广东江门第二中学高二数学下学期第一次月考理

20182019学年度第二学期第一次考试高二年级理科数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合，为虚数单位，则复数 （A） （B） （C） （D）（2）已知函数的图象在点处的切线方程是,则的值等于（A）1 （B） （C）3 （D）0（3）已知函数，则（A） （B） （C） （D）（4）某班数学课代表给全班同学出了一道证明题.甲说：“丙会证明.”乙说：“我不会证明.”丙说：“丁会证明.”丁说：“我不会证明.”以上四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁（5）已知， 为虚数单位，若，则（A） （B） （C） （D）（6）函数的单调递增区间是（A） （B） （C） （D）（7）函数的极大值为，那么的值是（A） （B） （C） （D）（8）以正弦曲线上一点为切点得切线为直线，则直线的倾斜角的范围是（A） （B） （C） （D）（9）在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（A） （B） （C） （D）（10）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，错误的是 （11）若函数在上的最大值为，则（A） （B） （C） （D）（12）已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则 （A） （B） （C） （D）第II卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.（13）若函数，则_（14）由曲线与直线所围成图形的面积等于_（15）观察下列各式： ， ， ， ， ，则 （16）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分） 已知复数，求分别为何值时，（1）是实数；（2）是纯虚数；（3）当时，求的共轭复数.（18）（本小题满分10分） 已知数列满足(1)分别求的值；（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明. （19）（本小题满分12分） 已知函数在与处都取得极值(1)求函数的解析式；（2）求函数在区间的最大值与最小值（20）（本小题满分12分） 已知函数f(x).(1)判断函数的单调性；(2)若yxf(x)的图象总在直线ya的上方，求实数a的取值范围（21）（本小题满分12分） 某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费（百万元），可增加的销售额为（百万元）.（1）若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？（注：收益=销售额-投入费用）（2）现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费（百万元），可增加的销售额约为（百万元），请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大.（22）（本小题满分12分） 已知函数（其中），（其中为自然对数的底数）.（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的单调区间和极值；（2）若对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围.20182019学年度第二学期第一次考试高二年级理科数学试题参考答案一、 选择题题号123456789101112答案CCBBACADDDAB（1）【答案】C【解析】由MN4，知4M，故zi4，故z4i.（2）【答案】C【解析】由导数的几何意义得所以=，故选C.（3）【答案】B（4）【答案】B【解析】如果甲会证明，乙与丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意；排除选项 ；如果丙会证明，甲乙丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项；如果丁会证明，丙乙都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项 ，故选B.（5）【答案】A【解析】 ，则.（6）【答案】C【解析】，令，解得，所以函数的单调增区间为故选C（7）【答案】A【解析】，令可得，容易判断极大值为.故选A.（8）【答案】D【解析】由题得，设切线的倾斜角为，则 ，故选D.（9）【答案】D【解析】整理得对应的点位于第二象限，则，解得.（10）【答案】D【解析】经检验，A：若曲线为原函数图象，先减后增，则其导函数先负后正，正确；B：若一直上升的函数为原函数图象，单调递增，则其导函数始终为正，正确；C:若下方的图象为原函数图象，单调递增，则其导函数始终为正，正确；D：若下方的函数为原函数，则其导函数为正，可知原函数应单调递增，矛盾；若上方的函数图象为原函数图象，则由导函数可知原函数应先减后增，矛盾.故选D.（11）【答案】A当，即时， 在上单调递减，故令，解得，符合题意综上（12）【答案】B【解析】设函数，则，所以函数在上为减函数，所以，即，所以，故选B.二、填空题（13）【答案】 【解析】f(x)x3f(1)x2+x，f(x)x22f(1)x+1，f(1)12f(1)+1，f(1).（14）【答案】e 【解析】由已知面积S(exx)dxe1e.（15）123（16）【答案】【解析】设直线与曲线和的切点分别为，.由导数的几何意义可得，得，再由切点也在各自的曲线上，可得联立上述式子解得.三、解答题（17）解：（1）Z是实数， ，得 （2）Z是纯虚数， ，且，得 （3）当时， ，得，得当时， ,得；当时， ,得(18) 解： (1），(2）猜想当n=1时命题显然成立 假设命题成立，即当时命题成立综合，当时命题成立（19）解：(1) ，由题意即 解得，经检验符合题意， (2)由(1)知， 令，得， 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x21(1,2)2f(x)00f(x)6极大值极小值2由上表知fmax(x)f(2)2，fmin(x)f(2)6.（20）解：(I) 当 时，为增函数；当时，为减函数(2)依题意得，不等式对于恒成立令，则.当时，则是上的增函数；当时，则是上的减函数所以的最小值是，从而的取值范围是（21）解：（1）设投入广告费（百万元）后由此增加的收益为（百万元），则 ， .所以当时， ，即当商场投入两百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大.（2）设用于技术改造的资金为（百万元），则用于广告促销的费用为（百万元），则由此两项所增加的收益为 .，令，得或（舍去）.当时， ，即在上单调递增；当时， ，即在上单调递减，当时， .故在三百万资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样商场由此所增加的收