数学 第一（2）题 】 (3) 若函数( )f x在区间( , )a b严格单增， 则对区间( , )a b内任何一点x有( )0fx. （ ） (4) 若A为n阶方阵，k为常数，而A和kA为A和kA的行列式，则kAk A. （ ） (5) 【 同数学 第一（5）题 】 二、选择题（每小题二、选择题（每小题 2 分，满分分，满分 10 分）分） (1) 【 同数学 第二（1）题 】 (2) 【 同数学 第二（2）题 】 (3) 【 同数学 第二（3）题 】 (4) 【 同数学 第二（4）题 】 (5) 对于任二事件A和B，有()P AB (C) (A) ( )( )P AP B (B) ( )( )()P AP BP AB (C) ( )()P AP AB (D) )()()(BAPBPAP 三、计算下列各三、计算下列各题（每小题题（每小