高三数学抛物线复习一人教文知识精讲

用心 爱心 专心 高三数学高三数学抛物线复习（一）抛物线复习（一）人教版（文）人教版（文） 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 抛物线复习（一） （一）抛物线基础知识 1. 定义： 平面内到定点和定直线（定点不在定直线上）距离相等的点的轨迹，若定点在定直线 上，则轨迹为一条直线即过定点且与定直线垂直的直线。 2. 性质： 图形 标准方程 pxy2 2 （）0p pxy2 2 （）0p pyx2 2 （）0p pyx2 2 （）0p 焦点坐标 （） 0 , 2 p （） 0 , 2 p （） 2 , 0 p （） 2 , 0 p 准线方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 3. 直线与抛物线位置关系 把直线方程与抛物线方程联立得关于或的一元二次方程，利用判别式判定它们xy 的位置关系。 【典型例题典型例题】 例 1 已知抛物线（）上的一点，M 到定点 A（）和焦点 F 的距离之pxy2 2 0p4 , 2 7 和的最小值等于 5，求抛物线的方程。 解：解： （1）当点 A 在抛物线内部时，即时， 2 7 242p 7 16 pMAAMMAMF 当 A、M、共线时 A 5)( min MAMF 故，满足3 2 3 2 7 5 2 p p 7 16 3 所以抛物线方程为xy6 2 （2）当点 A 在抛物线外部或在抛物线上时 2 7 242p 用心 爱心 专心 即时，连 AM 交抛物线于 M，此时 7 16 0 p 最小 )(MFMA 即， 或（舍）5 min AF254) 22 7 ( 22 p 3 22 7 p 1 p13p 抛物线方程 xy2 2 综上抛物线方程为或xy6 2 xy2 2 例 2 在抛物线上求一点 P，使点 P 到直线的距离最短。xy2 2 03 yx 解法解法 1 1：设 P（）为抛物线上任意一点，则 P 到 距离 00, y xl 22 00 11 3 yx d 5) 1( 22 1 62 22 1 3 22 1 2 00 2 00 2 0 yyyy y 由，则时，Ry 0 1 0 y2 4 5 22 5 min d 解法解法 2 2：设与平行的直线 的方程为：（）03 yxl0cyx3c 当 与抛物线相切时，切点到的距离最短l03 yx 将代入中得， 2 2 y x 0cyx0 2 2 cy y 2 1 0 2 1 41cc 2 4 5 2 2 1 3 d 例 3 抛物线，过其焦点作一弦 AB，如果弦长不超过 8，且弦所在的直线与椭圆xy4 2 相交，试确定弦 AB 所在直线倾斜角的范围。223 22 yx 解：解：，焦点 F（1，0），设弦 AB 所在直线的方程为代入xy4 2 ) 1( xky xy4 2 得，设 A（），B（），则0)42( 2222 kxkxk 11, y x 22, y x 用心 爱心 专心 2 2 21 42 k k xx 2 42 ) 2 () 2 ( 2 2 2121 k k pxx p x p xBFAFAB 由182 42 8 2 2 2 k k k AB 又0)22(4)23( 223 ) 1( 2222 22 kxkxk yx xky 0)22)(23(4)4( 2222 kkk 33062 2 kk 由、得)3, 1 1, 3(k 例 4 已知抛物线截直线所得弦长xy4 2 mxy 253AB （1）求的值；m （2）设 P 在轴上的一点，且的面积为 9，求 P 的坐标。xABP 解：解： （1）由0) 1(44 2 4 22 2 mxmx mxy xy 由韦达定理，mxx1 21 4 2 21 m xx )21 (5m 由，即53AB453)21 (5mm （2）设 P（），P 到直线 AB 的距离为，则0 , ad 5 22 ) 1(2 402 22 aa d 又，则dABS ABP 2 1 AB S d ABP 2 或32 53 92 5 22 a a 5 a1a 故点 P 的坐标为（5，0）和（）0 , 1 用心 爱心 专心 例 5 过点（）的直线 与抛物线：相交于 P、Q 两点，R（），6, 1lxy4 2 0 , 2 9 是一个等腰三角形，且，求直线 的倾斜角。PQRQRPR l 解：解：设 ：（）l) 1(6xky0k 则 令，则1)6( 1 y k x k k 1 1)6(ykx 代入得xy4 2 04244 2 kyky 设 P（），Q（），是方程二根 11, y x 22, y x 1 y 2 y 则 PQ 中点 M 的坐标为)2 , 162( 2 kkk 垂直平分 PQQRPR MR 又 MR 方程为：，将 M 坐标代入此方程) 2 9 ( xky 得： 即 2 9 ) 162(2 2 kkkk07124 2 kk 解得：或 2 1 k 2 7 k 代入中，使（舍）)424(4)4( 2 kk 2 7 k 0 ， 的倾斜角为 2 1 k 2kl2arctan 例 6 为何值时，直线 ：能垂直平分抛物线的某弦。kl) 1(1xkyxy 2 解：解：设直线 垂直平分抛物线的弦 AB，且 A（），B（）l 11, y x 22, y x 则，相减得 1 2 1 xy 2 2 2 xy 212121 )(xxyyyy 即，又设 M 是 AB 的中点，且 M（） k 1 2121 21 1 yyxx yy 00, y x 则 M 在直线 上 22 21 0 kyy y l k x 1 2 1 0 又 M 在抛物线的内部，即 0 2 0 xy k k1 2 1 ) 2 ( 2 即就是0 42 3 k kk 0 )22)(2( 2 k kkk 解得02k 用心 爱心 专心 【模拟试题模拟试题】（答题时间：60 分钟） 1. 焦点在直线上的抛物线的标准方程为 。01243yx 2. 抛物线上一点 M（）到焦点距离等于 6，则 。pxy2 2 m, 4pm2 3. 抛物线的动弦 AB 长为（），则弦 AB 的中点 M 到轴的)0(2 2 ppxyapa2y 最短距离是（ ） 4. 若抛物线（）上三点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三点的焦pxy2 2 0p 半径的关系是（ ） A. 成等差数列B. 成等比数列 C. 成等差数列不成等比数列D. 既不成等差数列，也不成等比数列 5. A、B 是抛物线（）上的两点，满足，（O 为坐标原点），pxy2 2 0pOBOA 求证：直线 AB 过定点，并求此定点。 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 1. 或 2. 128 3. D 4. Axy16 2 yx12 2 5. 证：设 A（），B（），则， 11, y x 22, y x 1 2 1 2pxy 2 2 2 2pxy 1 2 1 1 , x y k x y k OBOA 2 21 2 2 2 1 21 2 2 1 1 41 22 1pyy p y p y yy x y x y OBO