第1章-复数与复变函数

1,复变函数论,郭孔华Telmail:guokonghua中南大学数学与统计学院,2,研究对象,复变函数（自变量为复数的函数）,主要任务,正确理解和掌握复变函数中的数学概念、理论和方法。,主要内容,复变函数的积分、级数、留数、共形映射等.,复数与复变函数、解析函数、,引言,3,学习方法,复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处.但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果.,4,背景,复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的.为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域.但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”.直到十八世纪，J.DAlembert与L.Euler等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题.复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展.,5,复变函数的理论基础奠定于十九世纪.A.L.Cauchy和K.Weierstrass分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物.经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用.二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切.,6,第1章复数与复变函数第2章解析函数第3章复变函数的积分第4章解析函数的幂级数表示法第5章解析函数的洛朗展开式与孤立奇点第6章留数理论及其应用第7章共形映射第8章解析延拓第9章调和函数,7,第1章复数与复变函数,1.1复数及其代数运算,8,1.1.1复数的概念,9,两个复数相等的充要条件是他们的实部和虚部分别相等。,一般说来，任意两个复数不能比较大小。,各数集之间的关系可表示为：,10,1.1.2复数的代数运算,11,2.复数的四则运算律,12,共轭复数的运算性质：,图1.1,13,14,例1化简.解,15,例2设，求及.解,所以，,16,1.2复数的几何表示,1.2.1复数的几何表示、复平面,由复数的定义可知，复数是由一对有序实数惟一确定的，于是可建立全体复数和平面上的全部点之间的一一对应关系，即可以用横坐标为，纵坐标为的点表示复数（如图1.2），这是一种几何表示法，通常称为点表示，并将点与数看作同义词.,17,图1.2,由于轴上的点对应着实数，故轴称为实轴；轴上非原点的点对应着纯虚数，故轴称为虚轴。这样表示复数的平面称为复平面或平面。,18,1.2.2.复数的向量表示、模与辐角,（1）复数的向量表示,复数还可以用起点为原点，终点为的向量来表示（如图1.2），与分别是在轴与轴上的投影.这样，复数与平面上的向量之间也建立了一一对应关系.,（2）复数的模与辐角,复数的模.如图1.2中的向量的长度称为复数的模，记作或，即,19,模的性质：,o,x,y,图1.3,20,复数的辐角设复数对应的向量为（如图1.2）,以正实轴为始边，以表示的向量为终边的角，称为复数的辐角,记作，即.,显然，有无穷多个值，其中每两个值相差的整数倍，但所有中满足条件的只有一个，称为复数的辐角的主值，记作，则.而可根据计算得出.,我们规定按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负.,21,22,4.复数的三角表示式由可得复数的三角表示式：5.复数的指数表示式根据欧拉公式，可得复数的指数表示式复数的球面表示如图1.4，取一个与复平面切于原点的球面，球面与始于原点且垂直于复平面的射线相交于点N，对复平面上任一点z，过z和N作直线与球面相交于异于N的一点P，,N,P,.,z,.,O,图1.4,23,反之，对球面上任一异于N的一点P，过N和P的直线与复平面交于一点z，因此，除去点N外球面上的点与复平面上的点一一对应,所以我们就可以用球面上的点来表示复数.扩充复平面从图1.4可以看到，当z无限远离原点时P无限逼近N.我们规定，无限远离原点的点称为无穷远点，它与球面上的点N对应.我们把包括无穷远点的复平面称为扩充复平面，不包括无穷远点的平面称为有限平面或复平面，本书如无特别声明，只考虑有限复数及复平面。,24,例3求和.解,25,例4求的三角表示式与指数表示式.,解：,又因为位于第II象限，,所以,于是,26,例5将复数,化为指数形式.,解：,27,例6用复数方程表示:（1）过两点zj=xj+iyj(j=1,2)的直线；,解：z=z1+t(z2-z1)（-t+）,28,（2）中心在点(0,-1),半径为2的圆.,29,1.3复数的乘幂与方根,1.3.1乘积与商的几何意义定理1两个复数乘积的模等于他们模的乘积；两个复数乘积的辐角等于他们辐角的和.即对任何两个非零复数，下面两个等式同时成立.；三角表示式设则有指数表示式设，则,30,几何意义：将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍.,定理1可推广到n个复数的乘积.,31,定理2两个复数的商的模等于它们模的商；两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角的差.三角表示式设则有指数表示式设，则有,32,33,由公式有：,由三个是内角容易得到：,34,1.3.2复数的乘幂设为正整数，个非零相同复数的乘积，称为的次幂，记为，即若，则有当时，得到著名的棣莫弗(DeMoivr)公式：,35,例1求.,解：,因为，,所以。,例2已知，求。.,解：,因为，,36,所以，,37,问题给定复数z=rei，求所有的满足n=z的复数.,1.3.3.复数的方根,38,当k=0，1，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现.,几何上，的n个值是以原点为中心，为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点.,39,40,例2计算,解：因为，,所以,即,41,1.4区域,1.4.1、区域的概念邻域平面上以为中心，（任意的正数）为半径的圆：内部的点的集合称为的邻域，而称由不等式所确定的点集为的去心邻域.,内点、外点、边界点若点集E的点存在一个邻域全含于E内，则称为E的内点；若点存在一个邻域和E没有任何公共点，则称为E的外点；若点的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称为E的边界点.,42,E的所有边界点组成的点集，称为E的边界.,聚点、孤立点设E是一个点集，若平面上的一点（不必属于E)的任意邻域都有E的无穷多个点，则称为E的聚点或极限点；若属于E，但非E的聚点，则称为E的孤立点.,开集、闭集若点集E的点皆为内点，则称E为开集；若点集E的每个聚点皆属于E，则称E为闭集.,43,区域、闭域平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件：1）D是一个开集；2）D是连通的，就是说D中任意两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来.区域加上它的边界称为闭域。,有界集、无界集若有正数M，对于点集E内的任意点，都有，即若E全含于一圆之内，则称E为有界集，否则称E为无界集.,44,例1集合,为一个垂直带形，它是一个无界区域，其边界为两条直线：,45,例2集合,为一角形，它是一个无界区域，其边界为半射线.,例3集合,为一个圆环，它是一个有界区域，其边界为圆.,46,1.4.2.单连通域与多连通域1.简单曲线（Jordan曲线),令z(t)=x(t)+iy(t)atb;则曲线方程可记为：z=z(t)，atb,47,48,简单闭曲线的性质(Jordan定理),49,2.单连通域与多连通域,50,例如|z|0）是单连通的；0r0,使对E上满足|z1-z2|,的任意两点z1,z2均有|f(z1)-f(z2)|.,76,1.复球面与无穷大2.无穷远点,1.7复球面与无穷远点,77,1.7.1复球面与无穷大:,在点坐标是(x,y,u)的三维空间中，把xOy面看作是z面。考虑球面S：,取定球面上一点N(0,0,1)称为球极。,我们可以建立一个复平面C到S-N之间的一个1-1对应（球极射影）：,78,球