第三章研究性学习课题教材分析人教

第三章 研究性学习课题教材分析1“研究性学习课题”是本套教材中的一个专题栏目，它在本小节首次出现这里给出了三个专题：“数列在分期付款中的应用”、“上楼问题的数学模型”和“多剂量给药的数学模型研究”这些专题具有探究性和应用性它既是所学知识的实际应用，又能锻炼学生探究和解决实际问题的能力教学中可根据学生的实际情况三个课题都用或选用其中的一个课题在本专题的教学中，一定要以学生的探究为主，教师点拨、讲解为辅，否则就失去了本专题作为“研究性学习课题”的意义教师的主要任务在于提出问题、介绍情况、启发诱导2“研究性学习课题（1）”中，分期付款方式在今天的商业活动中日益普遍,为越来越多的顾客所接受.一方面是因为很多人一次性支付售价较高的商品有困难,另一方面也因不少商店不断改进营销策略,方便顾客购物付款. “研究性学习课题（2）”中，上楼是我们日常生活中几乎天天都要遇到的事，但到某一层楼究竟有多少种迈步方法，这可能是大多数人都没有有留意的事，通过研究，大家会发现这是一个与数学密切相关的有趣问题“研究性学习课题（3）”中，生病服药在日常生活中经常遇到,药物是否会在人体中大量聚积也是大家所关心的问题.这些课题与每个家庭、个人都有密切关系，容易引起学生的兴趣在本课题的结尾处提出了水污染问题，这有利于唤起学生对环境的关注，有着现实的教育意义3从教学角度看，这三个专题涉及的数学内容并不复杂，第一个专题涉及的内容是等比数列的前项和公式的应用，第二个专题涉及的内容是斐波那契数列的应用，第三个专题涉及的内容是一个递推问题借助于计算器的计算得到结果也并不困难，问题的关键是学生要在专题研究前要了解问题的实际背景、有关的术语、相关的操作步骤.这需要教师组织学生对问题进行充分的讨论，帮助学生很好地在实际情况中识别并选择有用的数据资料，运用数学符号来描述那些有用的数学资料4关于“数列在分期付款中的应用”（1）首先要使学生弄清以下相关的规定:在分期付款中每月的利息均以复利计算;分期付款中规定每期所付的款额相同;分期付款时,每期所付款额在货款全部付清时也会产生利息;各月所付款额连同所生的利息之和,等于贷款的本金与到最后一次付款时的利息之和(这一规定实际上作为解决问题的关键步骤列方程的依据)（2）完成1，2中的表是一个关键可让学生独立探究解决这一问题如果学生有困难，可进行点拨：弄清贷款的本金到全部付清时增值到多少；各期所付款额到全部付清时增值到多少；如何用分期付款中的有关规定列方程；解方程时如何利用等比数列的知识进行有关计算.多数学生作出解答后,可在全班范围内组织讨论,进行交流(3)在实际教学中，常常会出现类似下面的解法：设每次付款额为元，则所有付款的本息和为 (1.004 575x+x)1.004 575+x1.004 575+x (1)然后列方程解题.对于这种解法,许多学生因看不出这个式子的特点与规律而导致解题失败.出现这种情形时,教师应肯定这一解题方法的正确性,并以此为出发点积极地引导学生解题,在解题过程中使学生看清解法中的不足.下列方法可供教师在教学中参考:第2期付款前,所付款的本息和为1.004 575x;第3期付款前,所付款的本息和为 (1.004 575x +)1.004 575=1.004 5752x+1.004 575x；第4期付款前,所付款的本息和为1.004 5753x+1.004 5752x +1.004 575x; . . . . . .第24期付款后, 所付款的本息和为1.004 57523x+1.004 57522x +1.004 575x+x看到这个式子学生自然会用等比数列的求和公式解题.然后要求学生解释1.004 575x, 1.004 5752x, 1.004 5753x, 1.004 57523x等项的实际含义,让学生体会1.004 575x, 1.004 5752x, 1.004 5753x, 1.004 57523x分别代表元钱经过1,2,3,23个月的本息和.最后提出思考,是否可以不通过(1)直接列式.(3)在学习完本课题后,要对整个过程进行回顾,体会思考问题的方法与思路,最后可让学生借助于图形计算器中的金融功能计算具体操作过程如下: 设置计算状态:按APPS选择Finance(图1 ) ，按ENTER进入金融计算状态( 图 2 ); 按ENTER 进入图3； 图1 图2 图 3 设定计算数据：次数N=24,利率I%=0.457 5, 现值PV=10 000, PMT=0,FV=0,P/Y=1,C/Y=1,付款方式用END. 计算结果:将光标移PMT = 之后，按ALPHA+ENTER求解 .由PMT=440.91可知,每期需要支付440.91元.5关于“上楼问题的数学模型”（1）记任意使用小步或中步，上到第n级的所有不同上法的种数为an则 上到第1级只有1种上法，即“小”，此时a11； 上到第2级有2种上法，即“小小”、“中”，此时a22； 上到第3级有3种上法，即“小小小”、“中小”、“小中”，此时a33； 上到第4级有5种上法，即“小小小小”、“中小小”、“小中小”、“小小中”、“中中”，此时a45这种上法从最后一步来看可分为两类：一类是最后一步为小步，这类的上法种数就是a33；另一类是最后一步为中步，这类的上法种数就是a22于是a4a3a2类似地a3a2a1 一般地，将上到第n（n 3）级的所有上法分为两类：一类是最后一步为小步，这类的上法种数就是an-1；另一类是最后一步为中步，这类的上法种数就是an-2于是anan-1an-2（n 3）这样，就得到了一个递推关系式： j有了递推关系式j，我们就可以从初始条件出发，利用图形计算器或计算机根据递推关系式列出自然数n所对应的an的值的表n12345678910123581321345589由上表可知，所求上楼方法数为a8989（2）记任意用小步、中步或者大步上到第n级的所有不同上法的种数为an易见 ，因为所有上到第n（n 4）级的上法可按最后一步是小步、中步和大步分成为三类，其中最后一步为小步的上法种数，也即上到第（n - 1）级的上法种数an-1；类似地，最后一步是中步、大步的上法种数应分别为an-2和an-3于是，有递推关系式： 根据式，有n12345678910124713244481149274由上表可知，所求上楼方法数为a102706关于“多剂量给药的数学模型建立” (1)首先要让学生了解药物进入血液后的情形应是怎样的,要求学生仔细阅读假设中的规定,并要求学生体会这些假设并不是凭空想象出来的,而是为了方便实际的解题过程,从实际情形中提炼出来的,是符合实际规律的,如学生阅读后还不能很好地理解这些假设,教师可用下面的模型来帮助学生理解准备大量杯3个分别贴上标记A、B、C,小量杯若干个并分别注满水;将一个小量杯中的水倒入一个大量杯A,表示药物进入血液系统; 将A中水的各25%倒入量杯B和C分别表示流入组织系统药量和流失的药量； B中的药量的一半倒回A杯； 重复上述过程来感知问题. （2）在学生明确题中假设后，问题1是熟悉的等比数列问题，学生易于解决，安排这一问题的目的，是拉近问题与学生间的距离，使问题建立在 学生原有的认知基础上，从问题1得到启发，建立起问题2的递推公式这里没有通过教师所熟悉的将递推公式转化为通项公式来求解，其中有两层含义,其一是要求学生充分地运用技术来解决实际问题.事实上,大量的实际生活中的问题只需要求出近似解，没有必要也没有可能求出精确解,本题实际上要涉及数列极限，学生现有的知识不能完全解决问题，同时过分地强调精确反而会限制学生的思维;其二是希望通过图形计算器的使用形成一种简捷的代数运算的解题方法, 由Web图可以发现，数列上对应的点所在的直线和直线，应有公共点，学生可直接通过解方程得到结果. 这样的过程能充分发挥学生的学习积极性,使学生能通过自身的活动体验来解决问题,而不是被动地接受一种解题方法,在学生得到结果后,教师可根据学生的实际情况与接受能力来确定是否应将这一问题转化成等比数列来解.（3）对于问题3的处理是基于问题1、2的已有经验，通过对计算器中数据的观察、猜想、验证得出结果.让学生体会数学的发现不纯粹是推理证明,也需要合理的类比、猜想,而猜想得到的结果又需要严密的论证.(4)在解题完成后,要让学生对整个过程进行回顾,体会从这一活动中学会