数列不等式和点列问题

数列不等式和点列问题数列不等式是高考的一个热点，这类问题是把数列知识与不等式的内容整合在一起，形成了证明不等式，求不等式中的参数范围，求数列中的最大项，最小项，比较数列中的项的大小关系，研究数列的单调性等不同解题方向的问题，而数列的条件的给出是多种多样的，可以是已知的等差数列，等比数列，也可以是一个递推公式，可以是一个函数解析式，数列不等式的证明和解决要调动证明不等式的各种手段,如比较法,放缩法,函数法,反证法,均值不等式法,数学归纳法, 分析法等等.因此,这类题目从已知条件给出的信息,求解目标需求的信息,解题过程所用的方法都相当丰富,并且对于考查逻辑推理, 演绎证明,运算求解,归纳抽象等理性思维能力以及数学联结能力都是很好的素材.在2005年的29套高考数学试题中数列不等式的解答题就出现了11道。点列问题是数列问题与解析几何问题的综合，一个点的横，纵坐标分别是某两个不同数列的项，而这两个数列又由点所在的曲线建立了联系，从而数列的代数特征与曲线的几何性质紧密相关，就可以根据已知条件从数列和曲线两个角度利用所学过的知识进行演绎推理，得到所需要的结果。这类问题在近几年高考中经常出现，就是因为它的综合性较强，可以从数与形的两个角度考查理性思维能力，数学联结能力以及分析问题与解决问题的能力。例如，2002年的京，皖春季卷，2003年的江苏卷，2004年的湖南卷，上海卷，浙江卷，2005年的上海卷，浙江卷都有一道点列问题的解答题。【例1】 (2005年，山东卷，理文21)已知数列的首项前项和为，且（）证明数列是等比数列；（）令，求函数在点处的导数，并比较与的大小.【分析及解】（）由已知可得两式相减得即从而 .当时所以又所以.从而 故总有 ，又.从而,即数列是等比数列；（）由（）知因为 所以 从而=-=-=12 当时，式 =0,所以, ；当时，式=-12,所以 当时，又所以即.从而.第（）问是导数与数列不等式的综合，求出导数之后，用比较法求解。【例2】 (2005年，全国卷，理19)设等比数列的公比为q，前n项和Sn0（n=1，2，） （）求q的取值范围； （）设记的前n项和为Tn，试比较Sn和Tn的大小.【分析及解】第（）问是解不等式的问题，第（）则需要用比较法判断大小关系.（）因为是等比数列，当上式等价于不等式组： 或 解式得q1；解，由于n可为奇数、可为偶数，得1q0，都有【分析及解】（）证法1：当时,即 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当n3时有，证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式(1) 当n=3时， 由 知不等式成立.(2) 假设当n=k（k3）时，不等式成立，即则即当n=k+1时，不等式也成立.由（1）、（2）知，又由已知不等式得 （）有极限，且 （）则有故取N=1024，可使当nN时，都有第（）问是运用逐差法求和或数学归纳法证明的,第（）问是一个有界数列问题,解题的方法是放缩法. 【例7】(2004年，湖南卷，理22)如图，直线与相交于点P.直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，这样一直作下去，可得到一系列点P1、Q1、P2、Q2，点Pn（n=1，2，）的横坐标构成数列（）证明； （）求数列的通项公式；（）比较的大小. 【分析及解】（）证明：设点Pn的坐标是，由已知条件得点Qn、Pn+1的坐标分别是：由Pn+1在直线l1上，得 所以 即 （）解：由题设知 又由（）知 ，所以数列 是首项为公比为的等比数列