高三数学平面向量线段的定比分点与平移

高三数学平面向量 线段的定比分点与平移http:/www.DearEDU.com高考要求 掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式并且能熟练运用掌握平移公式 知识点归纳 1线段的定比分点定义：设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1,P2的任意一点，则存在一个实数，使，叫做点P分有向线段所成的比当点P在线段上时，；当点P在线段或的延长线上时，02定比分点的向量表达式：点P分有向线段所成的比是，则（O为平面内任意点）3定比分点的坐标形式: ,其中P1(x1,y1), P2(x2,y2), P (x,y)4中点坐标公式: 当=1时，分点P为线段的中点，即有5的重心坐标公式：6图形平移的定义:设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同一方向移动同样长度，得到图形F，我们把这一过程叫做图形的平移7平移公式: 设点按向量平移后得到点，则+或，曲线按向量平移后所得的曲线的函数解析式为： 这个公式叫做点的平移公式，它反映了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系题型讲解 例1 已知点，线段上的三等分点依次为、，求、，点的坐标以及、分所成的比解：设、，则，即，即由，得：，；由，得：，；点评:定比是根据求得的,必须搞清起点、分点、终点顺序不可搞错例2 已知ABC的三个顶点为A(1,5),B(2,4),C(6,4),BC边上有一点M，使ABM的面积等于ABC面积的1/4求线段AM的长度分析：关键是求出点M的坐标，而ABC和ABC共用B和边AB把两个三角形的面积比转化为它们相对应的边的比，再转化为M分的比，这是解决此问题的关键解：由=,知,而M是的内分点，故=,由公式求得M(3,2) |AM|=5例3（1）把点A(3,5)按向量平移，求平移后对应点A的坐标（2）把函数的图象按向量平移得F，求F的函数解析式解：（1）设A(x,y)，根据平移坐标公式得，得得A(7,10)（2）设P (x,y)为F上的任意一点，它在F上的对应点P(x,y)，则，即代入中，得到即,所以F的函数解析式为点评：正确选择平移公式，强化代入转移去思想例4 是否存在这样的平移，使抛物线：平移后过原点，且平移后的抛物线的顶点和它与轴的两个交点构成的三角形面积为，若不存在，说明理由；若存在，求出函数的解析式解：假设存在这样的平移，由平移公式即,代入得，即平称后的抛物线为，顶点为由已知它过原点得： 令，求得因此它在轴上截得的弦长为据题意：，代入 得故存在这样的平移或当时，平移后解析式为；当时，平移后解析式点评：确定平移向量一般是配方法和待定系数法，此题采用待定系数法例5 设函数试根据函数的图象作出的图象，并写出变换过程；的图象是中心对称图形吗？写出的单调区间解：令，化简得，即又令得，由平移公式知，由的图象按向量平移，可得的图象，反之，由的图象按向量平移，可得到的图象，即，将的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，便得到的图象由图知，的图象是中心对称图形，其对称中心为单调减区间为和例6 已知ABC的三个顶点的坐标是A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),求ABC的内心I坐标解：根据角平分线的性质定理结合定比分点的概念解法相当简洁设A的平分线交BC于点D，则=由两点间的距离公式可求出c=|AB|=,类似的可求出|CA|(设为b)和|BC|(设为a),由定比分点的坐标公式可得I(x,y)为：例7 定点A(3,0)为圆x2+y2=1外一点,P为圆上的动点,POA的平分线交PA于Q 求Q点的轨迹方程分析：角平分线条件的转化，是本题的关键 设Q(x,y),P(x1,y1),思路是找出P和Q两点坐标之间的关系，列参数方程解：设Q(x,y),P(x1,y1),点Q分AP的比为AQ/QP=|OA|/|OP|=3，x=, y=x1=4x/31, y1=4y/3,代入=1化简得: (x3/4)2+y2=9/16点评：本题巧妙运用了定比分点的概念，并和角平分线性质定理结合起来,要认真体会并在解题中根据条件灵活运用定比分点的概念小结：1运用有向线段的定比分点公式时，应注意有向线段的起点及终点的位置及“内分”，“外分”的不同特点P在直线P1P2上的位置与的值是一一对应的具体求或定比分点坐标时，要注意根据给定条件利用平面几何的主要结论比如平行线的性质，角平分线的性质定理等2使用平移公式时，要注意：点的平移时，给定平移向量由旧标求新标用公式；由新标求旧标用公式图形平移时，给定平称向量，由旧解析式求新解析式，用式子代入旧式整理得到；由新解析式求旧解析式，用公式代入新式整理得到3直角坐标系中通过坐标平移，曲线方程的次数不变曲线的形状大小不变，变化的只是曲线和坐标点的相互位置关系与曲线方程的形式某些曲线方程可以通过化简给我们的研究曲线带来方便学生练习 1已知点A分有向线段的比为2，则在下列结论中错误的是（ ）A点C分的比是-B点C分的比是-3C点C分的比是-D点A分的比是22已知两点P（，）、（，），点P（，）分有向线段所成的比为，则、的值为A， B， C， D，3ABC的两个顶点A(3，7)和B(-2，5)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标是（ ）A(2，-7) B(-7，2) C(-3，-5) D(-5，-3)4已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x= 5ABC的顶点A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，则C点坐标为 6已知M为ABC边AB上的一点，且，则M分所成的比为 7ABC的两个顶点是A(1,0),B(0,3),重心G(2,2),则C点的坐标是 8若点P分所成的比为2/3, 则点A分的比是 ,B分的比是 9已知点P分的比为（0),则点P分的比为 ,点B分的比为 10已知A(x,5),B(2,y),直线AB上的点C(1,1)使得|AC|=2|BC|,则x= y= 11已知点A(-1,-4)、B(5,2)，线段AB上的三等分点依次为P、，求、点的坐标以及A、B分所成的比12过P（，）、（，）的直线与一次函数的图象交于点P，求P分所成的比值13已知平行四边形ABCD一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB、CD的中点分别为M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标参考答案：1D 2C 3A 42或 5(8,-4) 6 7(5,3) 8 (2/5)，(5/3) 9 (1/)，(1)10(7或5); (1或3)