北师大版-初二数学下册复习资料

一元一次不等式（组）（一） 一、全章教学内容及要求 、理解不等式的概念和基本性质、会解一元一次不等式，并能在数轴上表示不等式的解集、会解一元一次不等式组，并能在数轴上表示不等式组的解集。二、技能要求 1、会在数轴上表示不等式的解集。 2、会运用不等式的基本性质（或不等式的同解原理）解一元一次不等式。 3、掌握一元一次不等式组的解法，会运用数轴确定不等式组的解集。 三、重要的数学思想： 1、通过一元一次不等式解法的学习，领会转化的数学思想。 2、通过在数轴上表示一元一次不等式的解集与运用数轴确定一元一次不等式组的解集，进一步领会数形结合的思想。 四、主要数学能力 1、通过运用不等式基本性质对不等式进行变形训练，培养逻辑思维能力。 2、通过一元一次不等式解法的归纳及一元一次方程解法的类比，培养思维能力。 3、在一元一次不等式，一元一次不等式组解法的技能训练基础上，通过观察、分析、灵活运用不等式的基本性质，寻求合理、简捷的解法，培养运算能力。 五、类比思想： 把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。这种数学思想通常称为“类比”，它体现了“不同事物之间存在内部联系”的唯物辩证观点，是发现数学真理和解题方法的重要手段之一，在数学中有着广泛的运用。 在本章中，类比思想的突出运用有： 1、不等式与等式的性质类比。 对于等式（例如a=b）的性质，我们比较熟悉。不等式（例如ab或a20, 两边都乘以-5，得， x7成立，那么x=5是不等式x+47的一个解。若x=2不等式x+47不成立，那么x=2不是不等式x+47的解。 注意：1、不等式与方程的解的意义虽然非常类似，但它们的解的情况却有重大的区别。一般地说，一元方程只有一个或几个解；而含有未知数的不等式，一般都有无数多个解。 例如：x+6=5只有一个解x=-1，在数轴上表示出来只是一个点，如图， 而不等式x+65则有无数多个解-大于-1的任何一个数都是它的解。它的解集是x-1，在数轴上表示出来是一个区间，如图 2、符号“”读作“大于或等于”或也可以理解为“不小于”；符号“”读作“小于或等于”或可以理解为“不大于”。 例如；在数轴上表示出下列各式： （1）x2（2）x1 （4）x-1 解： x2 x1 x-1 3、不等式解法与方程的解法类比。 从形式上看，一元一次不等式与一元一次方程是类似的。在学习一元一次方程时利用等式的两个基本性质求得一元一次方程解，按“类比”思想考虑问题自然会推断出若用不等式的三条基本性质，采用与解一元一次方程相类似的步骤去解一元一次不等式，可求得一元一次不等式的解集。 例如：解下列方程和不等式： =+1 +1 解：3(2+x)=2(2x-1)+61、去分母： 解：3(2+x)2(2x-1)+6 6+3x=4x-2+62、去括号： 6+3x4x-2+6 3x-4x=-2+6-6 3、移项： 3x-4x-2+6-6 -x=-2 4、合并同类项： -x-2 x=2 5、系数化为1： x2 x=2是原方程的解 x2是原不等式的解集。 注意：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤虽然完全相同，但是要注意步骤1和5，如果乘数或除数是负数时，解不等式时要改变不等号的方向。 六、带有附加条件的不等式： 例1，求不等式(3x+4)-37的最大整数解。 分析：此题是带有附加条件的不等式，这时应先求不等式的解集，再在解集中，找出满足附加条件的解。 解： (3x+4)-37 去分母： 3x+4-614 移项： 3x14-4+6 合并同类项： 3x16 系数化为1： x5 x5的最大整数解为x=5 例2，x取哪些正整数时，代数式3-的值不小于代数式的值？ 解：依题意需求不等式3-的解集。 解这个不等式： 去分母：24-2(x-1)3(x+2) 去括号： 24-2x+23x+6 移项： -2x-3x6-24-2 合并同类项：-5x-20 系数化为1： x4 x4的正整数为x=1, 2, 3, 4. 答：当x取1, 2, 3, 4时，代数式3-的值不小于代数式的值。 例3，当k取何值时，方程x-2k=3(x-k)+1的解为负数。 分析：应先解关于x的字母系数方程，即找到x的表达式，再解带有附加条件的不等式。 解：解关于x的方程：x-2k=3(x-k)+1 去分母： x-4k=6(x-k)+2 去括号： x-4k=6x-6k+2 移项： x-6x=-6k+2+4k 合并同类项： -5x=2-2k 系数化为1：x=. 要使x为负数，即x=0， 2k-20, k1， 当k0, m4. 当m0，即a-3时，x, (2)当a+3=0，即a=-3时，0x12，不等式无解。 (3)当a+30，即a0, a+3=0, a+3a，则a的取值范围是_；（2）若a, 则a的取值范围是_。解：（1） a2a, a2a0, 即a(a1)0, 或 解得a1或a0。 答：a的取值范围是a1。 （2） a, a0, 即0. 或 或 解得a1或1a0. 答：a的取值范围是1a1. 例2（1）比较下列各组数的大小，找规律，提出你的猜想： _; _; _; _; _; _. 从上面的各式发现：一个正分数的分子和分母_，所得分数的值比原分数的值要_。 猜想：设ab0, m0, 则_。 （2）试证明你的猜想： 分析：1.易知：前面的各个空都填 “ ”. 一个正分数的分子和分母都加上同一个正数，所得分数的值比原分数的值要大。 2.欲证，只要证0. 即证 0, 即证 b0, ba0, m(ba)0, = =0, 。 上面这个不等式有很多有意义的应用。 例如，建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好。若同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件变好了。 设窗户面积为a，地板面积为b，若同时增加相等的窗户面积和地板面积m，由b，那a+cb+c（或acbc） （2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。用式子表示：如果ab，且c0，那么acbc(或) （3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。用式子表示：如果ab，且c0，那么acbc(或b，则下列不等式一定成立的是（ ） A、1C、abD、ab0 考点：不等式的性质 评析：不等式的性质是：不等式两边同时加上或减去同一个数（或整式）不等号不变；不等式两边同时乘以或除以正数不等号不变；不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变。因此ab，所以a、b均可为负数也可为正数，所以A、B选项都不对，C选项不等号的方向没改变，所以也不对，因ab，（a、b代表的是任意数）所以根据不等式的性质运用排除法，可知正确选项为D。 真题专练 1（北京海淀区）比较大小：当实数a0时，1+a 1a(填“”) 2（广东省）已知实数a、b满足ab0，a+b0，则满足条件的实数a、b可分别为 (写出满足条件的两个数即可)。 3（北京西城区）如果ab，那么下列结论中错误的是（ ） A、a3b3B、3a3b C、D、ab 4（北京海淀区）若ab0，则下列各式中一定正确的是（ ） A、abB、ab0C、D、ab 5（天津市）若ab，且c为实数则下列各式正确的是（ ） A、acbcB、acbcC、ac2bc2D、ac2bc2 6（荆门市）已知a、b、c是有理数，且abc，那么下列式子正确的是（ ） A、a+bb+cB、abbcC、abbcD、 答案：1、10的解集是x2，它的解集仍是一个不等式，这种表示法简单明了，容易知道哪些数不是原不等式的解。 （2）用数轴表示：它的优点是数形结合、直观形象，尤其是在解较复杂的不等式或解不等式组时，易于找到正确的答案。在数轴上表示不等式的解集时，要注意：当解集包括端点时，在端点处画实心圆圈，否则，画空心圆圈。 中考典例： （龙岩市、宁德市）不等式2x+103的解集是 。 考点：不等式的解集 评析：不等式的解集是使不等式成立的所有未知数的值组成的集合。该题可用不等式的性质两边同时减10，然后两边再除以2，求得解集为x。 真题专练 1（石家庄市）不等式6x4的解集是（ ） A、xB、xC、xD、x 2（宜昌市）如果不等式（a1）xa1的解集是x1，则a的取值范围是（ ） 3（徐州市）不等式5x46x的解集是 。 4（西安市）若代数式3x+4的值不大于0，则x的取值范围是（ ） A、xB、xC、x-D、x 答案：1、B；2、a1（提示：因为不等号的方向改变了，所以a10，即a1）；3、x4；4、C（提示：3x+4的值不大于0，即得不等式3x+40） 课外拓展解不等式的通法与技巧 同学们在熟练掌握一元一次不等式解法的五个步骤后，可结合一元一次不等式的特点，采取一些灵活、简捷的方法与技巧，能使解题事半功倍。 一、凑整法 例1解不等式。 分析：根据不等式性质，两边同乘以适当的数，将小数转化为整系数。 解：两边同乘以-4，得x+30-2-x. x15-10x. -7x14. 即xb则下列不等式一定成立的是（ ） A、 acbcB、 C、 a|c|b|c|D、 a+cb+c 窗体底端窗体顶端2实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如下图所示，下列式子中正确的是（ ） A、 b+c0B、 a+bbcD、 abac 窗体底端窗体顶端3下列各题的解法中，正确的是（ ） A、-x5 B、-x-5,两边都乘以-1，得x5 C、-x-5,两边都乘以-1，得x5 D、-x-5, 两边都乘以-1，得x5 窗体底端窗体顶端4在数轴上表示不等式x-2的解集正确的是（ ） A、 B、 C、 D、窗体底端窗体顶端5若代数式3x+4的值不大于0，则x的取值范围是（ ） A、 x-B、 x-C、 xa-1的解集是x1C、a1D、a0 窗体底端窗体顶端7设a、b是已知数，不等式ax+b0(a0)的解集是（ ） A、 xB、 xD、 x- 窗体底端窗体顶端8不等式组的解集的情况为（ ） A、 解集是x2B、 解集是x-1C、 解集是-1xb+c成立。 答案：D。 2. 评析：由图可知：ab0c, |c|b|，很明显，A、B都是错的，对于C也是错的，因为cc, a0, abac. 答案：D。 3. 评析：主要考察不等式的性质3，在不等号的两边同时乘上一个负数，不等号的方向要改变。 答案：A。 4.评析：x-2，方向应向右，且包含x=-2，故选C。 答案：C。 5. 答案：B 评析：注意“不小于零”与“大于零”的区别，由语言叙述写成不等式并解不等式即可。 6. 评析：通过观原不等式与解集发现，不等号方向发生了改变，说明未知数前的系数是负数，即a-10。 解答：由题意可知a-10, a1，故选C。 注意：从不等号方向的改变这一重要线索入手，推断出未知数系数的符号是解含有未知字母系数的不等式的一个重要方法。 7.评析：移项得ax-b, 然后把系数化为1。因为a-答案：D 8.评析：直接求即可。答案：D 注：（1）解每一个不等式时，如果要利用不等式性质3，注意不等号改变方向问题； （2）找不等式的公共解时，借助数轴更直观； 9. 评析：求（1）（2）中公共部分，且x要为整数，由(1)得 x-，由(2)得x2， -x2， 因为x为整数，所以x可以为0或1或2。答案：C 10. 解答： 由x-5-2, 得x3； 由3-x-1. 不等式组解集是-1b）不等式组的解集数轴表示1.（同大型，同大取大）xa2.（同小型，同小取小） xb3.（一大一小型，小大之间） bx解不等式(2)得x4 （利用数轴确定不等式组的解集） 原不等式组的解集为-1,解不等式(2)得x1, 解不等式(3)得x2, 在数轴上表示出各个解为： 原不等式组解集为-1-1, 解不等式(2), |x|5, -5x5, 将(3)(4)解在数轴上表示出来如图， 原不等式组解集为-14x-5得：x3，解不等式1得x2， 原不等式组解集为x2，这个不等式组的正整数解为x=1或x=2 1、先求出不等式组的解集。2、在解集中找出它所要求的特殊解， 正整数解。 例5，m为何整数时，方程组的解是非负数？ 分析：本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即。先解方程组用m的代数式表示x, y, 再运用“转化思想”，依据方程组的解集为非负数的条件列出不等式组寻求m的取值范围，最后切勿忘记确定m的整数值。 解：解方程组得 方程组的解是非负数， 即 解不等式组此不等式组解集为m, 又m为整数，m=3或m=4。 例6，解不等式0。 分析：由“”这部分可看成二个数的“商”此题转化为求商为负数的问题。两个数的商为负数这两个数异号，进行分类讨论，可有两种情况。(1) 或(2)因此，本题可转化为解两个不等式组。 解：0, (1) 或(2) 由(1)无解，由(2)-x,原不等式的解为-x。 例7.解不等式-33x-15。 解法（1）:原不等式相当于不等式组 解不等式组得-x2，原不等式解集为-x2。 解法（2）:将原不等式的两边和中间都加上1，得-23x6, 将这个不等式的两边和中间都除以3得， -x2, 原不等式解集为-x2。 例8.x取哪些整数时，代数式与代数式的差不小于6而小于8。 分析：(1)“不小于6”即6, (2) 由题意转化成不等式问题解决， 解：由题意可得，6-, 原不等式组解集为-x6,-x6的整数解为x=3, 2, 1, 0, 4, 5, 6。 当x取3，2，1，0，4，5，6时两个代数式差不小于6而小于8。 例9.有一个两位数，它十位上的数比个位上的数小2，如果这个两位数大于20并且小于40，求这个两位数。 分析：这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的知识来解决。题目中有两个主要未知数-十位上的数字与个位上的数；一个相等关系：个位上的数十位上的数+2,一个不等关系：20原两位数40。 解法（1）:设十位上的数为x, 则个位上的数为(x+2), 原两位数为10x+(x+2), 由题意可得：2010x+(x+2)40, 解这个不等式得，1x3, x为正整数，1x3的整数为x=2或x=3， 当x=2时，10x+(x+2)=24, 当x=3时，10x+(x+2)=35, 答：这个两位数为24或35。 解法（2）:设十位上的数为x, 个位上的数为y, 则两位数为10x+y, 由题意可得（这是由一个方程和一个不等式构成的整体，既不是方程组也不是不等式组，通常叫做“混合组”）。 将(1)代入(2)得，2011x+240, 解不等式得：1x3, x为正整数，1x3的整数为x=2或x=3, 当x=2时，y=4，10x+y=24, 当x=3时，y=5, 10x+y=35。 答：这个两位数为24或35。 解法（3）:可通过“心算”直接求解。方法如下：既然这个两位数大于20且小于40，所以它十位上的数只能是2和3。当十位数为2时，个位数为4，当十位数为3时，个位数为5，所以原两位数分别为24或35。 例10.解下列不等式：(1)|4；(2)0。 （1）分析：这个不等式不是一元一次不等式，因此，不能用解一元一次不等式的方法来解。但由绝对值的知识|x|0)可知-axa, (a0)则xa或x-a。 解：|4, -44, 由绝对值的定义可转化为： 即 解不等式(1)，去分母：3x-1-8, 解不等式(2)去分母：3x-18, 移项：3x-8+1,移项：3x8+1, 合并同类项：3x-7 合并同类项：3x9, 系数化为1，x-, 系数化为1：x3, ，原不等式的解集为-x3。 （2）分析：不等式的左边为是两个一次式的比的形式（也是以后要讲的分式形式），右边是零。它可以理解成“当x取什么值时，两个一次式的商是负数？”由除法的符号法则可知，只要被除式与除式异号，商就为负值。因此这个不等式的求解问题，可以转化为解一元一次不等式组的问题。 解： 0，3x-6与2x+1异号， 即：I 或II 解I的不等式组得, 不等式组无解，解II的不等式组得, 不等式组的解集为-x2,原不等式的解集为-x0, (3x-6)与(2x+1)同号， 即I或II 解I的不等式组得, 不等式组的解集为x2,解II的不等式组得, 不等式组的解集为x2或x0(或0)与ab0（或0(或0), a、b同号， 即I或II , 再分别解不等式组I和II， 如例10的（3）题。 （2）ab0（或0）, ab0(或0), a、b异号， 即I或II, 再分别解不等式组I和不等式组II。 例11.已知整数x满足不等式3x-46x-2和不等式-1, 并且满足方程3(x+a)=5a-2试求代数式5a3-的值。 分析：同时满足两个不等式的解的x值实际是将这两个不等式组成不等式组，这个不等式组的解集中的整数为x值。再将x值代入方程3(x+a)=5a-2，转化成a的方程求出a值，再将a代入代数式5a3-即可。 解：整数x满足3x-46x-2和-1, x为，解集的整数值， 解不等式(1)，得x-, 解不等式(2)得，x1,的解集为-x1。 -x0或ax+bb或axb或axb，a0）后，再把系数化为1。应特别注意的是，当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变。 中考典例:1（ 安徽省）解不等式(x1)1，并把它的解集在数轴上表示出来。 考点：一元一次不等式的解法 评析：一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法相类似，只要注意不等式性质3的运用。该题可先去分母（不要漏乘），再去括号，然后化成axb或axb的形式,最后得出解集，解题过程如下： 解：原不等式化为：x22(x1)2x22x+22。它在数轴上表示为： 2（ 河北省）在一次“人与自然”知识竞赛中,竞赛试题共有25道题,每道题都给出4个答案,其中只有一个答案正确,要求学生把正确答案选出来,每道题选对得4分,不选或选错倒扣2分。如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于60分,那么,他至少选对了_道题。 考点：一元一次不等式的应用 评析：可设选对了x道，那么选错或不选的共有（25x）道题。根据题意，可以列不等式为4x2(25x)60，解不等式得18，取解集中的最小整数为19。 说明：列不等式解的应用题，一般所求问题有至少、或最多、或不低于等词的要求，要正确理解这几个词的含义。 3（ 北京东城区）商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度。现将A型冰箱打折出售（打一折后的售价为原价的），问商场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为10年，每年365天，每度电0.40元计算）？ 考点：一元一次不等式的应用 评析：列一元一次不等式解应用题首先要弄清题意，设出适当的未知数。消费者要买A型冰箱，10年的花费用比B型少才行，设打x折，那么A型10年的费用为2190+3651010.40，B型10年的费用为2190（1+10%）+365100.550.40，根据题意得不等式2190+3651010.402190(1+10%)+365100.550.40，解得x8，所以至少打八折，解题过程如下： 解：设商场将A型冰箱打x折出售，消费者购买才合算依题意，有2190+3651010.42190(1+10%)+365100.550.4 即 21914602409803 解这个不等式，得 x8 答：商场应将A型冰箱至少打八折出售，消费者购买才合算。 真题专练:1（ 上海市）不等式72x1的正整数解是_。 2（ 荆门市）若代数式+2x的值不大于代数式8的值，那么x的正整数解是_。 3（ 安徽省）恩格尔系数表示家庭日常饮食开支占家庭经济总收入的比例，它反映了居民家庭的实际生活水平，各种类型家庭的恩格尔系数如下表所示： 家庭类型贫困家庭温饱家庭小康家庭发达国家家庭最富裕国家家庭思格尔系数(n) 75%以上50%75% 40%49% 20%39% 不到20% 则用含n的不等式表示小康家庭的恩格尔系数为_。 4（ 杭州市）x的2倍减3的差不大于1，列出的不等式是（ ）A、2x31B、2x31C、2x31D、2x31 5（ 内江市）解不等式 6（ 安徽省）解不等式3x2(12x)1，并把解集在数轴上表示出来。 7（ 陕西省）乘某城市的一种出租汽车起价是10元（即行驶路程在5km以内都需付10元车费），达到或超过5km后，每增加1km加价12元（不足1km部分按1km计）。现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地，支付车费172元，从甲地到乙地的路大约是多少？ 答案：1、1，2； 2、1，2，3（提示：根据题意得不等式+2x8，解不等式得x，正整数解为1，2，3）； 3、40%n49%4、A； 5、解：去分母得8x420x215x60 移项合并同类项得27x54 解得x2 6、解：3x2+4x1，7x3，x。所以原不等式的解集为x。在数轴上表示为： 7、解：设从甲地到乙地的路程大约是xkm，根据题意，得 1610+1.2(x5)17.2 解此不等式组，得 10x11。 答：从甲地到乙地的路程大于10km，小于或等于11km。 一元一次不等式组和它的解法 考点扫描:1了解一元一次不等式组及其解集的概念。 2掌握一元一次不等式组的解法，会用数轴确定一元一次不等式组的解集。 名师精讲:1一元一次不等式组及其解集： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。 2求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组 3解一元一次不等式组的步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 中考典例:1（天津市）不等式组的解集是_。 考点：一元一次不等式组的解法。 评析：分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，解不等式(1)得x4，解不等式(2)得x5，公共部分是x4，即为不等式组的解集，所以结果为x4。 2（ 重庆市）若不等式组的解集为1x1,那么（a+1）(b1)的值等于_。 考点：不等式组解集的应用 评析：此题类型是；已知不等式组的解集，求其中字母系数，进而求关于字母系数的代数式的值。这类问题解法是：先解不等式组，求得其解集，再与给出的解集相联系，求出字母系数的值，进而代入所给代数式，求出代数式的值，具体解法如下： 解：由2-1得x；由-2b3得x3+2b，因为方程组有解，所以，3+2b，方程组的解是32b，又已知方程组的解是：-11B、x6C、1x6D、x6 8（ 杭州市）不等式组的解在数轴上可表示为 （ ） 9（ 北京燕山）不等式组的解集（ ）A、x1B、x2C、1x2D、1x2 10（ 北京朝阳区）不等式组的整数解是（ ）A、1，0，1B、1，1C、1，0D、0，1 11（ 黑龙江省哈尔滨市）不等式组成的整数解的个数是( ) A、1个B、2个C、3个D、4个。 12（ 湖南长沙）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A、 B、 C、 D、 13（ 陕西省）不等式组的解集是（