流体力学3-4伯诺里方程

第四节伯诺里方程Bernoullisequation,一、理想流体元流伯诺里方程1、在运动的理想流体中，取微元平行六面体,2、分析受力和运动情况表面力：理想流体内不存在切应力，只有压强,质量力：,3由牛顿第二定律,化简得,同理,上式即理想流体运动微分方程式，由欧拉于1755年导出,又称欧拉运动微分方程式，是控制理想流体运动的基本方程式,二、理想流体运动微分方程的伯诺里积分,将理想流体运动微分方程各式分别乘以沿流线的坐标增量dx，dy，dz，然后相加,然后引入特定条件进行积分,1、质量力只有重力：X=Y=0，Z=-g,2、不可压缩流体=const、恒定流动p=p(x,y,z),3、恒定流流线与迹线重合,代回原式,积分得或,上式被称为理想流体元流伯诺里方程，该式由瑞士物理学家D.Bernoulli于1738年首先推出，称伯诺里方程。应用条件：恒定流不可压缩流体质量力仅重力微小流束（元流）,三、理想流体元流伯诺里方程的物理意义与几何意义,毕托管(皮托管Pitot)测点流速当水流受到迎面物体的阻碍，被迫向两边（或四周）分流时，在物体表面上受水流顶冲的A点流速等于零，称为滞止点（或驻点）。在滞止点处水流的动能全部转化为压能。毕托管就是利用这个原理制成的一种量测流速的仪器(书43页图3-15)。,h测速管与测压管的液面差,A点迎流孔（测速管）B点侧面顺流孔（测压管）,法国人用一根玻璃管测塞纳河流速,四、实际流体元流的伯诺里方程,实际流体具有粘性，运动时产生流动阻力，克服阻力作功，使流体的一部分机械能不可逆地转化为热能而散失粘性流体流动时，单位重量流体具有的机械能沿程不守恒而是减少，总水头线不是水平线，而是沿程下降线设hl为实际流体元流单位重量流体由过流断面1-1运动至过流断面2-2的机械能损失，又称为元流的水头损失根据能量守恒原理,五、实际流体总流的伯诺里方程,1、恒定总流，任取元流,实际流体元流的伯诺里方程,设元流流量为dQ=u1dA1=u2dA2，则,总流是由无数元流构成的，上式对总流过流断面积分，便得到单位时间通过总流两过流断面的总能量关系为,2、渐变流GraduallyVariedFlow和急变流,渐变流:流线近于平行直线的流动,过水断面近似为平面，渐变流的极限为均匀流；否则为急变流,弯管速度分布,直管流速分布,渐变流特征：在渐变流同一过水断面上，各点动压强按静压强的规律分布,说明：#上述结论只适用于渐变流或均匀流同一过水断面上的各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同#急变流时，流线的曲率较大，沿垂直流向方向n的加速度不能忽略,3、势能项积分,控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均匀流断面上,4、动能项积分KineticEnergy,各点u不同，引入修正系数，积分按断面平均速度v计算,是为修正以断面平均速度计算的动能与实际动能的差异而引入的修正系数，称为动能修正系数,实际动能_断面平均速度计算的动能,关于动能修正系数的说明：,#是一无量纲数，取决于总流过水断面上的流速分布，分布越均匀，值越小，越接近于1.0#层流=2.0紊流=1.051.1一般工程计算中常取=1.0#实际动能与按断面平均流速计算的动能的比值,单位重量流体的平均动能（流速水头）,5、水头损失项积分,该式是单位时间总流由1-1至2-2断面的机械能损失其中将hl定义为总流单位重量流体由l-l至2-2断面的平均机械能损失，称总流的水头损失实际是单位重量流体克服流动阻力所做的功。,实际流体总流的伯诺里方程,若两断面间无分流及汇流Q1=Q2=Q，以gQ除上式得,6、总流伯诺里方程的适用条件,恒定流质量力只有重力不可压缩流体,所取过流断面为渐变流断面；两断面间无分流和汇流。,引自实际流体元流的伯努利方程,7、讨论元流、总流伯诺里方程的区别,以断面的平均流速V，代替元流中的点流速u以平均水头损失hl，代替元流的水头损失hl各项反映的是整股水流的能量代替某一元流的能量，总流方程中的各项均为平均意义,8、条件扩展,#流量沿程变化,#沿程有能量输入或输出,当两过流断面间有水泵、风机或水轮机等流体机械时，存在能量的输入或输出时，要根据能量守恒原理，计入单位重量流体经流体机械获得或失去的机械能,式中+Hm单位重量流体通过流体机械获得的机械能，如水泵的扬程；-Hm单位重量流体给予流体机械的机械能，如水轮机的作用水头,六、气流的伯努利方程,a,z2,z1,2,1,1,2,p2,p1,外部空气密度,气流密度,压强损失,动压,静压,全压,位压,七、能量方程的解题步骤三选一列,1、选择基准面：基准面可任意选定，但应以简化计算为原则。例如选过水断面形心（z=0），或选自由液面（p=0）等。2、选择计算断面：计算断面应选择均匀流断面或渐变流断面，并且应选取已知量尽量多的断面。3、选择计算点：管流通常选在管轴上，明渠流通常选在自由液面。对同一个方程，必须采用相同的压强标准。4、列能量方程解题注意与连续性方程的联合使用。,例1：用直径d=100mm的水管从水箱引水。水箱水面与管道出口断面中心的高差H=4m保持恒定，水头损失hl=3m水柱。试求管道的流量。,解：1、选基准面Z的取值为便于计算，选通过管道出口断面中心的水平面为同一基准面00,2、选计算断面解题关键应选在渐变流断面，并使其中一个含已知量最多，另一个含待求量,3、选计算点管流轴心点明渠水面上,将各量代入总流伯诺里方程,取=1.0,例2、文丘里Venturi流量计(如图a)(组成、种类)，进口直径d1=100mm，喉管直径d1=50mm，实测测压管水头差h=0.6m（或水银压差计的水银面高差hp=4.76cm），流量计的流量系数=0.98，试求管道输水的流量。,解：选水平基准面O-O，选收缩段进口前断面和喉管断面为l-1、2-2计算断面，两者均为渐变流过流断面，计算点取在管轴线上。列伯诺里方程为,移项,补充连续性方程,代入前式，整理得,理论流量为,K称为仪器常数，由流量计的结构尺寸决定,令,用测压管量测时,经整理后，理论流量,(b),d1,d2,hp,0-0,Z1,Z2,1-1,