高三数学两角和与差的正弦、余弦、正切苏教

用心 爱心 专心 高三数学两角和与差的正弦、余弦、正切高三数学两角和与差的正弦、余弦、正切苏教版苏教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 两角和与差的正弦、余弦、正切 二、教学目标： 1. 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 2. 能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 三、知识要点： 1、和、差角公式 ；sincoscossin)sin( ；sinsincoscos)cos( 。 tantan tan() 1tantan 2、二倍角公式 ；cossin22sin ； 2222 sin211cos2sincos2cos 。 2 2tan tan2 1tan 3、降幂公式 ；。 2 2cos1 sin 2 2 2cos1 cos2 4、半角公式 2 cos1 2 sin ；。 2 cos1 2 cos 1 cossin1 cos tan 21 cos1 cossin *5、积化和差公式 ；)sin()sin( 2 1 cossin ；)sin()sin( 2 1 sincos ；)cos()cos( 2 1 coscos 。)cos()cos( 2 1 sinsin *6、和差化积公式 ； 2 cos 2 sin2sinsin 2 sin 2 cos2sinsin ；。 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 sin2coscos 用心 爱心 专心 两角和与差的三角函数，二倍角公式是高考的重点内容之一，同时也是三角部分后继 学习的基础，最重要的是这是多数考生得分的主要阵地之一。如 2005 年全国高考卷（） 理科第（7） （11）题，文科第（6） （11）考查两角和与差及倍角公式，且得分率是相当高 的；再如 2005 年全国高考卷（）文理科第（7） （8）题，得分率也是比较高的；而且在 2005 年全国高考卷（）文科卷第（17）题以大题形式出现。这些都足以说明和、差、倍 角的三角函数的重要地位。 两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式、在学习 时应注意以下几点：（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉； （2）善于拆角、拼角，如， 等；（3）注意倍角的相对性；（4）要时时 22， 注意角的范围；（5）化简要求；（6）熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名， 异角化同角等。 从近年高考的考查方向来看，这部分常常以选择题和填空题的形式出现，有时也以大 题的形式出现，分值约占 5%。因此能否掌握好本重点内容，在一定程度上制约着高考能 否成功。 【典型例题典型例题】 例 1、已知，求 cos。0coscos1sinsin，）的值（ 分析：分析：因为既可看成是看作是的倍角，因而可）（的和，也可以与 2 得到下面的两种解法。 由已知 sin+sin=1 ， cos+cos=0 22得 2+2cos cos1 ）（ 2 1 ）（ 22得 cos2+cos2+2cos（）=1 即 2cos（） =1 1cos ）（ 1cos 点评：点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误。若利用方程组 解 sin、cos、sin、cos，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在 于没有注意到所求式与已知式的关系。本题关键在于化和为积促转化， “整体对应”巧应用。 例 2、已知 tan，tan 是方程的两个实根，求06x5x 2 的值。 22 2sin3sincoscos的值 分析：分析：由韦达定理可得到进而可以求出tantantantan及的值， 的值，再将所求值的三角函数式用 tan表示便可知其值。tan 解法一：解法一：由韦达定理得 tan6tantan5tan， 所以 tan . 1 61 5 tantan1 tantan 22 22 2sin3sincoscos sincos 原式 用心 爱心 专心 2 2 2tan3tan12 1 311 3 tan11 1 解法二：解法二：由韦达定理得 tan6tantan5tan， 所以 tan . 1 61 5 tantan1 tantan 3 4 kkZ于是有 22 333331 2sinsin 2cos13 422422 kkk 原式 点评：点评：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构， 从而寻找解答本题的知识“最近发展区” 。 （2）运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟 记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三 角函数名等。抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住 了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性 的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。 （3）对公式的逆用公式，变形 式也要熟悉，如 。 ， ， ， tantantantantantan tantantantantantan tantantantan1tan cossinsincoscos 例 3、化简下列各式 （1）， 2 2 3 2cos 2 1 2 1 2 1 2 1 ， （2） 4 cos 4 cot2 sincos 2 22 分析：分析：（1）若注意到化简式是开平方根和 2以及其范的二倍，是的二倍，是 2 围不难找到解题的突破口；（2）由于分子是一个平方差，分母中的角， 244 若注意到这两大特征， ，不难得到解题的切入点。 解：解：（1）因为， coscos2cos 2 1 2 1 2 2 3 ，所以 又因， 2 sin 2 sincos 2 1 2 1 24 3 ，所以 所以，原式= 2 sin （2）原式= 4 cos 4 sin2 2cos 4 cos 4 tan2 2cos 2 用心 爱心 专心 =。1 2cos 2cos 2 2 sin 2cos 点评：点评：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于 2是的二倍，要熟悉 多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意三个角的内在联系的作用， 44 2， 是常用的三角变换。 （2）化简题一定 4 cos 4 sin22 2 sin2cos 要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切割化弦，异名化同名，异角化同角 是常用的化简技巧。 （3）公式变形，。， sin2 2sin cos 2 2cos1 cos2 2 2cos1 sin 2 例 4、已知正实数 a,b 满足的值。，求 a b ba ba 15 8 tan 5 sin 5 cos 5 cos 5 sin 分析：分析：从方程的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以 a，则已知等式可 化为关于程，从而可求出，若注意到等式左边的分子、分母都具有的方 a b a b 的结构，可考虑引入辅助角求解。cossinba 解法一：解法一：由题设得 15 8 cos 15 8 sin 5 sin 5 cos 5 cos 5 sin a b a b . 3 3 tan 515 8 cos 515 8 sin 5 sin 15 8 sin 5 cos 15 8 cos 5 sin 15 8 cos 5 cos 15 8 sin a b 解法二：解法二： 22 sincossin 555 abab 因为， 22 cossincostan 555 8 tantan. 515 8 5153 tantantan3. 33 b abab a kk b k a ，其中， 由题设得 所以，即， 故 解法三：解法三： tan 8 5 tan 15 1tan 5 b a b a 原式可变形为：， 用心 爱心 专心 点评：点评：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式 联想，引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式，sincossin 22 baba ，或在历年高考中tan b a 其中sincosab 22 costan a ab b ，其中 使用频率是相当高的。 【模拟试题模拟试题】 1. 设（ ）的值是则，中，CBAABCcos, 13 5 sin 5 3 cos A. B. C. D. 或 65 56 65 56 65 16 65 56 65 16 2. 函数 y=的最大值是（ ） xxcossin2 1 A. B. C. 4 D. 1 2 2 2 2 1 3 34 3. 求下列各式的值：（1）tan34+tan26+， （2）26tan34tan3 。10tan3150sin 4. 已知，分别求 2 2 2 3 5 4 cos 5 4 cos，且， 的值。2cos2cos和 5. 观察 sin10+sin20+sin30+sin200=；sin12+sin24 10sin 100sin105sin2 +sin36+sin192=写出一个与以上两式规律相同的一个等式。 12sin 96sin102sin2 6. 已知 sin，sin2x，cos，成等差数列，sin，sinx，cos 成等比数列，求 的值。cos2x 用心 爱心 专心 【试题答案试题答案】 1、C . 0 BcosAcos 13 12 Bcos. 65 16 BsinAsinBcosAcosCcos 13 12 Bcos, 13 12 Bcos 13 5 Bsin, 5 4 Asin 5 3 Acos 时，有当 时，当得由， 。 C1312Bcos，所以选舍故 2、B . 2 2 1 22 1 y 4 xsin22 1 xcos 4 sinxsin 4 cos22 1 xcos 2 2 xsin 2 2 22 1 y max ， 3、 （1），而360tan 26tan34tan1 26tan34tan 2634tan60tan . 1 80sin 80sin 10cos 1030sin240cos 10cos 10sin310cos40cos 10cos 10sin 3140cos2 . 326tan34tan326tan34tan 26tan34tan26tan34tan33 原式 所以 ， 4、=， 2 cos1sin 2 2 2 3 ， 5 3 2 3 sin1 coscos2cos 5 c