- Wilcoxon符号秩检验

。2.2Wilcoxon符号秩检验(Wilcoxonsigned-ranktest)是非参数统计中符号检验方法的改进。它不仅利用了观测值与原始假设中心位置之间的正负差值，还利用了差值大小的信息。虽然这是一种简单的非参数方法，但它体现了秩的基本思想。以下是10个欧洲城镇每人每年平均饮酒量(相当于纯酒精)。数据按升序排列。4 . 125 . 187 . 639 . 7410 . 3911 . 9212 . 3212 . 8913 . 5414 . 45一般认为，欧洲国家平均每年的酒精消费量相当于8升纯酒精，即me0=8。根据数据计算的中位数是11.16。因此，我们的测试设置为：h0: me=8，h1: me8，首先，计算每个样本的值与原始假设(即Xi-8)中me0的值之间的差值。考虑这些差异的绝对值，绝对值从小到大排序，从而获得这些绝对值的等级。然后计算对应于大于8的样本的绝对值之和。如果这个总和更大，我们拒绝原始假设，接受替代假设。问题的一般公式如下：假设样本x1，xn来自连续对称分布的种群x。在这种假设下，总体x的中值等于平均值。主要问题是中位数检验，即原始检验是h0: me=me0，这与单边和双边的各种不同假设有关。威尔克森符号秩检验假设总体分布是对称的。(2)假设总体的分布是对称的，即如果总体的分布关于点是对称的，则X的平均值和中值是相同的，都是。因此，测试人口的中位数可以等同于测试人口的对称中心。也就是说，最初的假设H0: M=M0的检验等价于H0: = 0(相对于单边和双边的各种替代假设)。测试步骤：H0: = 0(对应于单侧和双侧的每个替代假设)步骤1。计算I=1，2，注意，区别是zi。步骤2差值zi的绝对值，即，由小到大排列。因为总体服从连续分布，所以可以假设样本彼此不相等，不等于0，并且样本差的绝对值彼此不相等。因此，样本zi的绝对值的秩。可以被获得并且可以被记为Ri。符号秩和检验统计量是其中之一或检验统计量是其中之一，w是主要检验统计量。步骤4设置W代表从样本计算的W值。(1) H0: = 0，H1:0P=P(WW)；H0:=0，H1:0 .如果H1成立，人口x的分布关于点是对称的。因此，P(X0)P(Xa)P(X8)通过威尔克森符号秩来测试，这相当于测试h0: =8，h1: 8，对于I=1，2，n，新样本zi和它们相应的等级计算如下：步骤1 2。计算W。W=2467 889 10=46使用W的分布和统计软件，可以计算P=0.032。第三步。因此，假设=0.05，最初的假设此时可以被拒绝，并且据信欧洲的人均年酒精消费量超过8升。对于、和w的分布性质，让独立的同分布样本x1，xn来自连续对称总体x，x分布的对称中心是。为了便于讨论，我们也可以在原始假设H0: =0，即总分布关于原点0对称的情况下讨论W的性质。注：W和W-具有以下关系：W-W-=N(n1)/2。(关键)属性2.1使得当总体分布关于原点0对称时，W和S均匀分布。注：当ri=1时，s是W的特例。研究W的分布可以改为研究s的分布。概率分布性质2.2当总体的分布关于原点0对称时，W的概率分布是P (W=D)=P (S=D)=tn(d)/2N，其中D=0，1，2，N (N 1)/2，TN (D)表示从1，2，N，其和正好是d。有多少种方法？对称性2.3当总体分布关于原点0对称时，w服从对称分布，并且对称性质2.5如果总体分布关于原点0对称，当样本量N接近无穷大时，W具有渐近正态性：W N (N (N 1)/4，n(n 1)(2n 1)/24)。如果有交叉点，则使用平均等级法。性质2.6当种群的分布关于原点0对称并且结的秩被平均时，E(W )=n(n 1)/4，d(W)=n(n1)(2 n1)/24-其中g代表结的数目和第一个结的长度。当有结时，W的期望和方差实际上是条件期望和方差。当样本数据中给定了G结并且分别给定了结的长度时，它们是条件期望和条件方差。和符号测试的比较。继续示例2.2两个不同方向的假设测试。考虑以下假设检验：h0: m=12.5，h1: M8 (h1)威尔柯森符号秩检验和符号检验分别用于这两个问题。符号测试结果不能拒绝H0测试(H1): S-=3，S=7，测试统计量K=S=3，P值=0.171875，=0.05。对于测试(H2): S-=7，S=3，测试统计值K=S=3，P值=0.171875，对于=0.05，H0不能被拒绝。结果完全对称！解释符号检查只与符号相关！威尔科克斯符号秩检验结果拒绝H0检验(H1):检验统计量W=46，P值=0.03223，=0.05。对于测试(H2):测试统计值w=11，p值=0.05273，对于=0.05，H0不能被拒绝。结果是不对称的！这说明威尔克森符号秩检验不仅与符号有关，而且与数值有关！威尔科森有符号秩检验的置信区间，沃尔什平均是利用更多的信息，可以找到每两个数的平均值(Xi xj)/2，I j，(总数n(n 1)/2)来扩展样本数。这样的平均值称为沃尔什平均值。沃尔什平均与w的关系。在原始假设成立的条件下，即H0: = 0成立，特别是如果原始假设成立H0: =0，是的，Hodge-Lehmann估计量可以通过沃尔什平均得到对称中心的点估计，对称中心可以通过沃尔什平均的中值来估计，称为Hodge-Lehmann估计量。的置信区间。沃尔什平均可用于获得0的100(1-)%置信区间。具体步骤如下：(1)首先得到满足以下两个表达式的整数k，即k使P(W k)/2，p (w n-k) /2，(2)得到的沃尔什平均按升序排列，记为W(1)，W(N)，N=n(n 1)/2，则0的100(1-)%置信区间为w (k 1)，w (n-k)。看看示例2.2的置信区间。获得沃尔什平均值，总共55个值。如果=0.05，那么当k=9时，有P(W 9)0.025和p (w 55-9) 0.025，因此的95%置信区间是w (10)，w (46)=8.02，12.73。将两对数据的比较问题和两对数据的比较问题转化为一个单样本问题，利用符号检验或威尔柯森符号秩检验进行统计分析。该方法是在两对样本之间进行区分，观察它们的差异并将其视为新样本，因此两对样本实际上是一个样本。12组双胞胎接受了心理测试来衡量每个人的主动性。我们有兴趣比较双胞胎，看看第一个比另一个更有侵略性。结果如下：高分表明更多的主动性。在表中，代表第一胎的得分，易代表第二胎的得分。Di代表两者之差，即di=yi-xi，i=1，2，12岁。Ri代表Di的绝对值的秩。然后是D1，D12独立且同分布，总数为D.问题是找到d的中值MD的95%置信区间。和Di的12个值按如下顺序排列：-15，-12，-10，-8，-7，-4，-3，-1，2，5，6，9取=0.05，查表得到k=14。那么多维的95%置信区间是W(15)，W(64)。从(-15-15)/2开始，15个最小值的平均值为-15，-13.5，-12.5，-12，-11.5，-11，