山西运城康杰中高考数学模拟6理

2017年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷（理科）（6）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知，则有（）AMN=NBMN=MCMN=NDMN=R2已知复数z满足=1i，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（）A2B2C1D13已知为锐角，若sin（）=，则cos（）=（）ABCD4给定下列三个命题：p1：函数y=ax+x（a0，且a1）在R上为增函数；p2：a，bR，a2ab+b20；p3：cos=cos成立的一个充分不必要条件是=2k+（kZ）则下列命题中的真命题为（）Ap1p2Bp2p3Cp1p3Dp2p35若双曲线x2=1（b0）的一条渐近线与圆x2+（y2）2=1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（）A（1，2B2，+）C（1，D，+）6设等比数列an的前n项和为Sn，若S10：S5=1：2，则S15：S5=（）A3：4B2：3C1：2D1：37已知非零向量、满足|+|=|=|，则+与的夹角为（）A30B60C120D1508执行如图所示的程序框图，若输出的结果是10，则判断框内m的取值范围是（）A（56，72B（72，90C（90，110D（56，90）9某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A2BCD410已知不等式组（a0）表示的平面区域的面积为，则a=（）AB3CD211过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|=3，则AOB的面积为（）ABCD212已知函数f（x）=，函数g（x）=bf（2x），其中bR，若函数y=f（x）g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A（，+）B（，）C（0，）D（，2）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13在区间（0，4），上任取一实数x，则22x14的概率是 14空间四边形ABCD中，对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，且MN=7，则异面直线AC与BD所成的角为 15设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2D，满足x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点Q为函数y（x）=f（x）图象的对称中心，研究并利用函数f（x）=x33x2sin（x）的对称中心，可得f（）+f（）+f（）= 16在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2B+sin2B=1，若|+|=3，则的最小值为 三、解答题：（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8（）求等差数列an的通项公式；（）若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和18微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2（1）确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图；（2）为进一步了解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随积选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望 使用微信时间（单位：小时） 频数频率 （0，0.5 3 0.05 （0.5，1 x p （1，1.5 9 0.15 （1.5，2 15 0.25 （2，2.5 18 0.30 （2.5，3 y q 合计 601.0019四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且PA=AB=AD=CD，ABCD，ADC=90（）在侧棱PC上是否存在一点Q，使BQ平面PAD？证明你的结论；（）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值20已知动点M到定点F（1，0）和定直线x=4的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过点F作斜率不为0的任意一条直线与曲线C交于两点A，B，试问在x轴上是否存在一点P（与点F不重合），使得APF=BPF，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由21已知函数f（x）=lnx+（） 若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（） 证明：当a，b1时，f（lnb）选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为（）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|xa|（）若不等式f（x）m的解集为1，5，求实数a，m的值；（）当a=2且0t2时，解关于x的不等式f（x）+tf（x+2）2017年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷（理科）（6）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知，则有（）AMN=NBMN=MCMN=NDMN=R【考点】1E：交集及其运算【分析】根据题意，解x2x0可得集合M，解0可得集合N，分析可得NM，由子集的性质可得有MN=N、MN=M成立，分析选项可得答案【解答】解：x2x00x1，则M=x|0x1，00x1，则N=x|0x1，有NM，则有MN=N，MN=M，分析选项可得A符合；故选A2已知复数z满足=1i，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（）A2B2C1D1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【解答】解：复数z满足=1i，z=1+2i（1i）=1+2i，z的虚部为2故选：A3已知为锐角，若sin（）=，则cos（）=（）ABCD【考点】GI：三角函数的化简求值【分析】利用同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，求得要求式子的值【解答】解：为锐角，若sin（）=，0，cos（）=，则cos（）=cos（）=cos（）cos+sin （）sin=+=，故选：C4给定下列三个命题：p1：函数y=ax+x（a0，且a1）在R上为增函数；p2：a，bR，a2ab+b20；p3：cos=cos成立的一个充分不必要条件是=2k+（kZ）则下列命题中的真命题为（）Ap1p2Bp2p3Cp1p3Dp2p3【考点】2E：复合命题的真假；2K：命题的真假判断与应用【分析】p1：当0a1时，函数y=ax+x（a0，且a1）在R上不是增函数，即可判断出真假；p2：a，bR，a2ab+b2=0，不存在a，bR，a2ab+b20，即可判断出真假；p3：cos=cos=2k（kZ），即可判断出真假【解答】解：p1：当0a1时，函数y=ax+x（a0，且a1）在R上不是增函数，是假命题；p2：a，bR，a2ab+b2=0，因此不存在a，bR，a2ab+b20，是假命题；p3：cos=cos=2k（kZ），因此cos=cos成立的一个充分不必要条件是=2k+（kZ），是真命题因此p1p2，p2p3，p1p3是假命题；p2p3是真命题故选：D5若双曲线x2=1（b0）的一条渐近线与圆x2+（y2）2=1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（）A（1，2B2，+）C（1，D，+）【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】双曲线x2=1（b0）的一条渐近线与圆x2+（y2）2=1至多有一个交点，圆心（0，2）到渐近线的距离半径r解出即可【解答】解：圆x2+（y2）2=1的圆心（0，2），半径r=1双曲线x2=1（b0）的一条渐近线与圆x2+（y2）2=1至多有一个交点，1，化为b23e2=1+b24，e1，1e2，该双曲线的离心率的取值范围是（1，2故选：A6设等比数列an的前n项和为Sn，若S10：S5=1：2，则S15：S5=（）A3：4B2：3C1：2D1：3【考点】8G：等比数列的性质【分析】本题可由等比数列的性质，每连续五项的和是一个等比数列求解，由题设中的条件S10：S5=1：2，可得出（S10S5）：S5=1：1，由此得每连续五项的和相等，由此规律易得所求的比值选出正确选项【解答】解：等比数列an的前n项和为Sn，若S10：S5=1：2，（S10S5）：S5=1：2，由等比数列的性质得（S15S10）：（S10S5）：S5=1：（2）：4，所以S15：S5=3：4故选A7已知非零向量、满足|+|=|=|，则+与的夹角为（）A30B60C120D150【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角【分析】欲求（+）与（）的夹角，根据公式cos，=，需表示（+）（）及|+|；由于|+|易于用|表示，所以考虑把（+）（）也用|表示，这需要把已知等式都平方整理即可【解答】解：|+|=|=|（+）2=（）2=2 整理得=0， 2=2设（+）与（）的夹角为，则（+）（）=|+|cos=2cos，且（+）（）=22=2cos=，解得=60故选B8执行如图所示的程序框图，若输出的结果是10，则判断框内m的取值范围是（）A（56，72B（72，90C（90，110D（56，90）【考点】EF：程序框图【分析】由已知中该程序的功能是计算2+4+6+值，由循环变量的初值为1，步长为1，最后一次进入循环的终值为10，由此易给出判断框内m的取值范围【解答】解：由于程序的运行结果是10，所以可得解得72m90故选：B9某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A2BCD4【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由已知三视图得到几何体形状，根据图中数据计算体积【解答】解：该几何体是一个正方体去掉两个三棱锥，如图所示，所以V=222221=故选：B10已知不等式组（a0）表示的平面区域的面积为，则a=（）AB3CD2【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域【分析】画出约束条件表示的可行域，如图求出交点坐标，然后求出两个三角形面积，列出关于a的方程，再求出a即可【解答】解：画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分，由题意B（2，0），A（x，y）不等式组所表示的平面区域的面积为： =y=，x=代入直线方程x+ay=2，a=故选A11过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|=3，则AOB的面积为（）ABCD2【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；K8：抛物线的简单性质【分析】设直线AB的倾斜角为，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=1的距离为3，从而cos=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积【解答】解：设直线AB的倾斜角为（0）及|BF|=m，|AF|=3，点A到准线l：x=1的距离为32+3cos=3cos=m=2+mcos（）AOB的面积为S=故选C12已知函数f（x）=，函数g（x）=bf（2x），其中bR，若函数y=f（x）g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A（，+）B（，）C（0，）D（，2）【考点】54：根的存在性及根的个数判断【分析】求出函数y=f（x）g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：g（x）=bf（2x），y=f（x）g（x）=f（x）b+f（2x），由f（x）b+f（2x）=0，得f（x）+f（2x）=b，设h（x）=f（x）+f（2x），若x0，则x0，2x2，则h（x）=f（x）+f（2x）=2+x+x2，若0x2，则2x0，02x2，则h（x）=f（x）+f（2x）=2x+2|2x|=2x+22+x=2，若x2，x2，2x0，则h（x）=f（x）+f（2x）=（x2）2+2|2x|=x25x+8即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+，当x2时，h（x）=x25x+8=（x）2+，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足b2，故选：D二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13在区间（0，4），上任取一实数x，则22x14的概率是【考点】CF：几何概型【分析】解不等式，求出x的范围，根据区间的长度的比值求出满足条件的概率即可【解答】解：解不等式22x14，得：2x3，所以，故答案为：14空间四边形ABCD中，对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，且MN=7，则异面直线AC与BD所成的角为60【考点】LM：异面直线及其所成的角【分析】首先通过平行线把异面直线转化为共面直线，利用解三角形知识中的余弦定理求出异面直线的夹角【解答】解：取BC的中点G，连接GM，GNM、N分别是AB、CD的中点，对角线AC=10，BD=6，所以：GM=5，GN=在GMN中，EF=7，GM=5，GN=3利用余弦定理得： |=即：cos所以：MGN=120所以：异面直线AC与BD所成的角为60故答案为：6015设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2D，满足x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点Q为函数y（x）=f（x）图象的对称中心，研究并利用函数f（x）=x33x2sin（x）的对称中心，可得f（）+f（）+f（）=8066【考点】3O：函数的图象【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得f（x）=x33x2sin（x）=（x1）3sin（x）3（x1）2，分析可得x1+x2=2，则f（x1）+f（x2）=4，由此计算可得答案【解答】解：根据题意，f（x）=x33x2sin（x）=（x1）3sin（x）3（x1）2，分析可得：若x1+x2=2，则f（x1）+f（x2）=4，=；故答案为：806616在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2B+sin2B=1，若|+|=3，则的最小值为【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】推导出sin（2B+）+=1，从而，由，两边平方，利用余弦定理得b=3，由此能求出的最小值【解答】解：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2B+sin2B=1，+=sin（2B+）+=1，0B，两边平方得a2+c22accosB=9=b2，b=3，ac，的最小值为故答案为：三、解答题：（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8（）求等差数列an的通项公式；（）若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和【考点】8F：等差数列的性质；8E：数列的求和【分析】（）设等差数列an的公差为d，由等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8，利用等差数列的通项公式列出方程组，求公差和首项，由此能求出等差数列an的通项公式（）由（）和a2，a3，a1分别为1，2，4，成等比数列，知|an|=|3n7|=，由此能求出数列|an|的前n项和为Sn【解答】解：（）设等差数列an的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d，等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8，解得，或，所以由等差数列通项公式，得an=23（n1）=3n+5，或an=4+3（n1）=3n7故an=3n+5，或an=3n7（）当an=3n+5时，a2，a3，a1分别为1，4，2，不成等比数列；当an=3n7时，a2，a3，a1分别为1，2，4，成等比数列，满足条件故|an|=|3n7|=，记数列|an|的前n项和为Sn当n=1时S1=|a1|=4；当n=2时，S2=|a1|+|a2|=5；当n3时，Sn=S2+|a3|+|a4|+|an|=5+（337）+（347）+（3n7）=5+=当n=2时，满足此式综上所述，18微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2（1）确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图；（2）为进一步了解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随积选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望 使用微信时间（单位：小时） 频数频率 （0，0.5 3 0.05 （0.5，1 x p （1，1.5 9 0.15 （1.5，2 15 0.25 （2，2.5 18 0.30 （2.5，3 y q 合计 601.00【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列【分析】（1）根据分布直方图、频率分布表的性质，列出方程组，能确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图（2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有4人，“非网购达人”有6人，的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望【解答】解：（1）根据题意，有，解得x=9，y=6，p=0.15，q=0.10，补全频率分布图有右图所示（2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有10=4人，“非网购达人”有10=6人，的可能取值为0，1，2，3，P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，的分布列为： 0 1 2 3 P E=19四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且PA=AB=AD=CD，ABCD，ADC=90（）在侧棱PC上是否存在一点Q，使BQ平面PAD？证明你的结论；（）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定【分析】（I） 当Q为侧棱PC中点时，取PD的中点E，连结AE、EQ，推导出四边形ABQE为平行四边形，从而BQAE，由此能证明BQ平面PAD（）法一：设平面PAD平面PBC=l，则BQl，推导出lPD，lPC，则DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角，由此能求出平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值法二：建立空间直角坐标系，设PA=AB=AD=1，CD=2，利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值【解答】解：（I） 当Q为侧棱PC中点时，有BQ平面PAD证明如下：如图，取PD的中点E，连结AE、EQQ为PC中点，则EQ为OCD的中位线，EQCD，且EQ=CDABCD，且AB=CD，EQAB，且EQ=AB，四边形ABQE为平行四边形，则BQAEBQ平面PAD，AE平面PAD，BQ平面PAD （）解法一：设平面PAD平面PBC=lBQ平面PAD，BQ平面PBC，BQlBQ平面PCD，l平面PCD，lPD，lPC故DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角CD平面PAD，CDPD设PA=AB=AD=，则PD=，PC=，故cos平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为解法二：如图建立空间直角坐标系，设PA=AB=AD=1，CD=2，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，2，0），P（0，0，1），则=（0，1，1），=（1，1，0）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，1）由CD平面PAD，ABCD，知AB平面PAD，平面PAD的法向量为设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为，则cos=平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为20已知动点M到定点F（1，0）和定直线x=4的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过点F作斜率不为0的任意一条直线与曲线C交于两点A，B，试问在x轴上是否存在一点P（与点F不重合），使得APF=BPF，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由【考点】KL：直线与椭圆的位置关系【分析】（1）设点M（x，y），利用条件可得等式=|x4|，化简，可得曲线C的轨迹方程；（2）通过设存在点P（x0，0）满足题设条件，分AB与x轴不垂直与不垂直两种情况讨论，利用韦达定理化简、计算即得结论【解答】解：（1）设点M（x，y），则据题意有=|x4|则4（x1）2+y2=（x4）2，即3x2+4y2=12，曲线C的方程：（2）假设存在点P（x0，0）满足题设条件，当AB与x轴不垂直时，设AB的方程为y=k（x1）当AB与x轴不垂直时，设AB所在直线的方程为y=k（x1），代入椭圆方程化简得：（4k2+3）x28k2x+4k212=0，可知0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，若APF=BPF，则kAP+kBP=0，则kAP+kBP=（x11）（x2x0）+（x21）（x1x0）=2x1x2（1+x0）（x1+x2）+2x0=0整理得：k（x04）=0，因为kR，所以x0=4；当ABx轴时，由椭圆的对称性可知恒有APF=BPF，满足题意；综上，在x轴上存在点P（4，0），使得APF=BPF21已知函数f（x）=lnx+（） 若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（） 证明：当a，b1时，f（lnb）【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（）法一：求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可；法二：求出a=xlnx，令g（x）=xlnx，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可；（）令h（x）=xlnx+a，通过讨论a的范围，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（）法1：函数的定义域为（0，+）由，得因为a0，则x（0，a）时，f（x）0；x（a，+）时，f（x）0所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增当x=a时，f（x）min=lna+1当lna+10，即0a时，又f（1）=ln1+a=a0，则函数f（x）有零点所以实数a的取值范围为法2：函数的定义域为（0，+）由，得a=xlnx令g（x）=xlnx，则g（x）=（lnx+1）当时，g（x）0； 当时，g（x）0所以函数g（