第5章控制系统稳定性ppt课件

.,第五章系统的稳定性,.,5.1系统稳定性的初步概念,一、系统不稳定现象的发生,.,.,.,首先，线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与输入无关。其次，系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。第三，控制理论所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性。,.,二、稳定的定义和条件,若系统在初始状态（不论是无输入时的初态，还是输入引起的初态）的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零，则该系统为稳定的。,方法（1）,对于n阶定常线性系统微分方程，拉氏变换后得到,.,系统在初始状态下的输出为,当特征方程的根各不相同时，系统的输出为,若系统的特征方程的根实部均为负值，即Resia0a3则系统稳定,对于二阶系统a0s2+a1s+a2=0所有系数全为正，稳定。,.,例2,Routh表,S4282S3230S20S100S0200,.,例3,S41820S35160S24.8200S14.8300S02000,第一列符号改变两次，说明有两个根在右半平面，系统不稳定。,.,例1系统的特征方程,判定系统稳定性,例2已知=0.2，n=86.6，试确定K取何值时，系统方能稳定。,解：由于特征方程中有一系数为负，所以闭环系统不稳定。,.,解：系统的开环传递函数为系统的闭环传递函数为特征方程为由稳定的充要条件可知：0K34.6,.,例3系统的特征方程,由稳定的充要条件可知：,.,1、如果在Routh表中任意一行的第一个元为零，而其后各元均不为零或部分地部分地不为零，可以用一个很小的正数来代替第一列等于零的元，然后计算Routh表的其余各元。2、如果当计算Routh表的任意一行中的所有元均为零时，可利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用这个多项式方程的导数的系数组成计算Routh表的下一行。,三、Routh判据的特殊情况,.,特殊情况（1）Routh表第一列出现零元素,例4,S5121S4241S301/20S210S11/200S0000,系统不稳定，第一列元素两次变号，有两个正根在右半平面。,.,特殊情况（2）Routh表中某一行全为零,例3,S61694S51540S41540S3S22.5400S13.6000S04000,0000,41000,辅助方程,某一行全为零，说明存在对称于原点的根。系统不稳定,.,Routh判据的应用,（1）估计稳定裕量,例4,S3117S2711S10S0110,设S=S0，若0=1,用S=S1代入,此时有一个特征根在原点，其余在左半平面。,.,（2）确定参数范围,特征方程,.,特征方程：,S3T1T21S2T1+T2kS10S0k0,为稳定条件,.,5.3Nyquist稳定判据,一、幅角原理（Cauchy）对于复变函数,如果函数f（Z）在Z0及Z0的邻域内处处可导，那么称f（Z）在Z0解析。如果在区域D内每一点解析，那么称f（Z）在D内解析或称f（Z）是D内的一个解析函数。如果f（Z）在Z0不解析，那么称Z0为f（Z）的奇点。,.,设F(s)在s平面上（除有限个奇点外）为单值的连续正则函数。设s平面上解析点s映射到F(s)平面上为点F(s)，或为从原点指向此映射点的向量F(s)。在s平面上任意选定一封闭曲线Ls，只要此曲线不经过F(s)的奇点，则在F(s)平面上必有一对应的映射曲线LF，也是一封闭曲线。当解析点s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s)将按顺时针方向旋转N周，即F(s)以原点为中心顺时针旋转N周，这就等于曲线LF顺时针包围原点N次。,.,.,令：Z为包围于Ls内的F(s)的零点数，P为包围于Ls内的F(s)的极点数，则N=Z-P向量F(s)的相位为假设Ls内只包围了F(s)的一个零点zi，其他零极点均位于Ls之外，当s沿Ls顺时针方向移动一周时，向量(s-zi)的相位角变化-2弧度，而其他各向量的相位角变化为零。即向量F(s)的相位角变化为-2，或者说F(s)在F(s)平面上沿LF绕原点顺时针转了一周。,.,若s平面上的封闭曲线包围着F(s)的Z个零点，则在F(s)平面上的映射曲线LF将绕原点顺时针转Z周。若s平面上的封闭曲线包围着F(s)的P个极点，则在F(s)平面上的映射曲线LF将绕原点逆时针转P周。若Ls包围着F(s)的Z个零点和P个极点，则在F(s)平面上的映射曲线LF将绕原点顺时针转N=Z-P圈。,.,二、Nyquist稳定判据,设系统的开环传递函数为：,闭环传递函数特征方程,令：,与、零极点的关系,则：,.,的零点即为系统闭环传递函数的极点，亦即系统特征方程的根；的极点即为系统开环传递函数的极点。,闭环传递函数开环传递函数GB(s)F(s)GK(s),零点极点零点极点零点极点相同相同,.,定常线性系统稳定的充要条件：其闭环系统的特征方程1+G(s)H(s)=0的全部根具有负实部，即GB(s)在s平面的右半平面没有极点，亦即F(s)在s平面的右半平面没有零点。,选择一条包围整个s右半平面的封闭曲线Ls。,2.Nyquist稳定判据,.,设,在s右半平面有Z个零点和P个极点，由幅角原理知，当s沿s平面上的Nyquist轨迹移动一周时，在F平面上的映射曲线LF将绕原点顺时针转N=Z-P圈。,由,可知，GH平面是将F平面的虚轴右移一个单位所构成的复平面。F平面的坐标原点，就是GH平面的（-1，j0）点，F(s)的映射曲线LF包围原点的圈数就等于,映射曲线LGH包围（-1，j0）点的圈数。,.,.,这里s是指模而言。所以s平面上半径为的半圆映射到GH平面上为原点或实轴上的一点。,由于闭环系统稳定的充要条件是F(s)在s平面的右半平面没有零点，即Z=0。所以如果G(s)H(s)的Nyquist轨迹逆时针方向包围（-1，j0）点P圈，则闭环系统稳定。P为G(s)H(s)在s平面的右半平面的极点数。,.,Nyquist稳定判据：当由-到+变化时，若GH平面上的开环频率特性G(j)H(j)逆时针方向包围（-1，j0）点P圈，则闭环系统稳定。P为G(s)Hs)在s平面的右半平面的极点数。对于开环稳定的系统，有P=0，此时闭环系统稳定的充要条件是，系统的开环频率特性G(j)H(j)不包含（-1，j0）点。,.,四、Nyquist稳定判据应用方法,1开环传递函数不含积分环节,通常情况下，只画出从的Nyquist曲线，即可判别闭环系统稳定性。,.,包围（-1，j0）点的圈数的确定方法：在Nyquist曲线上以（-1，j0）点为原点做Nyquist曲线的向量，从出发到为止，计算转过的角度，按照顺时针为正，逆时针为负的原则即可确定方向，顺时针转过360时N=1，逆时针转过360时N=-1。,N=0,N=1,.,在原点附近令V=1,2.开环传递函数含有积分环节,.,ABC,ABC,在无穷远处顺时针绕行角,N0，P=0所以Z=0闭环系统稳定,例6,.,当只采用正半部分判别系统稳定性时，只需以为起点逆时针转过/2，刚好与实轴相交。由此可知，当开环传递函数含有个积分环节时，只需从为起点逆时针转过角与实轴相交。,含1个积分环节,含2个积分环节,.,3.比较复杂的开环频率特性Nyquist曲线,对于复杂的开环频率特性Nyquist曲线采用穿越的方法。,“穿越”是指在频率为正的频率范围内，幅值大于1的曲线部分穿越负实轴情况，若曲线由上到下穿越负实轴称为“正”，则曲线由下到上穿越负实轴称为“负”，穿过负实轴一次，则穿越次数为1。若曲线始于或终止于(-1,j0)点，则穿越次数为1/2。,.,Nyquist稳定判据：当从变化时，若平面上的开环频率特性曲线在负实轴上的正穿越和负穿越的次数之差等于时，则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。,正穿越1次，负穿越2次，若开环系统稳定，则该闭环系统不稳定。,.,例1,N=0P=0Z=N+P=0闭环系统稳定,N=1P=0Z=1+0=10闭环系统不稳定,.,N=0P=0Z=N+P=0闭环系统稳定,闭环系统临界稳定,N=1P=0Z=1+0=10闭环系统不稳定,例2,.,正超越和负超越各一次，因此闭环系统的稳定。,不含积分环节,含3个积分环节,例3,.,P=1N=-1/2Z=N+P=1/2=P/2稳定,正穿越为1/2，负穿越为1，差为1/2，等于P/2，因此该闭环系统稳定。,例4,.,三、关于Nyquist判据的几点说明,（1）Nyquist判据并不是在s平面而是在GH平面判别系统的稳定性。根据G(j)H(j)轨迹包围（-1，j0）点的情况来判别闭环系统的稳定性。（2）Nyquist判据的证明复杂，但应用简单。（3）在P=0，即GK(s)在s平面的右半平面无极点时，习惯称为开环稳定。否则开环不稳定。开环不稳定，闭环仍可能稳定；开环稳定，闭环也可能不稳定。（4）开环Nyquist轨迹对实轴是对称的，因为当-变为+时，G(-j)H(-j)与G(j)H(j)的模相同，而相位异号。,.,5.4Bode稳定判据,一、Nyquist图和Bode图的对应关系,.,Nyquist图上的单位圆对应于Bode图上的0分贝线，即对应幅频特性图的横轴。剪切频率，幅值穿越频率，幅值交界频率c。Nyquist图上的负实轴相当于Bode图上的-180线，即对数相频特性图的横轴。相位穿越频率，相位交界频率g。,.,二、穿越的概念,在Bode图上，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，沿增加的方向，对数相频特性曲线自下而上穿过-180线为正穿越；沿增加方向，对数相频特性曲线自上而下穿过-180线为负穿越。,.,三、Bode判据,闭环系统稳定的充要条件是，在Bode图上，当由0变到+时，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，开环对数相频特性对-180线正穿越与负穿越次数之差为P/2时，闭环系统稳定；否则不稳定。其中P为开环传递函数G(s)H(s)在s平面的右半平面的极点数。在P=0时，若开环对数幅频特性比其对数相频特性先交于横轴，即cg，则闭环系统不稳定。,.,5.5系统的相对稳定性,相对稳定性稳定裕量,幅值穿越频率相位穿越频率,幅值裕度相位裕度,.,闭环系统稳定,闭环系统不稳定,.,相位裕度,幅值裕度,闭环系统稳定闭环系统不稳定,为负值,闭环系统稳定闭环系统不稳定,为满足动态性能的要求，相位裕度在300600幅值裕度在515dB,.,例1,.,例2,K=5和K=20,判系统的稳定性，求相位裕度和幅值裕度,(1)低频段:1k=5L(1)=20lg5=14dB-20dB/deck=20L(1)