平面向量及其应用林胜杰

平面向量与应用温州八中林胜杰向量广泛应用于数学、物理学以及许多生产实践，通过本章的复习，将我们对量化数学公式的认识融入新领域，进一步理解数学结合的思想方法，增强我们解决实际问题的能力。矢量是近代数学中重要的基本数学概念之一，是代数、几何和三角函数的交流工具，具有极其丰富的背景。 因为向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，所以成为中学数学知识的一个“交点”，成为连接多个内容的媒介，特别是在处理立体几何，分析有关几何的测量、角度、平行、垂直、共线等问题时，使用向量知识，对几何问题进行直感化、符号化、量化，进行“定性”研究【试验点整理】一、考试内容1 .向量、向量的概念、向量的加法和减法、实数和向量的乘积。2 .平面向量的坐标表示线的得分点。3 .平面向量的数积，平面两点间的距离公式。4 .平移式和平移式。二、考试要求1 .理解向量的概念、掌握向量的几何表示以及理解共线向量的概念。2 .把握向量的加法和减法。3 .掌握实数与矢量积，了解两矢量共线的充要条件。4 .了解平面向量的基本定理。 理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5 .把握平面向量的数积及其几何意义。 可以理解，与平面向量的数乘积有关的长度、角度和垂直问题被处理，以获知向量垂直的条件。6 .掌握平面的2点间的距离式，掌握线段的得分和中点式，并且掌握能够使用的平移式。三、考点精析1 .平面向量的知识结构2 .向量概念(1)定义：有大小和方向的量称为向量。 矢量的大小是矢量的长度，称为矢量的模。(2)特定大小或特定关系的向量：零向量、单位向量、共线向量(平行向量)、相等向量、逆向量。(3)表示法几何法：画出有向线段表示，或记为a。坐标法：=xi yj=(x，y) =(x2-x1，y2-y1 )，其中A(x1，y1 )，B(x2，y2 )3 .向量的运算运算名称定义(法则)运算性质坐标运算加法a ba b=b a(a b) c=a (b c )a 0=0 a=a假设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)a b=(x1 x2，y1 y2 )减法a-b假设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)a-b=(x1-x2，y1-y2 )实数和矢量的乘积a0时，a为与a相同方向|a|=|a|0时，a和a反向|a|=-|a|0a=0(a)=()a( )a=a a(a b)=a b设a=(x，y )则a=(x，y )平面向量的数积abab=|a|b|cos(a0，b0，0)ab=ba(a)b=a(b )=(ab )(a b)c=ac bca=(x1，y1)，b=(x2，y2)ab=x1x2 y1y24 .定理和公式(1)共线定理：向量b和非零向量a的共线的充分条件是，如b=a那样实数只有1个(2)平面向量的基本定理：如果e1、e2是同一平面内的2个非共线向量，则对于该平面内的任意一个向量a，只有实数1、2的对，使a=1e1 2e2(3)2个非零矢量的平行和垂直的满足条件： a=(x1，y1 )，b=(x2，y2 )aba=bx1y2-x2y1=0abab=0x1x2 y1y2=0(4)数值计算公式2点间的距离式：a=(x，y )时|a|2=x2 y2或|a|=；设为P1()、P2(x2、y2)|=线段得分点坐标式：设P1 (x1，y1)、P2 (x2，y2)、P(x，y )、=时中点坐标式：将P1 (x1，y1)、P2 (x2，y2)、P(x，y )设为P1P2的中点设两矢量的角度式： a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a，b的角度为cos=。图表转换式移动式：点P0(x，y )在向量a=(h，k )移动到P0(x ，y )时(六)关于结论线段中点的向量表现：如果m是线段AB的中点，o是平面内的任意点()；向量相加的多边形的法则：把有限个向量a1、a2、an相加，如果从点o开始设向量=a1、=a2、=an，则向量是这些向量的和，即a1 a2 an= =(矢量加法的多边形法则)。在An与o重叠的情况下(即所述的折线OA1A2An为闭合的折线的情况下)，和向量为零向量。注意：将以上的向量的和式相反，将一个向量表现为若干向量和是解决向量问题的重要手段。5 .向量的应用(1)向量在几何中的应用(2)向量在物理中的应用四、思想方法矢量法：用矢量证明或求解的方向称为矢量法。 矢量法在处理物理学和几何学方面发挥着很大的作用。【热点透视和命题倾向】该部分高考热点包括向量概念、加法、减法、平面向量坐标运算、平面向量数积即两个非零向量平行和垂直的满足条件图形平移、线段得分点的应用、馀弦定理及其在解斜三角形中的应用等。问题多以选题、填空问题为主，考察基本概念、基本演算。 在答题中，一般将一些基本概念、公式作为中间步骤来考察，难度适中。【例题解说】1 .与向量有关的概念和运算这类问题往往出现在选题和填空问题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟悉向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量的共线、垂直充分条件。当已知a是以点A(3，-1)为起点、与向量b=(-3，4 )平行单位向量时，向量a的终点坐标为.方法向量a的终点坐标为(x，y )，a=(x-3，y 1)，可知说明、输入(，- )或(，- )方法2与向量b=(-3，4 )平行的单位向量为(-3，4 )因此，得到a=(-，)，向量a的终点坐标为(x，y )=a-(3，1 )，得到结果。注向量的概念多，容易混淆，所以在学习中要明确理解各概念的本质，区分共同线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念。与a平行的单位向量e=例2已知|a|=1、|b|=1、a和b的角度为60、x=2a-b、y=3b-a，x和y的角度是多少？分析：计算x和y的角度需要|x|、|y|、xy的值。 计算时要注意计算的正确性。解：已知|a|=|b|=1，a和b所成的角为60，ab=|a|b|cos=。为了计算x和y的角度，求出|x|，|y|，xy的值。|x|2=x2=(2a-b)2=4a2-4ab2=4-41=3| y|2=y2=(3B- a )2=9B2-6b a2=9- 61=7xy=(2a-b)(3b-a)=6ab-2a2-3b2 ab=7ab-2a2-3b2=7-2-3=-，xy=|x|y|cos，即-=coscos=-，=-arccos。即，x和y所成角度是-arccos注：主题利用型的性质|a| 2=a2计算x、y的模式长度时，也可以得到矢量加法、减法的几何意义。 设定图像=b、=a、=2a、873.bac=60。 从向量中减去的几何意义是2a-b。 从馀弦定理可以得到|=、即与|x|=、同样的|y|=、例3如图所示，矢量I、j、e1、e2都是单位矢量，且ij、e1e2；用I、j表示E1、e2如果=xi y j且xy=1，则为=x1 e1 y1 e2； =时，求出与x1、y1相关的式子，说明方程式表现的曲线形状e1e2日本职业足球联赛I分析：利用平面向量的基本定理分解向量，得到中间包含向量的基本运算、o.o方程式中，x12-y12=2曲线为双曲线。注：本问题要求学生深入理解平面向量的基本定理，基向量的选择是坐标系的选择。 利用向量运算，可以在不同坐标系中研究相同曲线的不同方程式，体现坐标变换的思想，顺利转移初等数学和高等数学是新的“课改”方向。2 .平面向量与三角函数的交叉矢量结合三角函数，主题新颖精巧，符合知识的“交往”主题，加强了对双基的考察。例子a=(cos，sin)，b=(cos，sin)(0)已知(1)寻求证据： a b和a-b相互垂直(2)在kab和a-kb的大小相等的情况下(kR且k0 )，求出(1)证明法1:a=(cos，sin)，b=(cos，sin)ab=(coscos，sin sin)，a-b=(cos-cos，sin- sin)(a b)(a-b)=(cos cos，sin sin)(cos-cos，sin- sin)=cos2-cos2 sin2- sin2=0(a b)(a-b )证明法2 :22222222222222222222222652(ab ) (a-b )=a2-B2=|a|2-| b|2=0(ab ) (a-b )证明法3:2222222222222222222222222222如果符号=a，=b，则|=|=1此外，8756； o、a、b三点不是共通线。从矢量加法、减法几何学意义可知，以OA、OB为邻接边的平行四边形OACB为菱形，在此从=a b、=a-b、菱形的对角线相互垂直，为(a b)(a-b )(2)解：从已知的|ka b|和|a-kb|开始另外，| kab|2=(kcoscos)2(ksinsin)2=k2 kcos (-)| kab|2=(cos- kcos)2(sin- ksin)2=k21-2 cos (-)2kcos(-)=-2kcos(-)又k08756； cos(-)=008756； 0-，8756； -=注意：本问题以平面向量知识为平台，考察了三角函数的运算，体现了向量垂直问题的许多证明方法。 一般的方法有三种。 一是数量乘积的定义证明，二是数量乘积的坐标运算证明，三是向量运算的几何意义证明。例5(2004年大学入学考试浙江)已知平面上的3点a、b、c满足|=3、|=4、|=5.分析：本题主要是向量与解三角形的结合，解题时要注意两个向量的角度与三角形的内角的关系。 答案：-253 .平面向量与分析几何的相交平面向量与解析几何集代数和几何学成为一体的共同特性决定了必然的联系，因此平面向量与解析几何学的相交成为高考复习的重点，通常以角度、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，将几何学问题坐标化、符号化、量化为目标，将推论转换为运算。例6在平面正交坐标系中，o是坐标原点，已知a (3，1 )、b (-1，3，3 )，如果点c满足= ，这里R且 =1，则c点的轨迹方程式为()A.3x 2y-11=0B.(x-1)2 (y-2)2=5C.2x-y=0D.x 2y-5=0分析：假设C(x，y )=(x，y )(x，y )=(3，1 )(-1，3 )=(3-， 3)(可从中解、) =1消除，消除x 2y-5=0例7直线移动函数y=2x2，并且获得直线移动的函数表达式，使得所获得的图形和抛物线y=-2x2x2的两个交点关于原点对称。设解法直线运动矢量a=(h，k )时，将y=2x2在a处直线运动的图像的解析表达式为y=2(x-h)2 k。设m(m，n )和m(-m，-n )为y=-2x2 4x 2和y=2(x-h)2 k两个交点，则可以得到解：或点(1，4 )和点(-1，-4)在函数y=2(x-h)2 k的图像上2220因此求出解析式是y=2(x 1)2-4、即y=2x2 4x-2设解法2y=2x2以向量a=(h，k )直线移动，P(x，y )为y=2x2任意点，a直线移动后的对应点为p (x ，y )y-k=2(x-h)2是平移后的函数图像解析式。消息4x2-4(h 1)x 2h2 k-2=0另外，两交点关于原点对称8756； x1x2=0，即=0，h=-1另外y1 y2=0，8756； 2x12-4hh1k2x22-4hh2k=02(x12 x22) 4(x1 x2)=-4-2k2(x1 x2)2 4(x1 x2)-4x1x1=-4-2kx1x2=，-4=-4-2k，k=-4y=2(x 1)2-4，即y=2x2 4x-2。注意：分数点和矢量移动是矢量中的两个重要内容，与平面分析几何、函数图像等其他章节词知识相联系，成为知识的接点。 在处理这些问题时，最重要的是“顺序”(得分点必须区分起点和终点)。 在图像移动中，识别哪个是哪个，组合式子解决问题。由平移式可知，将平移前的函数解析式y=f(x )以向量a=(h，k )平移后的函数解析式为y=f(x-h) k4