宁夏银川金凤区六盘山高级中学高三数学上学期期末考试试卷文

宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期期末考试数学（文）试题一、选择題：本大題共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据交集的概念，两个集合的交集表示的是两者公共的元素，即表示内大于的整数，由此求得两个集合的交集，并得出正确选项.【详解】表示两个集合的交集，即表示内大于的整数，故，故选C.【点睛】本小题主要考查两个集合交集的概念以及交集的求解，考查区间的定义以及整数集符号的识别，属于基础题.2.复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z对应点的坐标，则答案可求【详解】复数z=34ii=43i.对应的点为4,3，位于第四象限.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=1，b=3，A=6，则B=（ ）A. 6 B. 3 C. 6或56 D. 3或23【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理，求得sinB的值，由此求得B的大小，从而得出正确选项.【详解】由正弦定理得asinA=bsinB，即112=3sinB，解得sinB=32，故B=3或23，所以选D.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.4.已知向量a=(3,0)，b=(0,1)，c=(k,3)，若(a2b)c，则k=（ ）A. 2 B. 2 C. 32 D. 32【答案】B【解析】【分析】求出a2b =3,2，利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.【详解】由a=(3,0)，b=(0,1)，得a2b =3,2，若(a2b)c，则(a2b)c=0，所以3k+23=0,k=2.故选B.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用x1y2x2y1=0解答；（2）两向量垂直，利用x1x2+y1y2=0解答.5.己知双曲线C:x2a2y2b2=1ab,b0的一条渐近线与直线2xy+1=0平行，则双曲线C的 离心率为（ ）A. 2 B. 5 C. 3 D. 2【答案】B【解析】【分析】利用两直线平行斜率相等，求得渐近线的斜率，在利用离心率公式求得双曲线的离心率.【详解】由于渐近线和直线2xy+1=0平行，故渐近线的斜率ba=2，所以双曲线的离心率为e=1+ba2=1+4=5，故选B.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查两条直线平行的条件，考查化归与转化的数学思想方法以及运算求解能力，属于基础题.两条直线平行，那么它们的斜率相等，截距不相等.双曲线的离心率公式除了e=ca以外，还可以转化为e=1+ba2来求解出来.6.设等比数列an前n项和为Sn，若S3=2,S6=6，则a10+a11+a12=（ ）A. 8 B. 16 C. 32 D. 79【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质可知S3,S6S3,S9S6,S12S9成等比数列，通过这个数列的前2项求得公比，进而求得S12S9即a10+a11+a12的值.【详解】由于数列是等比数列，故有S3,S6S3,S9S6,S12S9成等比数列，而S3=2,S6S3=4，故这个数列的公比为2，首项为2，所以a10+a11+a12=S12S9=223=16，故选B.【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，属于基础题.若一个数列是等比数列，则Sm,S2mSm,S3mS2m,也成等比数列.同样，如果一个数列是等差数列，则Sm,S2mSm,S3mS2m,也成等差数列.要熟练记忆一些有关等差数列和等比数列的性质，对于解题有很大的帮助.7.函数f(x)=lnx+1x+1 的大致图像为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】此题主要利用排除法，当x+时，可得fx0，故可排除C，D，当x时，可排除选项B，故可得答案.【详解】当x+时，lnx+10，x+10，fx0，故可排除C，D选项；当x时，lnx+10，x+10，fxb0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆xc32+y2=b29相切于点Q(其中为椭圆的半焦距)，且PQ=2QF，则椭圆C的离心率为（ ）A. 53 B. 52 C. 13 D. 12【答案】A【解析】【分析】设椭圆的左焦点为F1，确定PF1PF，|PF1|=b，|PF|=2ab，即可求得椭圆的离心率【详解】设椭圆的左焦点为F1，连接F1，设圆心为C，则x-c32+y2=b29圆心坐标为(c3,0)，半径为r=b3|F1F|=3|FC|PQ=2QFPF1QC，|PF1|=b|PF|=2ab线段PF与圆x-c32+y2=b29（其中c2=a2b2）相切于点Q，CQPFPF1PFb2+（2ab）2=4c2b2+（2ab）2=4（a2b2）a=32bc=a2b2=52bc=ca=53故选：A【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查直线与圆的位置关系，确定几何量的关系是关键求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a,c，代入公式e=ca；只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2=c2a2转化为a,c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或a2转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).12.已知M=|f()=0，N=|g()=0，若存在M，N，使得|n，则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”.若f(x)=2x21与g(x)=x2aex互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为A. (1e2,4e B. (1e,4e2 C. 4e2,2e) D. 4e3,2e2)【答案】B【解析】易知函数f(x)在R上单调递增，且f(2)=2221=0，所以函数f(x)只有一个零点2，故M=2.由题意知|2|1，即10，函数h(x)单调递增；当x(2,3)时，h(x)1e，所以1e0 上的点Px0,y0到焦点的距离为x0+p2；抛物线x2=2pyp0 上的点Px0,y0到焦点的距离为y0+p2.16.三棱锥DABC中，DC面ABC，且AB=BC=CA=DC=2，则该三棱锥的外接球的表面积是_.【答案】283【解析】【分析】作ABC的外接圆，过点C作圆的直径CM，连结DM则DM为三棱锥DABC 的外接球的直径，由此能求出三棱锥DABC的外接球表面积【详解】作ABC的外接圆，过点C作圆的直径CM，连结DM，则DM为三棱锥DABC 的外接球的直径，三棱锥DABC中，DC平面ABC，且AB=BC=CA=DC=2 ，CM=2sin60=43， DC 平面ABC，DCCM，DM2=DC2+CM2=22+（43）2=283， R=DM2=12283=73， 三棱锥DABC的外接球表面积为：S=4R2=473=283 故答案为：283【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列an为等差数列，其中a2+a3=8，a5=3a2（1）求数列an的通项公式；（2）记bn=2anan+1，设bn的前n项和为Sn，求最小的正整数n，使得Sn20192020成立【答案】（1）an=2n1；（2）1010【解析】【分析】（1）设等差数列an的公差为d，根据题意可列方程组，即可求解（2）根据bn=2anan+1=2(2n-1)(2n+1)=12n-1-12n+1，可裂项相消求和，解不等式即可求解.【详解】（1）设等差数列an的公差为d，依题意可得2a1+3d=8a1+4d=3a1+3d，解得a1=1，d=2，从而数列an的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1（2）由（1）知an=2n-1，所以bn=2anan+1=2(2n-1)(2n+1)=12n-1-12n+1，所以Sn=(11-13)+(13-15)+(12n-1-12n+1)=1-12n+1=2n2n+1令2n2n+120192020，解得n20192，故使得Sn20192020成立的最小的正整数n的值为1010【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，裂项相消法，属于中档题.18.在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a.b.c，且2bca=cosCcosA（1）求角A的值；（2）若三角形面积为32，且a=5，求三角形ABC的周长.【答案】（1）A=3（2）5+11【解析】解:（1）因为2b-ca=cosCcosA (2b-c)cosA=acosC，由正弦定理得(2sinB-sinC)cosA=sinAcosC， 即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C) 因为BAC，所以sinB=sin(A+C)，所以2sinBcosA=sinB因为B(0，)，所以sinB0， 所以cosA=12，因为0Ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，|F1F2|=2，过点F1的直线与椭圆C交于A,B两点，延长BF2交椭圆C于点M，ABF2的周长为8.（1）求C的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点P(x0,0)，使得PMPB为定值？若存在，求x0；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12,x24+y23=1； （2）存在点P，且x0=118.【解析】【分析】（1）由已知条件得c=1，a=2，即可计算出离心率和椭圆方程（2）假设存在点P，分别求出直线BM的斜率不存在、直线BM的斜率存在的表达式，令其相等，求出结果【详解】（1）由题意可知，|F1F2|=2c=2，则c=1，又ABF2的周长为8，所以4a=8，即a=2，则e=ca=12，b2=a2-c2=3.故C的方程为x24+y23=1.（2）假设存在点P，使得PMPB为定值.若直线BM的斜率不存在，直线BM的方程为x=1，B(1,32)，M(1,-32)，则PMPB=(x0-1)2-94.若直线BM的斜率存在，设BM的方程为y=k(x-1)，设点B(x1,y1)，M(x2,y2)，联立x24+y23=1y=k(x-1)，得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0，根据韦达定理可得：x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2-124k2+3，由于PM=(x2-x0,y2)，PB=(x1-x0,y1)，则PMPB=x1x2-(x1+x2)x0+x02+y1y2 =(k2+1)x1x2-(x0+k2)(x1+x2)+k2+x02=(4x02-8x0-5)k2+3x02-124k2+3因为PMPB为定值，所以4x02-8x0-54=3x02-123，解得x0=118，故存在点P，且x0=118.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及定值问题，在解答定值问题时先假设存在，分别求出斜率不存在和斜率存在情况下的表达式，令其相等求出结果，此类题型的解法需要掌握21.已知函数f(x)=xlnx，g(x)=x1.（1）求函数G(x)=f(x)g(x)的单调区间；（2）当x1时，若f(x4)4ag(x4)恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为(0,1)和(1,+)，无单调递减区间；（2）(,14.【解析】【分析】（1）化简G(x)=xlnxx-1，求出Gx，在定义域内，分别令Gx0求得x的范围，可得函数Gx增区间，Gx0且x1），所以G(x)=x-1-lnx(x-1)2.设h(x)=x-1-lnx，则h(x)=1-1x.当x1时，h(x)=1-1x0，h(x)是增函数，h(x)h(1)=0，所以G(x)=x-1-lnx(x-1)20.故G(x)在(1,)上为增函数；当0x1时，h(x)=1-1xh(1)=0，所以G(x)=x-1-lnx(x-1)20，所以G(x)在(0,1)上为增函数.故G(x)的单调递增区间为(0,1)和(1,+)，无单调递减区间.（2）设H(x)=14f(x4)-ag(x4)，则H(x)=x3(4lnx+1-4a).已知条件即为当x1时H(x)0.因为y=4lnx+1-4a为增函数，所以当x1时，4lnx+1-4a4ln1+1-4a=1-4a.当a14时，H(x)0，当且仅当a=14，且x=1时等号成立.所以H(x)在1,+)上为增函数.因此，当x1时，H(x)H(1)=0.所以a14满足题意.当a14时，由H(x)=x3(4lnx+1-4a)=0，得lnx=a-14，解得x=ea-14.因为a14，所a-140，所以ea-14e0=1.当x(1,ea-14)时，H(x)0，因此H(x)在(1,ea-14)上为减函数.所以当x(1,ea-14)时，H(x)H(1)=0，不合题意.综上所述，实数的取值范围是(-,14.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性、求最值以及不等式恒成立问题，考查分类讨论的思想，属于难题. 不等式恒成立问题常见方法： 分离参数afx恒成立(afxmax即可)或afx恒成立（afxmin即可）； 数形结合(y=fx 图象在y=gx 上方即可)； 讨论最值fxmin0或fxmax0恒成立； 讨论参数.请考生在第22、23题中任选-题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.在平面直角坐标系xoy，曲线C1:x+y4=0，曲线C2:x=cosy=1+sin（为参数），以坐标原点O为 极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线l:=a0,0a2分别交C1，C2于M，N两点，求ONOM的最大值.【答案】（1）cos+sin4=0，=2sin；（2）2+14【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）利用三角函数关系式的恒等变换，变形成正弦型函数，进一步求出函数的最值【详解】（1）因为 ，所以 的极坐标方程为cos+